все для алгема / Методические пособия по АГ / МП ПЗ АГ (электронный вариант) / МП ПЗ АГ ч.1 (электронный вариант)

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 10, с.14

z

2

М(1;2;2)

у

О

2

х1

Рис. 6

Легко видеть, что расстояние от точки М до координатной плоскости Оху равно модулю её аппликаты:

d(M;Oxy) | zM | 2 .

Аналогично,

Расстояние от точки М до координатных осей:

a ( 2;1; 2) . Записать в координатной форме орт данного вектора. Решение. Воспользуемся формулой для вычисления модуля вектора:

Мы знаем, что направляющие косинусы вектора равны координатам его орта. Осталось записать ответ.

7

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 10, с.14

Ответ: | a | 3, cos 23 , cos 13 , cos 23 , ao ( 23 ; 13; 23) .

Пример 3. Найти координаты вектора a , если его орт имеет коорди-

наты ao ( 76 ; 72 ; 73) и | a | 3 .

Решение. Сначала проверим, что | ao | 1. Действительно,

Из определения орта вектора следует:

a | a | ao 3 ( 76 ; 72 ; 73) ( 187 ; 76 ; 79) . Ответ: a ( 187 ; 76 ; 97) .

Пример 4. Найти координаты вектора a , если его модуль равен 2,

60o , 120o .

Решение. Воспользуемся тем, что сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна 1:

cos2 60o cos2 cos2 120o 1.

Отсюда находим,

Пример 5. Найти координаты вектора AB , если А(1; –3; 12), В(–2; 11; 9).

Решение. Воспользуемся правилом нахождения координат вектора:

8

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 10, с.14

AB (xB xA ; yB yA ; zB zA ) ( 3;14; 3) . Ответ: AB ( 3;14; 3) .

Ответ: 3a 2b (11;11;1) .

Пример 7. Найти расстояние между точками А(0; 1; –9) и В(–7; 7: –3). Решение. Вычисляем по формуле:

AB (xB xA )2 (yB yA )2 (zB zA )2

( 7)2 (7 1)2 ( 3 9)2 49 36 36 11

Ответ: 11.

Пример 8. Найти отношение, в котором точка С(2; 4; 5) делит отрезок АВ, если А(0; 1; 9) и В(–2; –2;13).

Решение. Воспользуемся формулой:

Заметим, что если данные точки не лежат на одной прямой, то одно из двух равенств в формуле не выполняется:

Одновременно мы убедились в том, что точки А, В и С находятся на одной прямой.

Ответ: CAB 12 .

9

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 10, с.14

п.3. Задачи Задачи для аудиторного решения 10

1.Постройте в ПДСК Oxyz точку А(4; 3; 5) и её проекции на координатные оси и координатные плоскости, и найти их координаты.

2.Найдите расстояния от точки В(4; 3; –5) до координатных плоскостей и координатных осей.

3.Найдите координаты точек, симметричных точке М(5; 4; – 2) относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.

4.Найдите проекции радиус-вектора точки А(1; 2; 5) на координатные оси, и запишите его в координатной форме.

5.Найдите модуль и направляющие углы радиус-вектора точки А(2; – 1; –2).

6.Найдите модуль и направляющие косинусы вектора a ( 7; 6;6) .

7.Найдите орт вектора a ( 6;2; 3) .

8.Найдите проекции вектора на координатные оси, если его модуль

равен 2, и известны его направляющие углы:45o , 120o , 60o . Запишите этот вектор в координатной форме.

9. Найдите координаты вектора, если его модуль равен 2 , направляющие углы 45o , 135o , и известно, что направляющий угол

– острый.

10.Найдите координаты вектора, если точка А(–2; –13; 19) является его началом, а точка В(–11; –9; 23) – его концом.

b(3; 4;5) .

12.Найдите длины сторон треугольника с вершинами А(2; 2; –2), В(3; –1; –3), С(–3; 6; 1), и длину его медианы, проведенной из вершины А.

13.На прямой, проходящей через точки А(2; 5; –2) и В( –1; 3; –4),

найдите точку, которая делит отрезок АВ в отношении 74 , считая

от точки А.

14. Убедитесь, что точки А(1; –1; 0), В(0; 1; 3) и С(–2; 5; 9) лежат на одной прямой, и найдите отношение, в котором точка А делит отрезок ВС, считая от точки В.

10

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 10, с.14

Задачи повышенного уровня сложности 10

15. Даны вершины треугольника А(1; 2; –1), В(2; –1; 3) и С(–4; 7; 5). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине В.

16.На отрицательной полуоси абсцисс найти точку В, расстояние от которой до точки А(–1; 4; 8) равно 12.

17.Даны две вершины А(2; –3; –5) и В(–1; 3; 2) параллелограмма АВСД и точка пересечения его диагоналей К(4; –1; 7). Определить две другие вершины этого параллелограмма.

18.Прямая проходит через точки А(–1; 6; 6) и В(3; –6; –2). Найти точки ее пересечения с координатными плоскостями.

19.Ребро куба равно 1. Найти длину отрезка, соединяющего середины двух скрещивающихся ребер.

20.Доказать, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер правильного тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

21. Докажите, что в произвольном треугольнике АВС вектор ABo ACo лежит на биссектрисе угла ВАС.

Домашнее задание 10. ПДСК в пространстве

1.Найти центр сферы радиуса 3, которая касается всех трех координатных плоскостей и расположена: а) в первом октанте; б) в шестом октанте.

2.Даны точки: А(3; –2; 5), В(–2; 1; –3), С(5; 1; –1).

а) Запишите векторы AB, AC, BC в координатной форме и найдите

их орты ABo , ACo , BCo .

б) Найдите координаты вектора 12 (AB AC) и его модуль.

в) Найдите модуль и направляющие косинусы вектора AM , где точка М делит отрезок ВС в отношении 2 : 1.

3.Вектор имеет направляющие углы 120o и 45o . Каков тупой угол между этим вектором и осью ординат?

Самостоятельная работа 10

Вариант 1.

1. Определение координат вектора.

11

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 10, с.14

2.Найдите проекции радиус-вектора точки А(3; 5; 1) на координатные оси.

3.Найдите расстояние от точки А(3; 5; 1) до: а) координатной плоско-

сти Oxz; б) координатной оси Оу; в) начала координат. Вариант 2.

1.Определение орта вектора.

2.Найдите координаты радиус-вектора точки А(5; 1; 3).

3.Найдите расстояние от точки А(5; 1; 3) до: а) координатной плоскости Oуz; б) координатной оси Ох; в) начала координат.

Вариант 3.

1.Определение правоориентированной тройки взаимно перпендикулярных осей.

2.В координатном пространстве Oxyz точки А(2; –3; 5) и В(3; –1; 2) являются вершинами параллелограмма ОАВС. Найдите: а) коорди-

наты вершины С;

б) длину медианы ОD треугольника ОАВ. Вариант 4.

1.Определение координат точки в ПДСК Охуz.

2.В координатном пространстве Oxyz точки В(3; –1; 2) и С(1; 2; –3) являются вершинами параллелограмма ОАВС. Найдите: а) координаты вершины А;

б) длину медианы ОD треугольника ОВС.

п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 10 Обозначения

1.Обозначение и названия координатных осей.

2.Обозначение координатного пространства.

3.Обозначение координат точки в координатном пространстве.

4.Обозначение координат вектора в координатном пространстве.

5.Обозначение координатной формы записи вектора в координатном пространстве.

6.Обозначение координатного пространства с помощью декартовой степени множества действительных чисел.

7.Обозначение направляющих углов вектора в ПДСК.

8.Обозначение орта вектора.

Определения

1.Определение ориентации тройки взаимно перпендикулярных координатных осей.

12

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 10, с.14

2.Определение координат произвольной точки координатного пространства.

3.Определение ПДСК в пространстве.

4.Определение радиус-вектора точки.

5.Определение координат вектора.

6.Определение координатной формы записи вектора.

7.Определение направляющих углов вектора.

8.Определение орта вектора.

Теоремы

1.Теорема о координатах точки и ее радиус-вектора.

2.Теорема о равенстве векторов.

3.Теорема о действиях с векторами в координатной форме.

4.Теорема о вычислении координат вектора.

5.Формула расстояния между двумя точками координатного пространства.

6.Теорема о модуле вектора.

7.Теорема о направляющих косинусах вектора.

8.Теорема об орте вектора.

9.Теорема о координатах точки, делящей отрезок.

10.Формулы середины отрезка.

Тест 10

1.Постройте в ПДСК Oxyz точку А(1; 2; 3) и её проекции на координатные оси и координатные плоскости, и найти их координаты.

2.Найдите расстояния от точки В( –1; 2; 3) до координатных плоскостей и координатных осей.

3.Найдите проекции ее радиус-вектора OA на координатные оси, и запишите его в координатной форме, если А(–3; –7; 12).

4.Найдите модуль и направляющие косинусы вектора a (1; 2; 2) .

5.Вектор a имеет направляющие углы 60o , 120o ,. Вычислите его направляющий угол (a ^ Oz) , если известно, что он является тупым.

6.Найдите координаты вектора AB , если А(0; –5; 2), В(–1; –3; –3).

7.Найти расстояние от точки А(12; –9; 4) до точки В(–2; 3; –2).

8.Найдите координаты середины отрезка АВ, если А(–3; 1; 2), В(3; 6; 1).

13

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 10, с.14

9.На отрезке АВ найдите точку, которая делит его в отношении 5 : 2,

считая от точки А, если А(4; –3; –1), В(–8; 6; –5).

10.Найдите отношение, в котором точка С(6 ; –9;15) делит отрезок АВ, считая от точки А(2; –1; 3), если В(0; 3; –3).

11.Найти координаты орта вектора a (1; 2; 2) .

a (1; 2; 2), b (2; 2;1), c (1; 0; 8) .

14

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 11, с.11

Практическое занятие 11 ГЦТ системы материальных точек и плоских фигур

Краткое содержание: ГЦТ системы из двух и более материальных точек, ГЦТ треугольника, трапеции, многоугольника.

п.1. Теория п.1.1. ГЦТ системы из двух материальных точек

Рассмотрим модель рычажных весов, находящихся в равновесии.

mA

mB

Рис. 1

Определение. Упорядоченная пара (A; mA ) , где А – точка, mA – по-

ложительное действительное число называется материальной точкой, число mA при этом называется массой этой точки.

Определение. Пусть имеется отрезок АВ, концы которого являются материальными точками с массами mA и mB соответственно. Точка С

отрезка АВ, для которой выполняется равенство mA AC mB BC ,

где АС и ВС – длины соответствующих отрезков, называется геометрическим центром тяжести (в дальнейшем просто ГЦТ) системы из двух материальных точек.

Таким образом, ГЦТ системы из двух материальных точек А и В есть по определению точка С, которая делит отрезок АВ внутренним образом в отношении

C AC mB . AB CB mA

Теорема. (О ГЦТ системы двух материальных точек.) Пусть A(xA , yA , zA ), B(xB , yB , zB ) , – две произвольные материальные точки

с массами mA и mB соответственно. Пусть точка C(xC , yC , zC ) явля-

1

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 11, с.11

п.1.2. ГЦТ системы из трех и более материальных точек

Пусть А, В, С – система из трех материальных точек с массами mA , mB , и mС соответственно. Заменим в этой системе две матери-

альные точки, например, А и В материальной точкой D с массой mD mA mB , которая является их ГЦТ. Координаты точки D можно

найти по формулам предыдущей теоремы. Теперь у нас осталась система из двух материальных точек D и С с массами mD mA mB и

mС соответственно. Обозначим через F их ГЦТ. Координату точки F

опять можно найти по выше приведенным формулам, зная координаты точек D и С. Точка F называется ГЦТ системы из трех материальных точек А, В и С.

Вообще ГЦТ системы из n ( n 3 ) материальных точек определяется индукцией по их количеству.

двух материальных точек: В и An с массами mB m1 m2 ... mn 1 и mn соответственно, где В – ГЦТ системы из (n – 1)-й материальных точек A1 , A2 , ..., An 1 .

2

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 11, с.11

п.1.3. ГЦТ треугольника

Пусть АВС треугольник, который мы будем рассматривать как треугольную пластинку, выполненную из однородного материала, толщиной которой мы пренебрегаем. Известно, что центром тяжести такой пластинки является точка пересечения медиан.

Определение. Точка пересечения медиан треугольника называется ГЦТ этого треугольника.

Теорема. ГЦТ системы из трех материальных точек с равными массами совпадает с ГЦТ треугольника с вершинами в данных точках, и координаты которого можно вычислить по формулам:

п.1.4. ГЦТ трапеции

Разобьем трапецию ABCD на два треугольника АВС и ACD. (Смотрите рисунок 2.)

Найдем центры тяжести обоих треугольников. Пусть Е – центр тяжести треугольника АВС, F – центр тяжести треугольника ACD. Поместим в точку Е массу, численно равную площади треугольника АВС:

mE 12 BC h , где h – высота трапеции. В точку F помещаем массу,

численно равную площади треугольника ACD: mF 12 AD h . Обо-

значим a AD длину нижнего основания, b BC длину верхнего основания. Тогда mE bh2 , mF ah2 . Теперь ГЦТ трапеции совпадает с ГЦТ системы из двух материальных точек Е и F:

3

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 11, с.11

По аналогичным формулам находятся остальные координаты ГЦТ трапеции.

п.1.5. ГЦТ многоугольника

Разбиваем данный многоугольник на треугольники и находим их центры тяжести. В центр тяжести каждого треугольника помещаем массу, равную массе треугольника. Так как многоугольник однородный, то его масса пропорциональна его площади. Можно положить удельную плотность равную 1 и считать, что масса любой плоской однородной фигуры численно равна ее площади. Таким образом, в центр тяжести каждого треугольника помещаем массу, численно равную площади треугольника. В результате получаем несколько материальных точек с известными координатами и массами. Осталось применить соответствующие формулы для вычисления координат ГЦТ системы из n материальных точек.

п.2. Список задач Список №1

1.Найти ГЦТ системы из двух материальных точек.

2.Найти ГЦТ однородного стержня.

3.Найти ГЦТ стержня, составленного из двух однородных стержней.

4.Найти ГЦТ системы из трех материальных точек.

5.Найти ГЦТ однородного треугольника.

Список №2

1.Найти ГЦТ выпуклого четырехугольника.

2.Найти ГЦТ многоугольника.

п.3. Примеры Пример 1. Найти ГЦТ системы из материальных точек А(3; 5; –1) и

В(–3; –4; 8), с массами mA 1 и mB 2 соответственно. Решение. Пусть С – искомый ГЦТ. Тогда

4

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 11, с.11

Ответ: С(–1; –1; 5).

Пример 2. Найти ГЦТ однородного стержня, если известны коорди-

наты его концов: (–3; 8; –3) и (1; 4; –5).

Решение. ГЦТ однородного стержня находится в его середине.

Ответ: (–1; 6; –4).

Пример 3. Найти ГЦТ стержня, если он составлен из двух стержней длины 3 и 4 соответственно, и известно, что масса короткого стержня в 3 раза больше массы более длинного стержня.

Решение. Введем систему координат. Допустим, что стержень лежит на оси Ох, где начало координат совпадает с местом стыка обоих стержней. Смотрите рисунок 3.

х

Рис. 3

Обозначим через m массу длинного стержня, тогда масса короткого стержня равна 3m. Заменим короткий стержень на материальную точку (С, 3m), где С – его ГЦТ , который находится в середине короткого стержня, Поэтому точка С имеет на оси Ох координату xC 1,5 .

Аналогично поступим с длинным стержнем, заменяя его на материальную точку D(2) и массой m. Тогда ГЦТ составного стержня будет совпадать с ГЦТ системы из двух материальных точек С(–1,5) и D(2) с массами 3m и m соответственно. Обозначим искомый ГЦТ буквой F. Тогда

Ответ: ГЦТ составного стержня находится на коротком стержне, на расстоянии 0,625 от места стыка стержней.

5

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 11, с.11

Пример 4. Найти ГЦТ системы из трех материальных точек А(–12; 7; –9), В(11; 14; –15), С(10; 17; –4) с массами mA 0,5, mB 1, mC 1,5 .

Пример 5. Найти ГЦТ треугольника с вершинами в точках А(0; 3; 9), В(–2; –3; 17), С(11; –12; 10).

Решение. Вычисляем по известным формулам:

Ответ: (3; –4; 12).

Пример 6. Пусть А(–2; 2; –3), В(1; 4; –5), С(0; 7; –1), D(–4; 8; 5) – координаты вершин трапеции. Найти ее ГЦТ.

Решение. Воспользуемся результатами пункта 3. Вычисляем координаты ГЦТ треугольников АВС и ACD точек Е и F соответственно.

Для определения параллельных сторон трапеции ABCD находим ко-

ординаты векторов AB , BC , CD , AD :

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 11, с.11

Пример 7. Из правильного шестиугольника ABCDEF со стороной а и центром О вырезали треугольник ОВС. Найти центр тяжести оставшейся фигуры.

Решение. Введем ПДСК Оху как на рисунке 4.

у

В

С

х

D О

G H А

Легко заметить, что в силу симметрии OCDE и OBAF – равные ромбы, ГЦТ которых находятся в точках G и H соответственно, а площадь каждого из них равна двум площадям треугольника ОАВ. ГЦТ фигуры из указанных двух ромбов, очевидно, находится в начале координат, а площадь этих двух ромбов равна 4S , где через S обозначена площадь треугольника ОАВ. Обозначим через I – ГЦТ треугольника OEF с массой S. Таким образом, имеем две материальные точки –

7

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 11, с.11

точку О с массой 4S и точку I с массой S. Найдем координаты (x1 , y1 )

точки I. Ясно, что xI 0 , yI 23 h , где h – высота равностороннего

п.4. Задачи Задачи для аудиторного решения 11

1.Найти ГЦТ системы из двух материальных точек: А(–6; 3; 9), mA 7 , В(0; –2; 1), mB 4 .

2.Даны концы А(3; –5; 2) и В(–1; 3; 0) однородного стержня. Определить координаты его центра тяжести.

3.Найти ГЦТ системы из трех материальных точек: А(0; 0; 1), В(0; 4;

0)и С(7; 0; 0), mA 2, mB 3, mC 4 .

4.Найти центр тяжести треугольника с вершинами А(0; 0; 1), В(0; 4;

0)и С(7; 0; 0).

5.На координатной плоскости Оху даны точки: А(1; 0), В(–1; 2), С(–2; –1), D(–1; –2). Постройте данные точки на чертеже, и найдите координаты центра тяжести четырехугольника АВСD.

6.Однородная пластина имеет форму квадрата со стороной 2р, от которого отрезан треугольник; прямая разреза проходит через середины смежных сторон квадрата. Определить центр тяжести пластины.

7.Правильный шестиугольник АВСDЕF со стороной 1 изготовлен из

8

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 11, с.11

куска картона. Его разрезали пополам по прямой АD. Найдите центр тяжести полученной равнобочной трапеции АВСD. Систему координат введите так, как вам удобно.

Задачи повышенного уровня сложности 11

8.Дан правильный шестиугольник АВСDЕF со стороной 1. Стороны ВС и DЕ продляются за вершины С и D до пересечения в точке К. Найдите ГЦТ пятиугольника АBКЕF. Систему координат введите так, как вам удобно.

9.Правильный шестиугольник АВСDЕF со стороной 1 изготовлен из куска картона. От него отрезали треугольник АВС. Найдите центр тяжести оставшейся фигуры. Систему координат введите так, как вам удобно.

10.Однородная проволока согнута в виде прямого угла со сторонами

аи b. Найти центр тяжести этой проволоки.

Домашнее задание 11. ГЦТ

1.Центр тяжести однородного стержня находится в точке С(1; –1; 5), а один из его концов в точке М(–2; –1; 7). Определить координаты другого конца стержня.

2.Найдите ГЦТ треугольника с вершинами А(1; 2; 3), В(2; 3; 1), С(3; 1; 2).

3.Где находится центр тяжести стержня, составленного из двух однородных стержней равной длины, но различной массы, если масса одного из них в полтора раза больше массы другого?

Самостоятельная работа 11

Вариант 1.

1.Определение материальной точки.

2.Найдите в координатной плоскости Оху ГЦТ однородного стержня АВ, и выполните чертеж, если его концы имеют координаты: А(3; 2), В(–5; –2).

3.Найдите ГЦТ однородного треугольника с вершинами А(3; 0; 0),

В(0; 3; 0), С(0; 0; 3).

Вариант 2.

1.Определение ГЦТ треугольника.

2.Найдите в координатной плоскости Оху координаты конца А однородного стержня АВ, и выполните чертеж, если В(–2; –1), и его ГЦТ имеет координаты С(2; 1).

9

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 11, с.11

3.Найдите ГЦТ системы из двух материальных точек, заданных на координатной плоскости: А(3; 2), mA 5 и В(–4; –1), mB 10 .

Вариант 3.

1.Определение ГЦТ системы из двух материальных точек.

2.Найдите ГЦТ системы из трех материальных точек А(1; 0; 0), В(0;

2; 0), С(0; 0; 3), mA 1, mB 2, mC 3 .

3. Стороны квадрата О(0; 0), А(0; 1), В(1; 1), С(1; 0) представляют собой однородные стержни с массами mOA 1, mAB 2, mBC 3, mOC 4 . Найдите их ГЦТ.

Вариант 4.

1.Определение ГЦТ системы из трех материальных точек.

2.Найдите ГЦТ системы из двух материальных точек, заданных на координатной плоскости: А(–2; –3), mA 5 и В(1; 4), mB 10 .

3.Квадратная пластинка с вершинами О(0; 0), А(0; 3), В(3; 3), С(3; 0) составлена из треугольника ОАС с массой 3, и треугольника АВС с массой 2. Найдите ГЦТ квадратной пластинки.

п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 11 Обозначения

1. Обозначение массы материальной точки.

Определения

1.Определение материальной точки.

2.Определение ГЦТ системы из двух материальных точек.

3.Определение ГЦТ системы из n ( n 3 ) материальных точек.

4.Определение ГЦТ треугольника.

Теоремы

1.Формулы координат ГЦТ системы из двух материальных точек.

2.Формулы координат ГЦТ системы из n ( n 2 ) материальных точек.

3.Формулы координат ГЦТ треугольника.

Тест 11

1.Найдите ГЦТ системы из двух материальных точек А(11; –6; 3),

В(3; 7; –1), с массами mA 2, mB 3.

2.Найдите ГЦТ системы из двух материальных точек А(12; 3), В(3; – 1), если масса точки А в два раза меньше массы точки В.

10