все для алгема / Методические пособия по АГ / МП ПЗ АГ (электронный вариант) / МП ПЗ АГ ч.1 (электронный вариант)

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.14

п.3. Примеры Пример 1. Построить на комплексной плоскости комплексное число

z 1 i и комплексно сопряженное ему z . Найти их модули, аргументы и записать в тригонометрической форме.

Решение. Комплексное число z 1 i соответствует на комплексной плоскости точке z с декартовыми координатами (1; 1). Отметим ее на координатной плоскости. Смотрите рисунок 2, из которого мы видим,

Найдем, далее тригонометрическую форму числа комплексно сопря-

женного числу z 1 i , т.е. z 1 i . Декартовые координаты соответствующей точки на комплексной плоскости равны (1; –1).

тригонометрической форме и найти их произведение и частное.

7

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.14

Решение. Модули комплексных чисел находим по формуле

| z | | x iy | x2 y2 .

| z1 | 2 , | z2 | 2 .

Аргументы комплексных чисел находим по формулам arg z arctg xy или arg z arctg xy ,

взависимости от четверти координатной плоскости, в которой находится данное комплексное число.

Комплексное число z1 1 i на комплексной плоскости отожде-

ствляется с точкой (–1; 1) и находится во второй четверти, поэтому

1 arg z1 arctg ( 1) 3 . 4 4

Произведение и частное данных чисел находим, руководствуясь правилами умножения и деления комплексных чисел, заданных в три-

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.14

Для вычисления степени данного числа, применим формулу Муавра:

cos( 43 2010) isin ( 43 2010)

cos(4 670) isin (4 670) cos0 isin 0 1 .

Пример 4. Найти тригонометрическую форму записи комплексного числа z, если:

z 2 ; z 3; z 3i ; z 2i ; z 1 2i .

Решение. Отметим данные точки на комплексной плоскости (смотрите рисунок 3):

z 2 2 0 i ( 2;0) , z 3 3 0 i (3;0) ,

z 3i 0 3i (0;3) , z 2i 0 2i (0; 2) , z 1 2i ( 1; 2) .

Так как модуль комплексного числа равен расстоянию от начала координат до точки комплексной плоскости, отождествленной с этим числом, то из рисунка мы видим, что

| 2 | 2 , | 3 | 3, | 3i | 3 , | 2i | 2 .

Модуль комплексного числа z 1 2i находим по формуле: | 1 2i | ( 1)2 ( 2)2 5 .

Аргументы первых четырех чисел очевидны из рисунка 3:

arg ( 2) , arg3 0 , arg (3i) 2 , arg ( 2i) 32 .

Аргумент комплексного числа z 1 2i находим по формуле, учитывая, что соответствующая точка находится в третьей четверти:

arg ( 1 2i) arctg ( 2) arctg 2 .

( 1)

9

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.14

у

найдите их модули, аргументы и запишите в тригонометрической форме.

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.14

9.Из всех чисел z, удовлетворяющих условию z z 25 , найдите такие, что | z 7 | | z 5i | принимает наименьшее значение.

10.При каких значениях р среди комплексных чисел z таких, что

| z 1 i 3 | p , найдется ровно одно такое, что z4 R ?

11. Пусть z 1z 1 . Какое наибольшее значение может принимать

| z | ?

12.Пользуясь формулой Муавра, выведите формулы для: а) cos3x ; б) sin 3x .

13.Пользуясь формулой Муавра, выразите через первые степени си-

нуса и косинуса аргументов кратных х, функции: sin3 x ; б) cos3 x .

Домашнее задание 13. Комплексная плоскость

1. Отметьте на комплексной плоскости комплексные числа i 3 , найдите их модули, аргументы и запишите в тригонометрической форме.

3 i 30

2.Вычислить .

1 i

3.Изобразите на комплексной плоскости множество комплексных чисел z, удовлетворяющих условию:

11

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.14

а) z z 3 ; б) arg z 1703 и | z | 3 .

4*. Запишите в тригонометрической форме 1 i tg . 1 i tg

Самостоятельная работа 13

Вариант 1.

1. Определение тригонометрической формы комплексного числа.

нометрической форме. Вариант 2.

1.Определение модуля комплексного числа.

2.Изобразите комплексное число z 3 i точкой на комплексной плоскости, найдите его модуль, аргумент и запишите его в тригонометрической форме.

ской форме. Вариант 3.

1. Определение аргумента комплексного числа.

2. Изобразите комплексное число z 3 3 i точкой на комплексной плоскости, найдите его модуль, аргумент и запишите его в тригонометрической форме.

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.14

ческой форме.

п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 13 Обозначения

1.Обозначение модуля комплексного числа.

2.Обозначение аргумента комплексного числа.

3.Обозначение тригонометрической формы записи комплексного числа.

Определения

1.Определение комплексной плоскости.

2.Определение модуля комплексного числа.

3.Определение аргумента комплексного числа.

4.Определение тригонометрической формы записи комплексного числа.

Теоремы

1.Теорема о равенстве комплексных чисел в тригонометрической форме.

2.Формулы модуля и аргумента комплексного числа, заданного в алгебраической форме записи.

3.Свойства модуля комплексного числа.

4.Формула Муавра.

5.Формула целой степени комплексного числа, заданного в тригонометрической форме записи.

6.Правила умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме записи.

Тест 13

1.Изобразите комплексное число z 3 4i точкой комплексной плоскости. Проведите радиус-вектор отмеченной точки и найдите его модуль.

2.Изобразите комплексное число z 4 3i точкой комплексной плос-

13

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.14

кости. Проведите радиус-вектор отмеченной точки. Постройте на этой же плоскости радиус-векторы точек, соответствующих комплексному числу противоположному данному и комплексно сопряженному данному.

иz2 3(cos 43 isin 43 ) .

9.Используя формулу Муавра, найдите степень комплексного числа

раическую форму записи.

10. Изобразите на комплексной плоскости множество комплексных

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20

Практическое занятие 14 Корни из комплексных чисел

Краткое содержание: формула корней произвольной степени из комплексного числа, расположение корней на комплексной плоскости, корни из 1, первообразные корни из 1, круговые многочлены, разложение степенного двучлена на неприводимые множители над полем комплексных, полем действительных и полем рациональных чисел.

п.1. Теория

п.1.1. Формула корней n-й степени из комплексного числа Теорема. (Формула корней n-й степени из комплексного числа.) Для любого ненулевого комплексного числа

z | z | (cos isin ) , где arg z , существует ровно n корней n-й

степени из комплексного числа z и все они могут быть найдены по формуле

откуда следует, что аргументы корней образуют арифметическую прогрессию с первым членом o n и разностью прогрессии 2n .

п.1.2. Расположение корней n-й степени из комплексного числа на комплексной плоскости

Любое комплексное число можно изобразить точкой на комплексной плоскости. Так как модуль у всех корней одинаковый, то на комплексной плоскости они удалены от начала координат на одинаковое расстояние. Отсюда делаем вывод, что все корни на комплексной плоскости изображаются точками, лежащими на окружности радиуса

n | z | с центром в начале координат. 1

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20

Так как аргументы корней образуют арифметическую прогрессию, то угол между двумя соседними точками одинаковый. Отсюда делаем вывод, что все корни располагаются на окружности равномерно, и если соединить все соседние точки отрезками прямой, то получим правильный n-угольник.

у

k 1

2 n

Рис. 1

Замечание. При изображении корней на комплексной плоскости около точки, с которой отождествляется корень проставляется только его аргумент, поскольку модули у всех корней одинаковые.

п.1.3. Корни n-й степени из 1

Пусть n 1 – натуральное число. По формуле корней из комплексного числа, существует ровно n корней из комплексного числа z 1 i 0 1. Для вычисления этих корней запишем единицу в тригонометрической форме:

1 cos 0 isin 0 .

Обозначим все множество корней через Tn . По формуле корней получаем:

В частности,

2

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20

Теперь мы все множество корней из 1 можем записать так: Tn { 1o 1, 1 , 12 , ..., 1n 1} .

Теорема. Множество всех корней из 1 является группой относительно умножения.

п.1.4. Разложение степенного двучлена xn 1 над полем ком-

плексных и над полем действительных чисел

Определение. Многочлен вида xn a , где х – переменная, а – константа, n 1 – натуральное число, называется степенным двучленом. Многочлен вида x a называется линейным двучленом.

Теорема. (Разложение степенного двучлена xn 1 на линейные множители.) Пусть n – натуральное число. Тогда

xn 1 (x 1) (x 1 ) ... (x n 1 ) ,

где 1, 1 , ..., n 1 – все корни n-й степени из 1.

Замечание. Последнее равенство называется также разложением сте-

пенного двучлена xn 1 на неприводимые множители над полем комплексных чисел. Понятие неприводимого многочлена смотрите далее в пункте 1.5.

Теорема. Пусть 1, 1 , ..., n 1 – все корни n-й степени из 1 и k {1, ..., n 1} . Если n 2k , то k и n k являются комплексно сопряженными, т.е. n k k . Если n – четное число, тогда n 1.

2

Из разложения степенного двучлена xn 1 на линейные множители

3

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20

возьмем два линейных множителя с комплексно сопряженными корнями, и перемножим их:

(x k )(x k ) x2 ( k k )x k k

x2 2cos 2 k x 1.

n

Перемножая попарно линейные множители, содержащие комплексно

сопряженные корни, получаем разложение степенного двучлена xn 1 на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами:

а) если n – нечетное число, то

xn 1 (x 1)(x 1 )(x 1 )...(x n 1 )(x n 1 )

где число квадратичных множителей равно n 2 1 ;

b)если n – четное число, то

xn 1 (x 1)(x 1)(x 1 )(x 1 )...(x n 2 )(x n 2 )

Замечание. Это разложение степенного двучлена xn 1 на множители называется разложением на неприводимые множители над полем действительных чисел. Аналогично раскладываются на неприводимые

над R множители степенные двучлены вида xn a , где a R .

Теорема.

xn 1 xn 2 ... x 1 (x 1 ) ... (x n 1 ) ,

где 1 , ..., n 1 – все корни n-й степени из 1, кроме 1.

Теорема сразу же следует из равенства

4

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20

1 x x2 ... xn 1 xn 1 , x 1

которое становится очевидным, если мы рассмотрим данный многочлен как сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем х.

Из последней теоремы следует, что разложение многочлена

xn 1 xn 2 ... x 1 на неприводимые множители проводится по той же схеме, что и разложение степенного двучлена.

п.1.5. Разложение многочлена на неприводимые множители, простые и кратные корни многочлена Теорема. (Основная теорема алгебры.) Любой многочлен степени

n 1 с действительными или комплексными коэффициентами раскладывается над полем комплексных чисел на линейные множители.

Следствие. Любой многочлен над полем комплексных чисел имеет столько корней, какова его степень.

Определение. Многочлен f(x) степени n 1 с коэффициентами из поля K называется неприводимым (неразложимым) над полем K, если его нельзя представить в виде произведения двух многочленов с коэффициентами из поля K и степенями не меньше 1. В противном случае, многочлен называется разложимым над полем К.

Теорема. Единственными неприводимыми многочленами над полем комплексных чисел являются многочлены 1-й степени и только они.

Теорема. Единственными неприводимыми многочленами над полем действительных чисел являются линейные многочлены и квадратные трехчлены с отрицательными дискриминантами и только они.

Теорема. Пусть многочлен f(x) степени n 1 с коэффициентами из поля K имеет в этом поле корень c K . Тогда справедливо следующее равенство

f (x) (x c)r g(x) ,

где g(x) – многочлен с коэффициентами из поля K и с не является его корнем, т.е. g(c) 0 , r – натуральное число.

5

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20

Определение. В условиях предыдущей теоремы, число r называется кратностью корня с, а сам корень с многочлена f(x) называется кратным корнем кратности r, если r 1, и называется простым корнем, если r 1.

Теорема. Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень z x iy , то комплексно сопряженное ему число

z x iy также является корнем этого многочлена.

Теорема. Любой многочлен с действительными коэффициентами можно представить в виде:

f (x) an (x x1 )r1 ...(x xm )rm (x2 p1x q1 )k1 ...(x2 pt x qt )kt ,

где x1 , x2 , ..., xm R – все различные действительные корни многочле-

an 0 – старший коэффициент многочлена f (x) , n – его степень.

Замечание. Так как коэффициенты многочлена f(x) предполагаются действительными, то его разложение на линейные множители будет иметь вид:

f (x) an (x x1 )r1 ...(x xm )rm (x z1 )k1 (x z1 )k1 ...(x zt )kt (x zt )kt ,

где x1 , x2 , ..., xm R – все различные действительные корни многочле-

эффициент многочлена f (x) , n – его степень. Осталось попарно пере-

множить линейные множители, содержащие комплексно сопряженные корни.

Заметим еще, что линейных множителей может и не быть вовсе. Тогда m 0 и многочлен не имеет действительных корней. Аналогично, многочлен может не иметь комплексных корней, тогда t 0 .

6

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20

Очевидно, что для многочлена f (x) с действительными коэффициентами справедлива формула: degf (x) n m 2t , где m и 2t число, соответственно, его действительных и комплексных корней.

Следствие. Любой многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.

п.1.6*. Первообразные корни из 1

Определение. Пусть n натуральное число. Функцией Эйлера (n) называется количество чисел в множестве {0,1, ..., n 1}, взаимно простых с числом n.

Теорема. Пусть p1 ,p2 ,...,pm – все различные простые множители натурального числа n. Тогда

Определение. Корень n-й степени из 1 называется первообразным корнем n-й степени из 1, если он не является корнем из 1 меньшей, чем n степени.

является первообразным корнем n-й степени из 1 тогда и только тогда, когда его номер k является числом взаимно простым со степенью кор-

ня n, т.е. когда н.о.д.(k,n) 1, и дробь kn является несократимой.

Следствие. Количество первообразных корней n-й степени из 1 равно

(n) .

Определение. Пусть n натуральное число и 1 , 2 ,..., m – все первообразные корни n-й степени из 1, где m (n) . Многочлен

Фn (x) (x 1 )(x 2 )...(x m )

7

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20

называется многочленом деления круга или круговым многочленом.

Теорема. (Свойства кругового многочлена.) Для любого натурального числа n все коэффициенты кругового многочлена Фn (x) являются це-

лыми числами, его старший коэффициент равен 1, и его степень равна(n) . Круговой многочлен Фn (x) является неприводимым многочле-

ном над полем рациональных чисел.

Теорема. (Разложение степенного двучлена на неприводимые множители над полем рациональных чисел.) Пусть d1 , d2 ,...,d – все положи-

тельные делители натурального числа n. Тогда

xn 1 Фd1 (x)Фd2 (x)...Фd (x) .

Определение. Пусть n натуральное число. Функцией Мёбиуса (n) называется число, определяемое по правилу:

1)(1) 1;

2)(n) 0 , если число n делится на целое число d2 1;

3)(n) ( 1)k , если n p1p2 ...pk , где p1 ,p2 ,...,pk – все различные про-

стые множители числа n.

Теорема. Пусть d1 , d2 ,...,d – все положительные делители натурального числа n. Тогда

Замечание. Количество всех положительных делителей натурального числа n обозначается (n) и оно может быть вычислено по формуле:

(n) (k1 1)(k2 1)...(km 1) ,

где целые неотрицательные числа k1 ,k2 ,...km берутся из каноническо-

го разложение числа n в произведение простых множителей: n p1k1 pk22 ...pmkm .

8

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20

п.2. Список задач Список №1

1.Найти все корни данной степени из данного комплексного числа, и изобразить их на комплексной плоскости.

2.Разложить данный степенной двучлен xn 1 на линейные множители.

3.Разложить данный степенной двучлен xn 1 на неприводимые множители над полем действительных чисел.

Список №2

1.Составить таблицу умножения для группы корней n-й степени из 1.

2.Разложить данный степенной двучлен xn a на неприводимые множители над полем комплексных и полем действительных чисел.

3.Вычислить значение функции Эйлера (n) для данного натурального числа n.

4.Найти все первообразные корни n-й степени из 1.

5.Найти для данного натурального числа n его круговой многочлен

Фn (x) .

6.Для данного натурального числа n вычислить значение функции Мёбиуса и число его делителей.

7.Найти для данного натурального числа n все его положительные делители и разложить степенной двучлен xn 1 в произведение круговых многочленов. Иначе говоря, разложить степенной двучлен xn 1 на неприводимые множители над полем рациональных чисел.

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20

Решение. Корни уже найдены в примере 1. Изображаем координатные оси, проводим окружность радиуса 6 2 с центром в начале координат и отмечаем на ней точки полярный угол которых равен:

o 4 , 1 1112 , 2 1912 .

Соединим построенные точки отрезками прямых и получаем пра-

Рис. 2

Пример 3. Разложить степенной двучлен x6 1 на линейные множители.

Решение. 1-й способ. Вычислим все корни 6-й степени из 1.

Имеем, 6 1 {1, , 2 , 3 , 4 , 5}, где

cos 26 isin 26 cos 3 isin 3 12 i 23 .

10

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20