Головизин_Лекции / Лекция 7. Полярная СК, тфкч

Определение. Говорят, что натуральное число n представимо в виде суммы двух квадратов, если существуют такие целые числа х и у, что выполняется равенство:

.

Теорема. Если два числа представимы в виде суммы двух квадратов, то их произведение также представимо в виде суммы двух квадратов.

Доказательство. Пусть и , где .

Нам нужно доказать, что найдутся два целых числа а и b такие, что .

С этой целью рассмотрим два комплексных числа и .

Тогда и по формуле (12) имеем: .

С другой стороны, , . Так как , то или , то отсюда получаем равенство: , где , ч.т.д.

Теорема доказана.