все для алгема / Методические пособия по АГ / МП ПЗ АГ (электронный вариант) / МП ПЗ АГ ч.1 (электронный вариант)

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 3, с.17

a b (mod m) ak bk (mod mk) .

Теорема. (Закон сокращения в сравнениях.) Обе части сравнения можно сократить на один и тот же множитель, если он взаимно простой с модулем, т.е. если D(k,m) 1 , то

ak bk (mod m) a b (mod m) .

Следствие. Если D(k,m) 1, то

a b (mod m) ak bk (mod m) .

п.1.4. Признаки делимости

Теорема. Любое натуральное число n единственным способом можно записать в виде:

n a0 a1 10 a2 102 ... am 10m am am 1...a2a1a0 ,

где

k 0,1,2,...,m : ak {0,1,2,...,9} и am 0 .

Определение. Запись натурального числа в виде n am am 1...a2a1a0 ,

где k 0,1,2,...,m : ak {0,1,2,...,9} и am 0 , называется позицион-

ной формой записи числа в системе счисления с основанием равным 10 или записью числа в десятичной системе счисления, числа ak , k 0,1,2,...,m называются его цифрами.

Замечание. В дальнейшем, как и прежде, при записи целых чисел мы пользуемся только десятичной системой счисления.

Введем для удобства записи следующие обозначения. Пусть

n am am 1...a2a1a0 – произвольное натуральное число. Обозначим че-

рез:

S(n) a0 a1 ... am – сумму цифр числа n; S(n) a0 a1 ... ( 1)m am ;

S3 (n) a2a1a0 a5a4a3 ... am ... , где последнее слагаемое будет равно am am 1am 2 , если m 2 (mod3) или am am 1 , если m 1 (mod3) или

3

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 3, с.17

am am , если m 0 (mod3) ;

S3 (n) a2a1a0 a5a4a3 ... ( 1)t am ..., где t равно полному или неполному частному от деления числа m на 3.

Теорема. Пусть n am am 1...a2a1a0 . Тогда:

1)n 0 (mod 2) a0 0 (mod 2) ;

2)n 0 (mod3) S(n) 0 (mod3) ;

3)n 0 (mod 4) a1a0 0 (mod 4) ;

4)n 0 (mod5) a0 0 (mod5) ;

5)n 0 (mod7) S3 (n) 0 (mod7)

6)n 0 (mod8) a2a1a0 0 (mod8) ;

7)n 0 (mod9) S(n) 0 (mod9) ;

8)n 0 (mod11) S3 (n) 0 (mod11) S(n) 0 (mod11) ;

9)n 0 (mod13) S3 (n) 0 (mod13) ;

10)n 0 (mod 25) a1a0 0 (mod 25) ;

11)n 0 (mod37) S3 (n) 0 (mod37) .

п.1.5. Классы вычетов Определение. Любое целое число х сравнимое с данным числом а по

данному модулю m называется вычетом числа а по модулю m.

Таким образом, если x a (mod m) , то х – вычет числа а по модулю m.

Определение. Множество всех вычетов числа а по модулю m называ-

ется классом вычетов числа а по модулю m, и обозначается a .

Другими словами, класс вычетов числа а по модулю m a {x Z | x a (mod m)}

является, по определению, множеством состоящим из всех целых чисел сравнимых с числом а по модулю m.

Теорема. Любые два числа из класса вычетов по модулю m сравнимы

4

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 3, с.17

друг с другом по модулю m, т.е. если b,c a , то b c (mod m) .

Теорема. (О равенстве классов вычетов.) Пусть a и b два класса вычетов по модулю m. Тогда

a b a b (mod m) .

Определение. Наименьшее неотрицательное число, содержащееся в классе вычетов числа а по модулю m называется его наименьшим неотрицательным вычетом.

Теорема. (О наименьшем неотрицательном вычете.) Наименьший неотрицательный вычет числа а по модулю m равен остатку от деления числа а на модуль m, и обозначается ra (mod m) .

Замечание. Если модуль фиксированный, то наименьший неотрицательный вычет числа а по модулю m будем обозначать ra .

Таким образом, из последней теоремы следует, что для любого целого числа а, существует единственный его наименьший неотрицательный вычет ra , следовательно,

a ra (mod m) и a ra .

Теорема. (Свойства классов вычетов.) Пусть m 1 – произвольное фиксированное натуральное число. Тогда

1)Любые два класса вычетов по модулю m либо совпадают, либо не пересекаются.

2)Каждое целое число попадает в один и только один класс вычетов по модулю m.

3)Существует ровно m классов вычетов по модулю m:

0, 1, ..., m 1 ,

где числа 0,1,...,m 1 являются наименьшими неотрицательными вычетами в своих классах вычетов.

4)Объединение всех классов вычетов по модулю m совпадает с множеством целых чисел:

Z 0 1 ... m 1.

5

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 3, с.17

Замечание. Множество всех классов вычетов по модулю m обозначается Zm . Из теоремы следует, что

Zm {0, 1, ..., m 1} .

Теорема. Все числа любого класса вычетов по модулю m образуют бесконечную (в обе стороны) арифметическую прогрессию с разностью прогрессии m. Все члены этой прогрессии можно описать формулой:

at a0 t m, t Z ,

где a0 – наименьший неотрицательный вычет.

п.1.6. Полная и приведенная система вычетов Определение. Множество чисел, взятых в точности по одному из ка-

ждого класса вычетов по модулю m, называется полной системой вычетов по модулю m.

Определение. Любой вычет числа а по модулю m называется пред-

ставителем класса вычетов a .

Замечание. Обычно, из каждого класса вычетов в качестве его представителя берется наименьший неотрицательный вычет. В результате, полная система вычетов по модулю m имеет вид

{0,1,...,m 1}.

Определение. Вычет b числа а по модулю m называется абсолютно наименьшим вычетом, если он по абсолютной величине не превосхо-

дит половины модуля, т.е. если | b | m2 .

Определение. Полная система вычетов по модулю m называется полной системой абсолютно наименьших вычетов, если каждый вычет в этой системе по абсолютной величине не превосходит половины модуля.

Теорема. Если a b (mod m) , то D(a,m) D(b,m) .

6

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 3, с.17

Другими словами, все числа из одного класса вычетов по модулю m имеют с модулем m одинаковый наибольший общий делитель.

Определение. Класс вычетов a числа а по модулю m называется примитивным, если числа а и m взаимно простые, т.е. D(a,m) 1.

Определение. Множество чисел, взятых в точности по одному из каждого примитивного класса вычетов, называется приведенной системой вычетов по модулю m.

Замечание. Если из каждого примитивного класса вычетов по модулю m взять в качестве его представителя наименьший неотрицательный вычет, то в случае простого модуля, т.е. когда m p – простое

число, приведенная система вычетов будет иметь вид: {1, 2, ..., p 1} .

В случае произвольного модуля приведенную систему вычетов обозначают

{a1 ,a2 ,...,at } ,

где t – число примитивных классов вычетов.

Множество всех примитивных классов вычетов по модулю m обозначается Z*m . Таким образом, по определению

Z*m {a1 ,a2 ,...,at } ,

где t – число примитивных классов вычетов по модулю m.

п.1.7. Теоремы Эйлера и Ферма Определение. Количество чисел в последовательности

0,1,...,m 1

взаимно простых с числом m называется функцией Эйлера и обозначается (m) .

Замечание. Из последнего определения следует, что число примитивных классов вычетов по модулю m равно (m) , и приведенная систе-

ма вычетов по модулю m содержит t (m) чисел. В частности, если m p – простое число, то (p) p 1 .

7

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 3, с.17

Теорема. (Свойства функции Эйлера.)

1)Свойство мультипликативности. Если m и n – взаимно простые натуральные числа, то

(m n) (m) (n) .

2)(1) 1

3)Если р – простое число, то для любого натурального числа n

(pn ) pn pn 1 .

Замечание. Свойства функции Эйлера позволяют вычислять ее значения для любого натурального числа. Пусть имеется каноническое разложение натурального числа n в произведение простых множителей:

n p1 1 p2 2 ...pmm .

Тогда

(n) (p1 1 ) (p2 2 )... (pmm ) (p1 1 p1 1 1 )(p2 2 p2 2 1 )...(pmm pmm 1 )

Теорема. (Теорема Эйлера.) Пусть m 1 – произвольное натуральное число. Тогда для любого целого числа а взаимно простого с m верно сравнение

a (m) 1 (mod m) .

Теорема. (Малая теорема Ферма) Пусть р – простое число. Тогда для любого целого числа а верно сравнение

ap a (mod p) .

п.2. Список задач Список №1

1.Определить, сравнимы ли данные числа по данному модулю.

2.Найти сумму, разность и произведение двух данных сравнений.

3.Умножить данное сравнение на данное число.

4.Сократить данное сравнение на общий множитель.

5.Найти наименьший неотрицательный вычет данного числа по данному модулю.

6.Найти наименьший по абсолютной величине вычет данного числа

8

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 3, с.17

по данному модулю.

7.Выписать полную систему вычетов по данному модулю.

8.Выписать полную систему наименьших по абсолютной величине вычетов по данному модулю.

9.Вычислить значение функции Эйлера для данного натурального числа.

10.Выписать приведенную систему вычетов по данному модулю.

11.Выписать приведенную систему наименьших по абсолютной величине вычетов по данному модулю.

12.Выписать множество всех классов вычетов по данному модулю.

13.Выписать множество всех примитивных классов вычетов по данному модулю.

14.Найти остаток от деления одного целого числа на другой с помощью действий со сравнениями.

15.Найти последнюю цифру данного числа.

Список №2

1.Найти две последние цифры данной натуральной степени целого числа.

2.Задачи на доказательство и задачи повышенного уровня сложности.

п.3. Примеры Пример 1. Сравнимы ли числа 226 и 167 по модулю 15?

Решение. Найдем разность данных чисел: 226 167 59 .

Так как 59 не делится на 15, то данные числа не сравнимы друг с другом по модулю 15.

Ответ: нет.

Пример 2. Найти сумму, разность и произведение сравнений

5 1(mod6), 83 5(mod6) .

Решение. 1) 5 83 1 5(mod6) или 88 4(mod6) .

2)5 83 1 5(mod6) или 78 6(mod6) .

3)5 83 ( 1) 5(mod6) или 415 5(mod6) .

Ответ: 88 4(mod6) , 78 6(mod6) , 415 5(mod6) .

Пример 3. Умножить сравнение 3 1(mod 4) на 6.

9

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 3, с.17

Решение. 3 6 ( 1) 6(mod 4) . Ответ: 18 6(mod 4) .

Пример 4. Сократить 88 4(mod6) на общий множитель.

Решение. Все три части сравнения можно сократить на общий множитель 2:

88 4(mod6) 44 2(mod3) .

Так как числа 2 и 3 взаимно простые, то последнее сравнение можно сократить на 2:

44 2(mod3) 22 1(mod3) . Ответ: 22 1(mod3) .

Пример 5. Найти наименьший неотрицательный вычет числа 5439 по модулю 15.

Решение. Разделим данное число 5439 на 15 с остатком: 5439 15 362 9 и 9 15.

меньше модуля 15, то 9 – наименьший неотрицательный вычет числа 5439 по модулю 15.

Ответ: 5439 9(mod15) .

Пример 6. Найти наименьший по абсолютной величине вычет числа 5439 по модулю 15.

Решение. 5439 9(mod15) , но 9 152 . Следовательно, 9 не является

наименьшим по абсолютной величине вычетом. Вычтем из правой части сравнения 5439 9(mod15) модуль 15:

5439 9(mod15) 5439 9 15(mod15) 5439 6(mod15) .

Вычет (–6) числа 5439 по абсолютной величине равен | 6 | 6 152 ,

следовательно, наименьшим по абсолютной величине вычетом числа 5439 по модулю 15 является число –6.

Ответ: 5439 6(mod15) .

Пример 7. Выписать полную систему вычетов по модулю 15.

Ответ: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}.

10

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 3, с.17

Пример 8. Выписать полную систему наименьших по абсолютной величине вычетов по модулю 15.

Решение. 8 8 15(mod15) 8 7(mod15) . Прибавляя по 1 к обеим

частям сравнения, получаем:

9 6(mod15),...,14 1(mod15) . Ответ: {–7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Пример 9. Выписать полную систему наименьших по абсолютной величине вычетов по модулю 8.

Решение. Выписываем полную систему вычетов по модулю 8: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Имеем, 4 4(mod8) , 5 3(mod8) , 6 2(mod8) ,

7 1(mod8) .

Ответ: { –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}.

Пример 10. Выписать приведенную систему вычетов по модулю 15.

Решение. Из чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 взаимно простыми с модулем 15 являются числа

1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14. Ответ: {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}.

Пример 11. Выписать все классы вычетов по модулю 6.

Ответ: {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Пример 12. Выписать все примитивные классы вычетов по модулю 6.

Ответ: {1, 5} .

Пример 13. Найти остаток от деления числа 72010 на 11.

Решение. Так как число 7 взаимно просто с модулем 11, то по теореме

ством степеней:

72010 (710 )201 .

Переходя от равенства к сравнению по модулю 11, получаем: 72010 (710 )201 (mod11) 1(mod11) .

Ответ: 1.

11

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 3, с.17

Пример 14. Найти последнюю цифру числа 72010 .

Решение. Последняя цифра числа сравнима с его остатком при делении его на 10, поэтому она равна его наименьшему неотрицательному вычету по модулю 10:

72010 r (mod10) .

Так как числа 7 и 10 взаимно простые, то, применяя теорему Эйлера, получаем

7 (10) 1(mod10) .

Вычисляем значение функции Эйлера (10) :

(10) (2 5) (2) (5) (2 1)(5 1) 4 .

Таким образом,

74 1(mod10) .

По свойству степеней,

72010 74 502 2 (74 )502 72 .

Переходя в этом равенстве к сравнению по модулю 10, получаем: 72010 (74 )502 72 (mod10) 49(mod10) 9(mod10) .

Ответ: 9.

Пример 15. Ваш знакомый родился 14 сентября 1993 года. Зная, что 14 сентября 2010 года является вторником, найдите день недели дня рождения вашего знакомого.

Решение. Вычислим, сколько дней прошло с дня рождения 14 сентября 1993 года по 13 сентября 2010 года. День 14 сентября 1993 года считаем 0-м днем, тогда 14 сентября 1994 года – это 365-й день, так как 1994-й год был не високосный. Обозначим через n число дней считая с 15 сентября 1993 года по 14 сентября 2010 года включительно. Тогда день рождения 14 сентября 2010 года будет n -м днем. Вычисляем число n:

n 365 17 4 ,

где 4 – по одному дню в високосные годы. Найдем наименьший неотрицательный вычет числа n по модулю 7. Так как число 364 делится на 7, то 365 1(mod 7) . Далее, 17 3(mod7) , откуда следует:

n 365 17 4(mod7) 3 4(mod7) 0(mod 7) .

Следовательно, 14 сентября 2010 года и 14 сентября 1993 года являются одинаковыми днями недели. Так как 14 сентября 2010 года – вторник, то 14 сентября 2010 года тоже вторник.

12

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 3, с.17

Ответ: день рождения был вторником.

Пример 16. Докажите, что числа 152010 и 21 несравнимы друг с другом по модулю 35.

Решение. Допустим противное. Пусть 152010 21(mod35) , тогда по свойствам сравнения D(152010 ,35) D(21,35) 7 . Так как 5 | D(152010 ,35) , то отсюда следует, что 5 | 7 . Получили противоречие,

так как 5 не делит 7. Следовательно, наше предположение неверное и данные числа несравнимы по модулю 35, ч.т.д.

п.4. Задачи Задачи для аудиторного решения 3

1.Среди чисел 123, 211, 134, 214, 303, 21 найдите все пары чисел, сравнимых между собой по модулю 5.

2.Среди чисел 135, 226, 106, 181, 225, 167, 452 найдите все пары чи-

сел, сравнимых между собой по модулю 15.

3.Какие из чисел 137, 343, 633 сравнимы с числом 13 по модулю 31?

4. Найти сумму, разность и произведение сравнений

15 8(mod7), 83 6(mod7) .

5.Умножьте сравнение 5 21(mod16) на 6.

6.Сократите все части сравнения 16 80(mod96) на общий множи-

тель. Верно ли сравнение 8 40(mod96) ?

7. Проведите все возможные сокращения в сравнении

22414(mod30) .

8.Найдите наименьший неотрицательный вычет данных чисел по данному модулю: а) 127, 110, 203 по модулю 11; б) 136, 151, 210 по модулю 15; в) 406, 1596, 35671 по модулю 12.

9.Найдите наименьший по абсолютной величине вычет данных чисел по данному модулю: а) 99, 138, 202 по модулю 11; б) 299, 602, 300

по модулю 30; в) 2013, 34973 по модулю 36.

10.Найдите полную и приведенную систему вычетов по модулю: а) 8;

б) 9; в) 10; г) 11.

11.Найдите полную и приведенную систему наименьших по абсолютной величине вычетов по модулю: а) 8; б) 9; в) 10; г) 11.

12.Вычислите значение функции Эйлера от чисел: 13, 169, 1001, 45000.

13.Найдите число примитивных классов вычетов по модулю: а) 30;

13

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 3, с.17

б) 100.

14. В последовательности чисел 1, 2, …, 2700 найдите количество чисел взаимно простых с числом 2700.

15. Найдите остаток от деления: а) числа 1349 на 48; б) числа

3200 7200 на 101; в) числа 765 1165 на 80.

16.Найдите последнюю цифру чисел 17281 , 19321 , 132161 .

17.Докажите, что число 37120 1 делится на 700.

Задачи повышенного уровня сложности 3

18.Докажите, что любые m последовательных натуральных чисел образуют полную систему вычетов по модулю m.

19.Докажите свойства сравнений.

20.Докажите закон сокращения в сравнениях.

21.Докажите признаки делимости.

22.Докажите, что наименьший неотрицательный вычет числа а по модулю m равен остатку от деления числа а на модуль m.

23.Число 0 и все натуральные числа выписаны одно за другим без запятых и пробелов в ряд: 012345678910111213… . Какая цифра стоит на 2010-й позиции?

24.Найдите две последние цифры чисел 17281 , 19321 , 132161 .

25.Докажите, что 15243 10(mod30) .

26.Зная, что 12 июня 2010 года суббота, найдите день недели Дня независимости России в 2020-м году.

27.Докажите, что из любых 100 целых чисел можно выбрать 15 таких чисел, что для любых двух из них их разность делится на 7.

28.Докажите, что если два целых числа не делятся на 3, то и сумма их квадратов тоже не делится на 3.

29.Докажите, что числа вида n 9m 4, m N нельзя представить в

виде n a3 b3 c3 , a,b,c N .

Домашнее задание 3. Сравнения по модулю

1.Среди чисел 146, 1201, 182, 241 найдите все пары чисел, сравнимых между собой по модулю 12.

2. Найти сумму, разность и произведение сравнений 25 3(mod11), 50 5(mod11) . Умножьте первое сравнение на 2, а

второе на –3.

3. Произведите правильные сокращения в сравнениях 45 9(mod18) и

14

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 3, с.17

306(mod8) .

4.Найдите наименьший неотрицательный вычет числа 987 по модулю

24.

5.Найдите наименьший по абсолютной величине вычет числа 98 по модулю 17.

6.Выпишите полную и приведенную систему вычетов по модулю 4.

7.Выпишите полную и приведенную систему наименьших по абсолютной величине вычетов по модулю 4.

8.Найдите число примитивных классов вычетов по модулю 1000.

9.Найдите остаток от деления числа 7312 на 7.

10.Найдите последнюю цифру числа 225 1 .

Самостоятельная работа 3

Вариант 1.

1.Определение сравнения по модулю.

2.Выпишите полную систему вычетов по модулю 7.

3.Найдите наименьший неотрицательный вычет числа 222 по модулю

7.

Вариант 2.

1.Определение вычета данного числа по данному модулю.

2.Выпишите приведенную систему вычетов по модулю 7.

3.Найдите наименьший по абсолютной величине вычет числа 335 по модулю 7.

Вариант 3.

1.Определение класса вычетов данного числа по данному модулю.

2.Выпишите полную систему наименьших по абсолютной величине вычетов по модулю 7.

3.Найдите остаток от деления числа 32010 на 7.

Вариант 4.

1.Определение наименьшего неотрицательного вычета данного числа по данному модулю.

2.Выпишите приведенную систему наименьших по абсолютной величине вычетов по модулю 8.

3.Найдите последнюю цифру числа 32010 .

п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 3 Обозначения

1. Обозначение сравнения двух целых чисел по заданному модулю.

15

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 3, с.17

2.Обозначение класса вычетов данного числа по известному фиксированному модулю.

3.Обозначение наименьшего неотрицательного вычета данного числа по данному модулю.

4.Обозначение множества всех классов вычетов по данному модулю.

5.Обозначение множества всех примитивных классов вычетов по данному модулю.

6.Обозначение функции Эйлера.

Определения

1.Определение сравнения по модулю.

2.Определение вычета числа по данному модулю.

3.Определение класса вычетов данного числа по данному модулю.

4.Определение наименьшего неотрицательного вычета данного числа по данному модулю.

5.Определение полной системы вычетов по данному модулю.

6.Определение наименьшего по абсолютной величине вычета данного числа по данному модулю.

7.Определение полной системы наименьших по абсолютной величине вычетов по данному модулю.

8.Определение примитивного класса вычетов данного числа по данному модулю.

9.Определение приведенной системы вычетов по данному модулю.

10.Определение приведенной системы наименьших по абсолютной величине вычетов по данному модулю.

11.Определение функции Эйлера.

Теоремы

1.Свойства сравнений.

2.Теорема о действиях со сравнениями и ее следствие о свойствах действий со сравнениями.

3.Теорема о сокращении в сравнениях.

4.Закон сокращений в сравнениях.

5.Признаки делимости.

6.Теорема о наименьшем неотрицательном вычете.

7.Теорема о равенстве классов вычетов.

8.Свойства классов вычетов.

9.Свойства функции Эйлера.

10.Теорема Эйлера.

16

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 4, с.21

Практическое занятие 4 Сравнения 1-й степени

Краткое содержание: действия с классами вычетов, понятие группы, группа классов вычетов, таблица Кэли, понятие кольца и поля, кольцо классов вычетов, поле классов вычетов, решение линейных уравнений в кольце классов вычетов, сравнения 1-й степени и методы их решений.

п.1. Теория п.1.1. Действия с классами вычетов

Пусть m 1 – произвольное натуральное число, a, b Zm – два произ-

вольных класса вычетов по модулю m. Определим сложение и умножение классов вычетов по следующим правилам:

a b a b, a b a b .

Определение. Класс вычетов a b по модулю m называется суммой классов вычетов a и b по модулю m. Класс вычетов ab по модулю m

называется произведением классов вычетов a и b по модулю m.

Замечание. Из определений следует, что для сложения классов вычетов достаточно из каждого слагаемого выбрать по одному представителю и сложить их. Полученная сумма представителей будет представителем класса суммы. Аналогично для умножения классов. Можно доказать, что результат сложения и умножения классов вычетов по заданному модулю не зависит от выбора представителей этих классов.

Так как число классов вычетов по модулю конечно, то для множества Zm можно составлять таблицы сложения и умножения. Такие

таблицы называются таблицами Кэли. Смотрите ниже, в пункте 3, примеры.

Теорема. Множество примитивных классов вычетов замкнуто относительно умножения, т.е. произведение двух примитивных классов вычетов есть примитивный класс вычетов:

a,b Z*m , a b a b Z*m .

Последняя теорема позволяет составлять таблицу умножения для множества Z*m .

1

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 4, с.21

п.1.2. Понятие группы

Пусть дано произвольное множество G. Что из себя представляют элементы множества G нас пока не будет интересовать. Это могут быть числа, функции, многочлены, векторы, классы вычетов или чтото другое, это неважно. Важно, что на множестве G определено сложение его элементов или умножение.

Определение. Говорят, что на множестве G определена операция сложения (умножения), если для любых двух его элементов a,b G

определен элемент a b G ( ab G ), который называется суммой (произведением) элементов а и b.

Замечание. Если сумма a b (произведение ab ) любых элементов а и b множества G также является его элементом, то в этом случае говорят, что множество G замкнуто относительно операции сложения (умножения) его элементов. Если мы сами определяем на некотором множестве правило сложения или умножения, то мы должны позаботиться о том, чтобы данное множество было замкнутым относительно определяемых операций.

Определение. Пусть на множестве G определена операция сложения.

Если существует такой элемент G , который обладает свойством:

a G, a a a ,

тогда элемент называется нулевым элементом или просто нулем, и часто обозначается цифрой 0.

Определение. Пусть на множестве G определена операция умножения. Если существует такой элемент e G , который обладает свойством:

тогда элемент е называется единичным элементом или просто единицей, и часто обозначается цифрой 1.

Определение. Пусть на множестве G определена операция сложения и существует нулевой элемент 0 G . Пусть a G – какой-нибудь элемент множества G. Если существует элемент b G , для которого выполняется равенство:

a b b a 0 ,

2

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 4, с.21

тогда элемент b называется противоположным элементу а, и обозначается a .

элемента следует, что элемент а является противоположным элементу

a , т.е. a ( a) .

Определение. Пусть на множестве G определена операция умножения и существует единичный элемент e G . Пусть a G – какойнибудь элемент множества G. Если существует элемент b G , для которого выполняется равенство:

ab ba e ,

тогда элемент b называется обратным элементу а, и обозначается a 1 . При этом сам элемент а называется обратимым элементом.

Таким образом, по определению обратного элемента a a 1 a 1 a e .

Заметим, что из определения обратного элемента следует, что элемент а является обратным элементу a 1 , т.е. a (a 1 ) 1 .

Определение. Операция сложения (умножения), определенная на множестве G, называется ассоциативной (подчиняется закону ассоциативности), если для любых трех его элементов a,b,c G верно ра-

венство

(a b) c a (b c) ( (ab)c a(bc) ).

Определение. Операция сложения (умножения), определенная на множестве G, называется коммутативной (подчиняется закону коммутативности), если для любых двух его элементов a,b G верно равен-

ство

a b b a ( ab ba ).

Определение. Множество G называется группой относительно операции сложения, если на этом множестве определена операция сложения, которая удовлетворяет следующим трем условиям, которые на-

3

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 4, с.21

зываются аксиомами группы:

1)сложение подчиняется закону ассоциативности;

2)в множестве G есть нулевой элемент G ;

3)для любого элемента a G в множестве G есть противоположный ему элемент a G .

Определение. Множество G называется группой относительно операции умножения, если на этом множестве определена операция умножения, которая удовлетворяет следующим трем аксиомам:

1)умножения подчиняется закону ассоциативности;

2)в множестве G есть единичный элемент e G ;

3)любой элемент a G является обратимым в множестве G, то есть существует обратный ему элемент a 1 G .

Определение. Группа G относительно операции сложения или умножения называется абелевой или коммутативной, если групповая операция (т.е. сложение или умножение) подчиняется закону коммутативности.

п.1.3. Понятие кольца и поля Определение. Множество А, на котором определены две алгебраиче-

ские операции – сложение и умножение, называется кольцом, если относительно сложения множество А является абелевой группой, и выполняется условие (закон дистрибутивности умножения относительно сложения):

x, y,z A, x(y z) xy xz, (y z)x yx zx .

Определение. Если в кольце А существует единичный элемент отличный от нулевого элемента, то кольцо А называется кольцом с единицей.

Определение. Если умножение в кольце А подчиняется закону коммутативности, то кольцо А называется коммутативным кольцом.

Определение. Если в кольце А для некоторых его ненулевых элементов a,b A, a 0 b верно равенство

ab 0 ,

то элемент а называется левым делителем нуля, а элемент b – правым делителем нуля.

4