все для алгема / Методические пособия по АГ / МП ПЗ АГ (электронный вариант) / МП ПЗ АГ ч.1 (электронный вариант)

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 1, с.8

Практическое занятие 1 Решето Эратосфена

Краткое содержание: понятие делимости и его свойства, простые и составные числа, решето Эратосфена, основная теорема арифметики.

п.1. Теория п.1.1. Понятие делимости целых чисел и его свойства

Множество целых чисел будем обозначать прописной буквой Z, множество натуральных чисел – буквой N. Сами целые числа будем обозначать малыми (строчными) буквами латинского алфавита.

Определение. Говорят, что целое число a 0 делит целое число b (целое число b делится на целое число a 0 ), если существует целое число с, такое, что b ac . Число а называется делителем числа b, а число b называется кратным числа а.

Обозначение: a | b .

Таким образом, по определению, для любых двух целых чисел a 0 и b,

df

a | b c Z : b ac .

Замечание. В записи a | b молчаливо будем предполагать, что числа а

и b являются целыми, и число a 0 . Если число а не делит число b, то будем писать a | b .

Теорема. (Свойства делимости целых чисел.) 1) Свойство рефлексивности.

Для любого целого числа a 0 , a | a .

2) Свойство транзитивности.

Если целые числа а, b и с таковы, что a | b и b | c , то a | c .

3)x Z, x 0, ax | bx a | b .

4)Если a | b , то x Z, a | bx .

5) Если a | n и a | m , то x, y Z, a | xn ym

6)Если a | n и b | m , то ab | nm .

7)Если a | b и b | a , то a b .

1

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 1, с.8

Следствие.

1)Если a 0 , то a | 0 .

2)Если a | b , то a | ( b) .

3)Если a | n и a | m , то a | n m .

4)Если a |1 , то a 1.

п.1.2. Простые и составные числа

Из определения делимости целых чисел следует, что любое целое число n 1 имеет, по крайней мере, два положительных делителя, это число 1 и само число n.

Определение. Пусть n 1. Числа 1 и n называются тривиальными (несобственными) делителями числа n. Все остальные положительные делители числа n, если они существуют, называются собственными делителями числа n.

Другими словами, если 1 a n и a | n , то число а называется собственным делителем числа n.

Определение. Натуральное число p 1 называется простым числом,

если оно не имеет собственных делителей. В противном случае, целое число p 1 называется составным.

Теорема. (О наименьшем собственном делителе.) Наименьший собственный делитель составного числа является простым числом.

Теорема. (Об оценке наименьшего собственного делителя.) Пусть n 1 – составное число и р – его наименьший собственный делитель. Тогда p2 n .

Другими словами, любое составное число n кратно простому числу p n . На этом свойстве составных чисел основан алгоритм состав-

ления таблиц простых чисел, который называется решетом Эратосфена. Имея, например, под рукой таблицу простых чисел из промежутка от 2 до 100, легко получить каноническое разложение любого натурального числа из промежутка от 2 до 10000.

2

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 1, с.8

п.1.3. Решето Эратосфена

Пусть дано целое число n 1.

1-й шаг. Выписываем по возрастанию последовательность всех целых чисел от 2 до n. Будем называть эту последовательность целых чисел списком №1:

2, 3, 4, 5, …, n.

2-й шаг. Выписываем по возрастанию последовательность всех простых чисел, начиная с простого числа 2 до простого числа р, для кото-

рого выполняется неравенство p2 n . Будем называть эту последова-

тельность простых чисел списком №2:

2, 3, 5, 7, …, р,

где p2 n , и если q – простое число, которое следует за простым числом р, то q2 n .

3-й шаг. Вычеркнем из списка №1 все числа кратные числу 2, кроме самого числа 2. Далее, вычеркнем из списка №1 все числа кратные числу 3, кроме самого числа 3. Следующее простое число в списке №2 стоит простое число 5. Вычеркнем из списка №1 все числа кратные числу 5, кроме самого числа 5. Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не вычеркнем из списка №1 все числа, кратные простым числам из списка №2, кроме них самих.

В результате такого вычеркивания, формируется список №3, состоящий из невычеркнутых из списка №1 чисел.

Теорема. Список №3 состоит из всех простых чисел из промежутка от 2 до n, и только из них.

п.1.4. Основная теорема арифметики Теорема. (Евклид) Простых чисел бесконечно много.

Теорема. (Основная теорема арифметики.) Любое натуральное число, отличное от 1, можно представить в виде произведения простых множителей и притом единственным способом, если не учитывать порядок сомножителей.

Следствие. Любое натуральное число n 1 можно единственным способом записать в виде

n p1 1 p2 2 ...pmm ,

3

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 1, с.8

где p1 p2 ... pm – простые числа, 1 , 2 ,..., m N .

разложением числа n в произведение простых множителей.

п.2. Список задач Список №1

1.Используя решето Эратосфена, составить таблицу простых чисел не превышающих заданного числа.

2.Найти все простые числа из заданного промежутка.

3.Найти все простые делители данного натурального числа.

4.Найти каноническое разложение данного натурального числа.

Список №2

1. Задачи на доказательство.

п.3. Примеры Пример 1. Составить таблицу простых чисел, не превышающих числа

50.

Решение. Составляем список №1, причем из этого списка сразу исключаем все четные числа, кроме числа 2:

{2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49}.

Составляем список №2. Он состоит из простых чисел, не превосходящих 50 , т.е. не больше 7:

{2, 3, 5, 7}.

Составляем список №3. Все четные числа кроме числа 2 из списка №1 уже исключены. Вычеркиваем из списка №1 все числа кратные числу 3, кроме самого числа 3. Заметим, что если число в списке №1 кратно 3, то следующее число кратное 3 стоит в этом списке через две позиции:

{2,3,5,7, 9 ,11,13, 15,17,19, 21,23,25, 27 ,29,31, 33, 35,37, 39 ,41,43, 45,47,49}

Вычеркиваем из списка №1 все числа кратные числу 5, кроме самого числа 5. Заметим, что если число в списке №1 кратно 5, то следующее число кратное 5 стоит в этом списке через четыре позиции:

4

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 1, с.8

{2,3,5,7, 9 ,11,13, 15,17,19, 21,23, 25, 27 ,29,31, 33, 35,37, 39 , 41,43, 45,47,49}

Вычеркиваем из списка №1 все числа кратные числу 7, кроме самого числа 7. Заметим, что если число в списке №1 кратно 7, то следующее число кратное 7 стоит в этом списке через шесть позиций:

{2,3,5,7, 9,11,13,15,17,19, 21,23, 25, 27 ,29,31, 33, 35,37, 39 ,41,43, 45,47, 49}

Выписываем оставшиеся, невычеркнутые числа и получаем список №3.

Ответ: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}.

Пример 2. Найти все простые числа из промежутка [2520, 2530] .

Решение. Так как 50 2530 51, то нам понадобится таблица простых чисел, не превышающих числа 50, которую мы получили в предыдущем примере. Выписываем все нечетные числа из заданного промежутка:

2521, 2523, 2525, 2527, 2529.

Находим ближайшее к числу 2521 нечетное число делящееся на три – 2523. Следовательно, следующее нечетное число делящееся на три стоит в списке через две позиции. Это число 2529. Вычеркиваем их:

2521, 2523,2525,2527, 2529 .

Число 2525 единственное в списке, делящееся на 5. Вычеркиваем его: 2521, 2523, 2525,2527, 2529 .

Находим, ближайшее к числу 2521 нечетное число делящееся на 7. Это число 2527. Вычеркиваем его:

2521, 2523, 2525, 2527 , 2529 .

Остается число 2521. Убеждаемся, что это число не делится ни на одно из простых чисел, не превосходящих числа 50, следовательно число 2521 простое.

Ответ: 2521.

Пример 3. Найти все простые делители числа 18354. Решение. Разделим данное число на 2:

18354 2 9177 .

Делим полученное число 9177 на 3:

9177 3 3059 .

Очевидно, что число 3059 не делится на 5. Проверяем его делимость

5

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 1, с.8

на 7:

3059 7 437 .

Так как 20 437 21, то нужно проверить делимость числа 437 на простые числа не превосходящие числа 20, т.е. на числа 11, 13, 17, 19. Выясняем, что 437 делится на 19:

437 19 23 .

Так как 23 простое число, то процесс разложения на простые множители закончен. В процессе работы удобно заполнять следующую таблицу:

Ответ: 18354 2 3 7 19 23 .

Пример 4. Разложить на простые множители число 224 1 . Решение. Разложим выражение 224 1 как разность квадратов:

224 1 (212 1)(212 1) .

Разложим 212 1 как разность квадратов, а (212 1) как сумму кубов: 212 1 (26 1)(26 1), 212 1 (24 1)(28 24 1) .

Получаем:

224 1 63 65 17 241 7 32 5 13 17 241.

Так как 15 241 16 , и число 241 не делится на простые числа не превосходящие 15, то оно простое.

Ответ: 224 1 32 5 7 13 17 241.

п.4. Задачи Задачи для аудиторного решения 1

1.Составьте таблицу простых чисел не больших 100.

2.Составьте таблицы простых чисел на промежутках:

а) [100; 200]; б) [200; 300]; в) [300; 500].

3.Найдите все простые числа на промежутках:

а) [880, 890]; б) [1900, 1910]; в) [4030, 4130].

4.Найдите каноническое разложение в произведение простых множи-

6

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 1, с.8

телей числа: а) 15! б) 82 798 848; в) 81 057 226 635 000.

Задачи повышенного уровня сложности 1

5.Для каких натуральных чисел их наибольший собственный делитель является простым числом?

6.Сколькими нулями оканчивается число: а) 25!; б) 200! ?

7.Найдите все целые решения уравнения x2 19 y2 .

Домашнее задание 1. Решето Эратосфена

1.Составьте таблицу простых чисел на промежутке [1; 1000].

2.Найдите все простые числа на промежутках:

а) [1910, 1920]; б) [4130, 4230].

3.Докажите теорему о свойствах делимости.

Самостоятельная работа 1

Вариант 1.

1.Определение делимости на множестве целых чисел.

2.Найдите все простые числа на промежутке [110, 120]. Вариант 2.

1.Определение собственного делителя целого числа.

2.Найдите все простые числа на промежутке [420, 430]. Вариант 3.

1.Определение простого числа.

2.Найдите все простые числа на промежутке [1230, 1240]. Вариант 4.

1.Определение составного числа.

2.Найдите все простые числа на промежутке [2140, 2150].

п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 1 Обозначения

1.Обозначение множества натуральных чисел.

2.Обозначение множества целых чисел.

3.Обозначение делимости.

Определения

1.Определение делимости.

2.Определение тривиальных (несобственных) делителей целого чис-

7

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 1, с.8

ла.

3.Определение собственного делителя целого числа.

4.Определение простого числа.

5.Определение составного числа.

Теоремы

1.Теорема о свойства делимости и ее следствие.

2.Теорема о наименьшем собственном делителе.

3.Теорема об оценке наименьшего собственного делителя.

4.Теорема Евклида о бесконечности простых чисел.

5.Основная теорема арифметики.

Тест 1

1.Выпишите все простые числа из первой десятки натуральных чисел.

2.Выпишите первые 10 простых чисел.

3.Выпишите все простые числа из первой сотни натуральных чисел.

4.Найдите все простые числа из промежутка [300, 310].

5.Найдите все простые числа из промежутка [1500, 1510].

6.Найдите каноническое разложение числа 720 в произведение простых множителей.

7.Найдите каноническое разложение числа 10! в произведение простых множителей.

8.Найдите наименьшее составное число большее 10, имеющее единственный простой делитель.

9.Докажите свойство транзитивности делимости целых чисел.

10.Найдите число нулей на конце числа 100!

11.Докажите, что наибольший простой делитель числа n! не превосходит n.

8

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 2, с.10

Практическое занятие 2 Алгоритм Евклида

Краткое содержание: НОД, НОК и их свойства, алгоритм деления с остатком, алгоритм Евклида, взаимно простые числа.

п.1. Теория п.1.1. Наибольший общий делитель, алгоритм деления с остатком

и алгоритм Евклида

Определение. Пусть а и b два целых числа, одновременно не равных нулю. Наибольшим общим делителем чисел а и b называется натуральное число D, удовлетворяющее следующим двум условиям:

1)D | a и D | b ;

2)если d целое число, такое, что d | a и d | b , то d D .

Обозначение: D D(a,b) н.о.д.(a,b) .

Замечание. НОД большего количества чисел определяется аналогично. Можно доказать, что

D(a1 ,a2 ,...,an ) D(a1 ,D(a2 ,...,an )) .

Справедлива и более общая формула:

D(a1 ,a2 ,...,an ) D(D(a1 ,...,ak ),D(ak 1 ,...,an )) , k {1,2,...,n 1}.

Теорема. (Свойства НОД)

1)D(a,b) D(b,a)

2)Если a | b , то D(a,b) a .

3)Для любого целого числа n, D(a,b) D(a nb,b) .

Теорема. (Алгоритм деления с остатком.) Для любых целых чисел а, b 0 , существует единственная пара целых чисел (q, r), удовлетворяющих двум условиям:

a bq r и 0 r b .

Определение. В обозначениях предыдущей теоремы, число q называется неполным частным, а r – остатком от деления числа а на число b. Если остаток r 0 , то q называется частным от деления числа а на число b.

1

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 2, с.10

Следующая последовательность делений с остатком называется алгоритмом Евклида.

Пусть а, b 0 – произвольные целые числа. Выполним деление с остатком числа а на число b:

a bq1 r1 , где 0 r1 b .

Пусть остаток r1 0 . Выполним деление с остатком числа b на остаток

r1 :

b r1q2 r2 , где 0 r2 r1 .

Пусть остаток r2 0 . Выполним деление с остатком предыдущего остатка r1 на остаток r2 :

r1 r2q3 r3 , где 0 r3 r2 .

Если остаток r3 0 , то делим r2 на r3 :

r2 r3q4 r4 , где 0 r4 r3 .

Процесс деления не может продолжаться бесконечно, так как после каждого шага остаток уменьшается, но остается при этом целым неотрицательным числом. Следовательно, через конечное число шагов этот процесс заканчивается получением нулевого остатка:

rn 1 rn qn 1 .

Теорема. Наибольший общий делитель двух целых чисел равен последнему ненулевому остатку в алгоритме Евклида, т.е. D(a,b) rn .

п.1.2. Свойство линейной представимости НОД Теорема. (Свойство линейной представимости НОД)

Пусть а, b 0 – произвольные целые числа и D – их наибольший общий делитель. Тогда существуют целые числа х и у, такие, что

D ax by .

Определение. Числа х и у в линейном представлении НОД называются коэффициентами линейного представления.

Теорема. Пусть а, b 0 – произвольные целые числа и D rn – их

наибольший общий делитель, вычисленный с помощью алгоритма Евклида, где rn – последний ненулевой остаток. Пусть q1 ,q2 ,...,qn –

2

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 2, с.10

все неполные частные алгоритма Евклида деления числа а на число b. Тогда

D axn bn y ,

числа xn и yn могут быть последовательно вычислены по следую-

щим рекуррентным формулам:

x0 0, x1 1, xk xk 2 xk 1qk , y0 1, y1 q1 , yk yk 2 yk 1qk , k 2,3,...,n .

На практике удобно последовательно заполнять клетки следующей таблицы:

п.1.3. Наименьшее общее кратное и его свойства

Определение. Пусть а и b два целых числа, отличных от нуля. Наименьшим общим кратным чисел а и b называется натуральное число K, удовлетворяющее следующим двум условиям:

1)a | K и b | K ;

2)если k целое число, такое, что a | k и b | k , то K k .

Замечание. НОК большего количества чисел определяется аналогично. Можно доказать, что

K(a1 ,a2 ,...,an ) K(a1 ,K(a2 ,...,an )) .

Справедлива и более общая формула:

K(a1 ,a2 ,...,an ) K(K(a1 ,...,ak ),K(ak 1 ,...,an )) , k {1,2,...,n 1}.

Теорема. (Связь НОД и НОК.) Пусть а и b два произвольных натуральных числа. Тогда

ab D(a,b) K(a,b) .

Теорема. (О вынесении общего множителя за знак НОД и НОК.) Об-

3

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 2, с.10

щий множитель двух целых чисел можно выносить за знаки их НОД и НОК, т.е. если m ac, n bc , то

D(m,n) D(ac,bc) cD(a,b) ,

K(m,n) K(ac,bc) cK(a,b) .

Определение. Два целых числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Следствие. Наименьшее общее кратное двух взаимно простых натуральных чисел равно их произведению.

п.1.4. Свойства взаимно простых чисел Теорема. (Свойства взаимно простых чисел.)

1)D(a,b) 1 x, y Z : ax by 1 ;

2)d D(a,b) D a , b 1 ;

d d

3)если числа а и b взаимно просты с третьим числом n, то их произведение ab также взаимно просто с числом n:

D(a,n) 1 и D(b,n) 1, то D(ab,n) 1;

4)если число k кратно каждому из взаимно простых чисел а и b, то оно кратно и их произведению:

D(a,b) 1 и a | k, b | k , то ab | k ;

5)если a | bc и D(a,b) 1 , то a | c .

Теорема. (Основное свойство простого числа.) Натуральное число р является простым тогда и только тогда, когда из того, что p | ab и

p | a следует, что p | b , где а, b – произвольные целые числа.

п.2. Список задач Список №1

1.Найти НОД и НОК данных чисел.

2.Найти линейное представление НОД двух данных чисел.

Список №2

1. Задачи на доказательство.

4

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 2, с.10

п.3. Примеры Пример 1. Найти НОД и НОК чисел 5321 и 4998.

Решение. Вычислим D(5321,4998) с помощью алгоритма Евклида. Делим число a 5321 на число b 4998 , и находим неполное частное q1 и остаток r1 :

5321 4998 1 323 ,

323 153 2 17 ,

где неполное частное q3 2 , остаток r3 17 . Делим остаток r2 153 на остаток r3 17 :

153 17 9 .

Последним ненулевым остатком является число r3 17 , оно и будет

искомым НОД.

Для вычисления НОК воспользуемся формулой:

K(a,b) D(a,b)ab D(a,b)a b 532117 4998 313 49981564374 .

Ответ: D(5321,4998) 17, K(5321,4998) 1564374 .

Пример 2. Найти линейное представление НОД чисел 5321 и 4998. Решение. Воспользуемся таблицей

где, числа xn и yn могут быть вычислены по рекуррентным форму-

лам:

x0 0, x1 1, xk xk 2 xk 1qk , y0 1, y1 q1 , yk yk 2 yk 1qk , k 2,3,...,n ,

откуда находим линейную представимость НОД

5

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 2, с.10

D(a,b) axn bn y .

В нашем случае неполные частные уже найдены в предыдущем примере:

Ответ: D(5321,4998) 5321 31 4998 ( 33) .

Пример 3. Докажите, что любые два последовательных натуральных числа являются взаимно простыми.

Доказательство. Пусть n и n 1 – два произвольных последовательных числа. Воспользуемся формулой:

D(a,b) D(a,b a) . Тогда, D(n,n 1) D(n,1) 1 , ч.т.д.

нии натурального числа n?

Решение. Найдем корни квадратного трехчлена и разложим его на ли-

6

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 2, с.10

нейные множители:

n2 8n 15 (n 3)(n 5) .

Дробь можно записать в виде

му дробь несократимая ни при каких натуральных числах n. Ответ: нет.

Пример 5. Докажите, что если p 3 – простое число, то число 1 2p2

Так как р – простое и больше 3, то р не делится на 3, следовательно,

Пример 6. Докажите, что при любом целом n число n2 1 не делится

Пример 7. При каких натуральных n числа 3n 1 и 5n 1 будут взаимно простыми?

Решение. Пусть НОД данных чисел равен d. Тогда d делит число

7

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 2, с.10

d 2 , причем в последнем случае оба числа должны быть четными, т.е. число n должно быть нечетным.

Ответ: при всех четных n.

п.4. Задачи Задачи для аудиторного решения 2

1.Найдите НОД и НОК чисел: а) 3069 и 2637; б) 6567 и 4279;

в) 29408339 и 26442001; г) 81719, 52003, 33649 и 30107.

2.Найдите линейное представление НОД чисел: а) 678 и 582; б) 703 и 697; в) 81719 и 52003; г) 33649 и 30107.

Задачи повышенного уровня сложности 2

3.Найдите все пары простых чисел р и q, удовлетворяющих условию p2 2q2 1. (Смотрите пример 5.)

4.Найдите наибольшее трехзначное число х, для которого

D(x,540) 36 .

5.При каких натуральных n будут взаимно простыми числа: а) 2n 3

иn 1 ; б) n2 1 и n 3 ?

6.Докажите, что если число n не делится на 2 и 3, то число n2 1 делится на 24.

7.Докажите, что при любом n число n5 n делится на 30.

8.Докажите, что D(2n 1,2m 1) 2D(n,m) 1.

Домашнее задание 2. Алгоритм Евклида

1.Найдите НОД и НОК чисел: а) 2261 и 861; б) 3612 и 1536; в) 213166494391 и 57337099343.

2.Найдите линейное представление НОД чисел: а) 42 и 91; б) 1073 и 899.

3.Используя свойство линейной представимости НОД, докажите теорему о вынесении общего множителя за знак НОД.

Самостоятельная работа 2

Вариант 1.

1.Определение наибольшего общего делителя двух целых чисел.

2.С помощью алгоритма Евклида найдите НОД и НОК чисел 111 и

8

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 2, с.10

93.

Вариант 2.

1.Определение взаимно простых чисел.

2.С помощью алгоритма Евклида найдите НОД и НОК чисел 371 и 329.

Вариант 3.

1.Определение наименьшего общего кратного двух целых чисел.

2.С помощью алгоритма Евклида найдите НОД и НОК чисел 8598 и 6702.

Вариант 4.

1.Определение неполного частного и остатка от деления одного целого числа на другое.

2.С помощью алгоритма Евклида найдите НОД и НОК чисел 9926 и 6286.

п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 2 Обозначения

1. Обозначение НОД и НОК.

Определения

1.Определение НОД двух целых чисел.

2.Определение остатка от деления и неполного частного.

3.Определение НОК двух целых чисел.

4.Определение взаимно простых чисел.

Теоремы

1.Свойства НОД.

2.Алгоритм деления с остатком.

3.Теорема о НОД в алгоритме Евклида.

4.Свойство линейной представимости НОД.

5.Рекуррентные формулы и таблица для вычисления коэффициентов линейного представления НОД.

6.Связь НОД и НОК.

7.Теорема о вынесении общего множителя за знак НОД и НОК.

8.НОК взаимно простых чисел.

9.Свойства взаимно простых чисел.

10.Основное свойство простого числа.

9

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 2, с.10

Тест 2

1.Выпишите все делители числа 24.

2.Выпишите все делители чисел 72 и 108 и найдите их НОД и НОК.

3.Найдите НОД чисел 72 и 108 с помощью алгоритма Евклида.

4.С помощью алгоритма Евклида найдите НОД и НОК чисел 1533 и 903.

5.Вычислите 9431 12191 и запишите результат в виде несократимой дроби.

6.Найдите линейное представление НОД чисел 97 и 37.

7.Найдите общий знаменатель дробей 21120111 и 307201237 .

8.Докажите, что среди трех последовательных натуральных чисел найдется в точности одно число делящееся на 3.

9.Докажите, что для всех нечетных натуральных чисел n число n2 1 делится на 8.

10.Крестьянка несла на базар яйца. Проезжавший всадник толкнул её,

ивсе яйца разбились. На вопрос, сколько было яиц, она сказала: «Когда я раскладывала яйца по два, одно оказалось лишним. То же самое случилось, когда я раскладывала их по 3, по 4, по 5 и по 6. А вот когда я их разложила по 7, остатка не оказалось». Сколько яиц было у крестьянки?

10

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 3, с.17

Практическое занятие 3 Сравнения по модулю

Краткое содержание: понятие сравнения по модулю, свойства сравнений, действия со сравнениями, признаки делимости, классы вычетов и их свойства, наименьший неотрицательный вычет, наименьший по абсолютной величине вычет, полная и приведенная система вычетов, функция Эйлера и ее свойства, теоремы Эйлера и Ферма.

п.1. Теория п.1.1. Сравнение по модулю

Определение. Пусть m 1 – произвольное натуральное число, а и b – произвольные целые числа. Число а называется сравнимым с числом b по модулю m, если

m | a b .

Обозначение: a b (mod m) . Таким образом, по определению,

a b (mod m) m | a b .

Замечание. Если число а кратно положительному числу b 1, то этот факт можно описать двумя равносильными способами:

b | a a 0 (mod b) .

Следствие. Равные числа сравнимы друг с другом по любому модулю.

Теорема. (Свойства сравнений.) Сравнение целых чисел по модулю натурального числа m 1 обладает следующими свойствами:

1)свойство рефлексивности: a Z , a a (mod m) ;

2)свойство симметричности: a,b Z ,

если a b (mod m) , то b a (mod m) ; 3) свойство транзитивности: a,b,c Z ,

если a b (mod m) и b c (mod m) , то a c (mod m) .

Следствие. Отношение сравнимости целых чисел по модулю является отношением эквивалентности.

1

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 3, с.17

п.1.2. Действия со сравнениями Теорема. Сравнения по одному и тому же модулю можно почленно

складывать, вычитать и умножать, т.е. если a b (mod m) и c d (mod m) , то

a c b d (mod m) и ac bd (mod m) .

Следствие. (Свойства сравнений.)

1)К обеим частям сравнения можно прибавить одно и то же слагае-

мое или сократить его, т.е. для любого целого числа k a b (mod m) a k b k (mod m) .

2)Обе части сравнения можно умножить на одно и то же число, т.е.

для любого целого числа k

a b (mod m) ak bk (mod m) .

3)Любое слагаемое, находящееся в одной части сравнения, можно перенести слагаемым в другую его часть с противоположным зна-

ком, т.е.

a k b (mod m) a b k (mod m) .

4)Обе части сравнения можно возводить в одну и ту же натуральную степень, т.е.

ab (mod m) an bn (mod m) , где n N .

5)К любой части сравнения можно прибавить слагаемое, кратное модулю или заменить его нулем, т.е. если k 0 (mod m) , то

ab (mod m) a 0 b (mod m) a k b (mod m) .

6)Любое число, кратное модулю и стоящее множителем в любой части сравнения, можно заменить нулем, т.е. если k 0 (mod m) , то

ab ck (mod m) a b c 0 (mod m) a b (mod m) .

7)Любое число, стоящее слагаемым или множителем в любой части сравнения, можно заменить любым другим числом, с которым оно сравнимо по данному модулю, т.е. если a b (mod m) , то

d a c (mod m) d b c (mod m) , d ak c (mod m) d bk c (mod m) ,

d an k c (mod m) d bn k c (mod m) , где n N .

п.1.3. Сокращения в сравнениях

Теорема. Пусть k и m 1 – произвольные натуральные числа, а и b – произвольные целые числа. Тогда

2