все для алгема / Методические пособия по АГ / МП ПЗ АГ (электронный вариант) / МП ПЗ АГ ч.1 (электронный вариант)

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 5, с.12

z a bi (a 0 i) (0 b i) .

Число 0 0 0 i является нулевым элементом относительно операции сложения, а число 1 1 0 i – единичным элементом относительно умножения комплексных чисел.

п.1.3. Комплексно сопряженные числа и их свойства Определение. Комплексное число a bi называется комплексно сопряженным комплексному числу a bi .

Из определения сразу же следует, что число a bi является комплексно сопряженным числу a bi , т.е. такие числа, которые отличаются друг от друга лишь знаком мнимой части являются комплексно сопряженными друг другу.

Обозначение. Если z a bi , то комплексно сопряженное к нему число обозначается

z a bi a bi .

Теорема. (Свойства комплексно сопряженных чисел.)

1.z C, z z ;

2.z1 ,z2 C, z1 z2 z1 z2 ;

3.z1 , z2 , ..., zn C, z1 z2 ... zn z1 z2 ... zn ;

4.z1 ,z2 C, z1 z2 z1 z2 ;

5.z1 , z2 , ..., zn C, z1 z2 ... zn z1 z2 ... zn ;

6.z C, k N, zk (z)k ;

7.a R, a a ;

8.z C, a R, a z a z ;

9.Для любого многочлена f (z) R[z] с действительными коэффици-

ентами от комплексной переменной z f (z) f (z) .

п.1.4. Вычитание и деление комплексных чисел в алгебраической форме записи

Комплексное число z (a b i) a b i является противоположным числу z a b i , а комплексное число

3

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 5, с.12

является обратным ненулевому комплексному числу z a b i .

Определим операцию вычитания, как сложение с противоположным: (a bi) (c di) (a bi) ( c di) (a c) (b d)i .

Определим операцию деления, как умножение на обратный элемент.

x a bi 0, y c di C , полагаем:

xy y x 1 (c di)(a bi) 1 .

Однако, на практике удобнее пользоваться не этой формулой, а следующим правилом.

Правило деления комплексных чисел

Для того, чтобы разделить одно комплексное число на другое, нужно числитель и знаменатель дроби умножить на число комплексно сопряженное знаменателю:

п.2. Список задач Список №1

1.Найти сумму двух комплексных чисел в алгебраической форме записи.

2.Найти разность двух комплексных чисел в алгебраической форме записи.

3.Найти комплексное число, противоположное данному комплексному числу.

4.Найти произведение двух комплексных чисел в алгебраической форме записи.

5.Найти комплексное число, комплексно-сопряженное данному комплексному числу.

6.Найти частное двух комплексных чисел в алгебраической форме

4

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 5, с.12

записи.

7.Найти комплексное число, обратное данному.

8.Найти квадрат и куб данного комплексного числа.

9.Решение линейных уравнений с комплексными коэффициентами.

Список №2

1.Найти целую степень мнимой единицы.

2.Решение линейных уравнений с комплексными коэффициентами, содержащие комплексную переменную и комплексно сопряженную ей.

3.Решение систем из двух линейных уравнений с двумя неизвестными над полем комплексных чисел.

4.Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков над полем комплексных чисел.

п.3. Примеры

Пример 1. Найти сумму комплексных чисел: z1 1 7i и z2 2 5i .

Решение.

z1 z2 ( 1 7i) (2 5i) ( 1 2) (7i 5i) 1 2i . Ответ: z1 z2 1 2i .

Пример 2. Найти разность комплексных чисел: z1 1 7i и

z2 2 5i .

Решение.

z1 z2 ( 1 7i) (2 5i) 1 7i 2 5i 3 12i . Ответ: z1 z2 3 12i .

Пример 3. Найти комплексное число, противоположное числу z 1 7i .

Решение. z ( 1 7i) 1 7i .

Ответ: z 1 7i .

Пример 4. Найти произведение комплексных чисел: z1 1 7i и

z2 2 5i .

Решение. z1z2 ( 1 7i)(2 5i) . Раскрываем скобки и учитываем, что

5

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 5, с.12

i2 1 :

z1z2 ( 1 7i)(2 5i) 2 5i 14i 35i2 33 19i Ответ: z1z2 33 19i .

Пример 5. Найти комплексное число, комплексно-сопряженное комплексному числу z 1 7i .

Решение. z 1 7i 1 7i . Ответ: z 1 7i .

Пример 7. Найти комплексное число, обратное комплексному числу

( 1 7i)3 ( 1 7i)2 ( 1 7i) ( 48 14i)( 1 7i)

2(24 7i)( 1 7i) 2( 24 49 168i 7i)

2( 73 161i) 146 322i

Ответ: ( 1 7i)2 48 14i , ( 1 7i)3 146 322i .

Пример 9. Решить уравнение (2 i)z 1 3i 0 .

6

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 5, с.12

Ответ: z 1 i .

Пример 10. Решить уравнение 3z 5z 5 11i .

Решение. Пусть z x iy , где x, y R . Тогда z x iy . Подставим в

данное уравнение:

3(x iy) 5(x iy) 5 11i .

Раскрываем скобки в левой части уравнения и приводим подобные члены:

8x 2yi 5 11i .

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:

8x 5, 2y 11 .

Отсюда находим:

Решение. Исключим из системы неизвестную х. Для этого, умножим первое уравнение на i, а второе – на –3:

3ix (2 i)iy ( 7 5i)i3(ix 5y) ( 7 15i)( 3) .

Складывая уравнения, получаем:

Подставляем найденное значение у во второе уравнение системы: ix 5(2 3i) 7 15i .

Решая это уравнение, находим значение неизвестной х:

7

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 5, с.12

x 3i .

Ответ: x 3i, y 2 3i .

Пример 12. Найти in , где n Z . Решение.

io 1, i1 i , i2 1 , i3 i2 i i , i4 i2 i2 (i2 )2 ( 1)2 1.

Пусть n Z – произвольное целое число. Разделим его на 4 с остатком:

где m Z – целое число – частное или неполное частное от деления числа n на 4.

Если использовать понятие сравнения целых чисел по модулю, то ответ можно записать в следующем виде.

Ответ: 1i i, i13 i, i2010 1.

8

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 5, с.12

п.4. Задачи Задачи для аудиторного решения 5

1. Вычислите:

а) 3 7i 6 5i ; б) 3i 7 2i ; в) 2 4i 7 i ;

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 5, с.12

Самостоятельная работа 5

Вариант1.

1.Определение комплексного числа.

2.Для комплексного числа z 3 i найти комплексно сопряженное

Вариант3.

1.Определение числа комплексно сопряженного данному комплексному числу.

2.Для комплексного числа z 3 i найти комплексно сопряженное

Вариант4.

1. Определение мнимой единицы.

2. Для комплексного числа z 1 i 3 найти комплексно сопряжен-

ное число z и вычислить их частное zz .

п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 5 Обозначения

1.Обозначение множества комплексных чисел.

2.Обозначение мнимой единицы.

3.Обозначение действительной (вещественной) части комплексного числа.

10

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 5, с.12

4.Обозначение мнимой части комплексного числа.

5.Обозначение алгебраической формы записи комплексного числа.

6.Обозначение комплексно сопряжённого числа.

Определения

1.Определение комплексного числа.

2.Определение равенства комплексных чисел.

3.Определение мнимой единицы.

4.Определение суммы комплексных чисел.

5.Определение произведения комплексных чисел.

6.Определение алгебраической формы записи комплексного числа.

7.Определение действительной части комплексного числа.

8.Определение мнимой части комплексного числа.

9.Определение чисто мнимого комплексного числа.

10.Определение комплексно сопряженного числа.

11.Определение разности двух комплексных чисел.

12.Определение частного двух комплексных чисел.

Теоремы

1.Об алгебраической структуре множества комплексных чисел.

2.Об алгебраической форме записи комплексных чисел.

3.Свойства комплексно сопряженных чисел.

4.Правило деления комплексных чисел.

Тест 5

1.Найдите алгебраическую форму записи суммы комплексных чисел z1 2 3i и z2 3 2i .

2.Найдите алгебраическую форму записи комплексного числа, противоположного комплексному числу 4 5i .

3.Найдите алгебраическую форму записи разности z1 z2 комплекс-

ных чисел z1 2 3i и z2 3 2i .

4. Найдите алгебраическую форму записи произведения комплексных чисел z1 2 3i и z2 3 2i .

5.Найдите комплексное число, комплексно сопряженное комплексному числу 3 i .

6.Найдите алгебраическую форму записи комплексного числа, обрат-

ного комплексному числу 3 3i .

11

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 5, с.12

чисел z1 2 3i и z2 3 2i .

8.Решите уравнение ( 2 i)z 5 5i 0 .

9.Вычислите значение многочлена f (z) z2 2z 2 при z 1 3i .

10.Решите уравнение 2z 3z 4 5i .

12

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 6, с.9

Практическое занятие 6 Комплексные числа – 2

Краткое содержание: понятие корня натуральной степени из комплексного числа, квадратные корни из комплексного числа, решение квадратных уравнений над полем комплексных чисел.

п.1. Теория п.1.1. Понятие корня натуральной степени из комплексного числа

Определение. Пусть n N – произвольное натуральное число. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число , такое, что n z .

Теорема. (О существовании и количестве корней n-й степени из комплексного числа.)

Существует ровно n корней n-й степени из комплексного числа.

Замечание. Для обозначения корней n-й степени из комплексного числа применяют обычный знак радикала. Но есть одно существенное отличие.

Если а – положительное действительное число, то n a по определению обозначает положительный корень n-й степени, его называют арифметическим корнем.

Если n – нечетное число, то существует единственный корень n-й степени из любого действительного числа а. При a 0 этот единст-

венный корень n a является по определению арифметическим, при

a 0 этот единственный корень n a не является арифметическим, но может быть выражен через арифметический корень из противополож-

ного числа: n a n a , где n a является арифметическим, т.к.

a 0 .

Если n – четное число, то существует ровно два действительных корня n-й степени из положительного числа и они являются противоположными числами, поэтому один из них положительный, его и обо-

значают n a и называют его арифметическим, а второй будет отрицательным, противоположным арифметическому и его обозначают

n a .

Влюбом случае, знак n a обозначает (при условии, что это выражение имеет смысл) только одно число, один корень.

Вслучае же, если z C – комплексное число, то для любого нату-

1

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 6, с.9

рального числа n выражение n z всегда имеет смысл и обозначает все множество корней n-й степени из комплексного числа z:

n z { o , 1 , ..., n 1} ,

где o , 1 , ..., n 1 – все n корней n-й степени из комплексного числа z, так что по определению k {0,1, ..., n 1}, nk z .

В частности, при n 2 существуют ровно два корня из комплексного числа z и легко видеть, что, если – квадратный корень из ком-

плексного числа z, то 2 ( )2 z , т.е. оба корня и являются противоположными комплексными числами, поэтому вместо записи

п.1.2. Извлечение квадратного корня из комплексного числа. Формула квадратных корней из комплексного числа Определение. Пусть х – действительная переменная. Функция, определенная правилом:

Теорема. Пусть z a bi C – произвольное комплексное число. Тогда

где квадратные корни в правой части равенства являются арифметическими квадратными корнями из неотрицательных чисел.

Замечание. Можно не запоминать эту формулу ввиду ее громоздкости, а при решении использовать алгоритм доказательства теоремы. Смотрите 2-й способ решения в примере 1.

Следствие. Пусть z a R и a 0 . Тогда оба квадратных корня из числа z могут быть найдены по формуле:

2

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 6, с.9

Замечание. В частности, последняя формула дает равенство:

1 i .

Это верное равенство, т.е. 1 по определению есть множество всех

корней из числа –1, в то время как равенство 1 i неверное, с этой точки зрения! Именно поэтому нельзя переносить свойства корней из действительных чисел на корни из комплексных чисел, как показывает следующий простой контрпример:

1 1 ( 1)( 1) 1 1 i i i2 1.

С другой стороны, легко доказать следующую теорему.

Теорема. (О вынесении действительного множителя из под знака корня.) Пустьz C, a R, a 0 , n – произвольное натуральное число.

Тогда

n a z n a n z ,

где n a есть обычный арифметический корень из положительного числа.

п.1.3. Решение квадратных уравнений в поле комплексных чисел Теорема. Пусть a,b,c C, a 0 , z – комплексная переменная. Тогда

квадратное уравнение az2 bz c 0 имеет ровно два корня (они могут быть равными), которые можно найти по формуле:

Замечание. Аналогично решаются квадратные уравнения с действительными коэффициентами, но с отрицательным дискриминантом.

п.2. Список задач Список №1

1.Найти квадратные корни из комплексного числа.

2.Найти квадратные корни из отрицательного действительного числа.

3.Найти квадратные корни из мнимого числа.

4.Решить квадратное уравнение с действительными коэффициентами

иотрицательным дискриминантом.

5.Решить квадратное уравнение с комплексными коэффициентами.

6.Решить уравнение, содержащее кроме комплексной переменной

3

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 6, с.9

комплексно сопряженную ей.

7.Найти остаток от деления многочлена на линейный двучлен над полем комплексных чисел.

Список №2

1.Решить биквадратное уравнение над полем комплексных чисел.

2.Решение некоторых алгебраических уравнений 3-й и 4-й степеней над полем комплексных чисел.

3.Найти остаток от деления многочлена на квадратный трехчлен над полем комплексных чисел.

п.3. Примеры

Пример 1. Вычислить 3 4i . Решение. 1-й способ.

Используем формулу квадратных корней из комплексного числа. Здесь

Подставляем в формулу и получаем:

2-й способ.

Пусть 3 4i (x yi) . Тогда

x2 2xyi y2 3 4i .

Равенство возможно лишь тогда равны вещественные и мнимые части обоих комплексных чисел:

x2 y2 3.

2xy 4

Возводим оба уравнения системы в квадрат:

Прибавляем второе уравнение к первому:

4

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 6, с.9

Пример 3. Решить уравнение z2 (7 2i)z 13(1 i) 0 . Решение. Вычисляем дискриминант:

D b2 4ac (7 2i)2 4 13(1 i) 49 28i 4 52 52i 7 24i .

Вычисляем корни из дискриминанта по формуле квадратных корней из комплексного числа:

Вычисляем корни уравнения по формуле корней квадратного уравнения:

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 6, с.9

Отсюда следует, что действительных корней квадратное уравнение не имеет, но, согласно теореме, оно имеет два корня в поле комплексных чисел. Для вычисления корня из дискриминанта применяем формулу квадратных корней из отрицательного числа:

D 3 i 3 .

Теперь подставляем в формулу корней квадратного уравнения:

п.4. Задачи Задачи для аудиторного решения 6

1. Решите уравнение: а) (5 7i) 3z 8 11i ;

б) z (0,6 0,8i) 5 11i ; в) 3z 5z 5 11i .

2. Найдите квадратные корни из комплексного числа z:

а) z 8 6i ; б) z i ; в) z i ; г) z 1 i ;

3.Решите квадратное уравнение: а) z2 4z 5 0 ;

б) z2 4iz 5 0 ; в) z2 4z 1 4i 0 ; г) z2 (7 2i)z 13 13i 0 .

4.Решите биквадратное уравнение:

5. Найдите остаток от деления многочлена 4x37 2x30 3x20 x 7 на

6

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 6, с.9

многочлен: а) x i ; б) x i ; в) x2 1.

6.Решите квадратное уравнение с дополнительным условием: а) z2 15 8i, Im z 0 ;

б) z2 5 12i, Rez 0 ;

7.Решите уравнение: а) z2 z 1 i ; б) z2 2(z z) 4 0 ; в) z2 2z 1 0 .

Задачи повышенного уровня сложности 6

8. Решите уравнение в поле комплексных чисел:

а) 9x4 24x3 2x2 24x 9 0 ;

б) 2x4 7x3 9x2 7x 2 0 .

Домашнее задание 6. Комплексные числа – 2

2.Решить квадратное уравнение в поле комплексных чисел: а)

x2 x 1 0 ; б) x2 2x 2 0 .

3.Решите уравнение z2 (7 i)z 14 5i 0 .

4.Решите биквадратное уравнение в поле комплексных чисел:

z4 12 23 i .

Самостоятельная работа 6

Вариант 1.

1.Формула квадратных корней из отрицательного действительного числа.

3. Решите квадратное уравнение в поле комплексных чисел: z2 z 1 0 .

Вариант 2.

1. Определение корня натуральной степени из комплексного числа.

3.Решите квадратное уравнение в поле комплексных чисел: z2 2z 4 0 .

7

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 6, с.9

Вариант 3.

1. Определение функции сигнум.

2. Найдите квадратные корни из числа z 1 i 3 .

3. Решите квадратное уравнение в поле комплексных чисел: x2 x 1 i 0 .

Вариант 4.

1. Формула квадратных корней из комплексного числа. 2. Найдите квадратные корни из числа z 1 i 3 .

3.Решите квадратное уравнение в поле комплексных чисел:

x2 x 1 i 0 .

п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 6 Обозначения

1.Обозначение множества всех корней n-й степени из комплексного числа.

2.Обозначение множества всех квадратных корней из комплексного числа.

Определения

1.Определение корня n-й степени из комплексного числа.

2.Определение арифметического корня n-й степени из действительного числа.

3.Определение функции сигнум.

Теоремы

1.Формула квадратных корней из комплексного числа.

2.Формула квадратных корней из отрицательного действительного числа.

3.Теорема о вынесении действительного множителя из под знака корня из комплексного числа.

4. Найдите комплексные корни уравнения x2 x 1 0 .

8