все для алгема / Методические пособия по АГ / МП ПЗ АГ (электронный вариант) / МП ПЗ АГ ч.1 (электронный вариант)

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18

b a bL aL .

п.1.3. Свойства проекции вектора на ось

Теорема. (Свойства проекции.) Для любых векторов a,b , для любого действительного числа k и любой оси L выполняются равенства:

1) прL (a b) прL a прL b ; 2) прL k a k прL a .

Коротко оба свойства можно сформулировать так:

Проекция суммы равна сумме проекций и скалярный множитель можно выносить за знак проекции.

Обозначим через VL множество всех векторов, коллинеарных прямой L. Нетрудно видеть, что множество VL является вещественным векторным пространством.

Следствие. (Линейные операции с векторами оси в координатной форме.)

Пусть L – произвольная ось и a, b, c VL – произвольные векторы этой оси. Пусть k R – произвольное действительное число. Тогда:

1)если c a b , то cL aL bL ;

2)если b k a , то bL k aL .

Другими словами можно сказать, что при сложении векторов оси их координаты складываются, а при умножении вектора на действительное число его координата умножается на это число.

Замечание. Вектор оси можно отождествить с его координатой: a (aL ) . Это так называемая координатная форма записи вектора оси.

Теорема. (О равенстве векторов.) Два вектора оси равны тогда и только тогда, когда равны их координаты.

п.1.4. Декартовая система координат на прямой

Определение. Вектор OA , где О – начало координат, называется ра- диус-вектором точки А, и часто обозначается

3

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18

rA OA .

Определение. Координатой точки оси называется координата её ра- диус-вектора.

Обозначение: Пусть А – точка оси Ох, xA – её координата. Тогда, по определению:

xA прx OA .

Это же определение можно дать, не используя понятие радиусвектора точки.

Определение. Координатой точки А оси Ох называется действительное число xA , определяемое следующим равенством:

где ОА – расстояние от начала координат до точки А.

Смотрите следующие рисунки. На рисунке 4: xA OA 0 , на рисунке

5: xA OA 0 .

О А х

0 xA

Рис. 4

xA 0

Рис. 5

Определение. Прямая, на которой выбрано положительное направление, начало координат, масштаб и для каждой точки которой определена её координата, называется координатной прямой или числовой осью. Говорят также, что на прямой определена декартовая система

4

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18

координат.

Теорема. Между множеством точек координатной оси Ох и множеством действительных чисел R существует взаимно однозначное соответствие (биекция).

Замечание. В силу этой теоремы, мы можем отождествить точку числовой оси и число, которое равно ее координате. Поэтому после буквы обозначающей точку в круглых скобках пишут ее координату: A(xA ), B(xB ) и т.д. Более того, из определения координаты точки

следует, что точка с положительной координатой лежит справа от начала координат на расстоянии, равном её координате, а точка с отрицательной координатой лежит слева от начала координат на расстоянии, равном модулю её координаты.

Определение. Положительной полуосью называется та часть координатной оси, все точки которой имеют положительные координаты (эти точки следуют за началом координат). Отрицательной полуосью называется та часть координатной оси, все точки которой имеют отрицательные координаты (эти точки предшествуют началу координат).

п.1.5. Расстояние между двумя точками числовой оси Теорема. (О вычислении координаты вектора и расстоянии между

точками числовой оси.) Пусть Ох координатная ось, А, В – две её произвольные точки, xA , xB – их координаты. Тогда:

1) прx AB xB xA ; 2) AB | xB xA | .

Другими словами:

1)для того, чтобы найти координату вектора на числовой оси, нужно из координаты его конца вычесть координату его начала;

2)расстояние между двумя точками числовой оси равно модулю разности их координат.

п.1.6. Деление отрезка в данном отношении

Определение. Пусть L – произвольная прямая, A, B, C L – её произвольные точки, причем A B . Отношением в котором точка С делит

5

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18

отрезок АВ считая от точки А называется действительное число, которое обозначается CAB и определяется равенством

AC CAB CB .

Замечание. Из определения следует, что C B и CAB 1.

Возможны два принципиально различных случая расположения точки С на прямой относительно отрезка АВ, смотрите рисунки 6 и 7.

1) Точка С находится на отрезке АВ:

L

А С В

Рис. 6

2) Точка С находится вне отрезка АВ (неважно справа или слева от отрезка)

L

С А В

Рис. 7

Определение. Если точка С является точкой отрезка АВ, то говорят, что точка С делит отрезок АВ внутренним образом, в противном случае говорят, что точка С делит отрезок АВ внешним образом.

Теорема. (О вычислении отношения, в котором точка делит отрезок.) Отношение, в котором точка С делит отрезок АВ, считая от точки А, можно вычислить по формуле:

CAB ACCB ,

где знак плюс берется в случае, когда точка С делит отрезок АВ внутренним образом и знак минус в противном случае.

Теорема. (О делении отрезка точкой на числовой оси.) Пусть A(xA ), B(xB ), C(xC ) – точки координатной оси Ох и точка С делит

отрезок АВ в отношении CAB , причем, A B С. Тогда:

6

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18

Следствие. Пусть точка С – середина отрезка АВ. Тогда

xC xA xB . 2

п.2. Список задач Список №1

1.Отметить на координатной оси точку с заданной координатой.

2.Изобразить на чертеже координатную ось Ох и радиус-вектор данной точки этой оси.

3.Найти проекцию данного вектора оси на эту же ось, и записать его в координатной форме.

4.Определить ориентацию вектора, лежащего на оси, зная его координату.

5.Найти модуль вектора оси по его координате.

6.Найти координату вектора, лежащего на координатной оси, зная координаты его конца и начала.

7.Зная координаты двух векторов, лежащих на координатной оси, найти координату их суммы.

8.Зная координату вектора, лежащего на координатной оси, найти координату произведения этого вектора на данное число.

9.Отложить данный вектор, коллинеарный координатной оси, от данной точки оси, зная координату вектора и координату точки.

10.Найти расстояние между двумя точками числовой оси.

11.Найти отношение, в котором данная точка делит данный отрезок.

12.На данном отрезке найти координаты точки, делящей данный отрезок в данном отношении.

13.Найти координаты середины отрезка.

Список №2

1.Найти множество точек координатной оси, удовлетворяющих заданному условию.

п.3. Примеры Пример 1. Изобразите на координатной оси Ох следующие точки с

заданными координатами: А(5), В(–5).

7

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18

Решение. Откладываем на координатной оси 5 единиц вправо и влево от начала координат. Так как xA 5 0 , то точка А находится на по-

ложительной полуоси на расстоянии 5 от начала координат: OA 5 . Точка В симметрична точке А относительно начала координат, OB 5 , и находится на отрицательной полуоси. Смотрите рисунок 8.

Ответ: рисунок 8.

Пример 2. Изобразите на координатной оси Ох радиус-вектор точки В(–5).

Решение. Отложим на оси точку В(–5). Тогда вектор OB является ра- диус-вектором точки В. Смотрите рисунок 9.

Ответ: рисунок 9.

Пример 3. Найдите проекцию вектора a на ось Ох, если он лежит на этой оси, имеет левую ориентацию, и его модуль равен 5.

Решение. 1-й способ. Воспользуемся определением проекции вектора

на ось. Пусть a AB . Так как вектор лежит на оси, то точки А и В есть точки оси и совпадают с их проекциями на эту ось. Смотрите рисунок 10.

Рис. 10

Так как вектор левоориентированный, то A B Ox и по определению проекции,

прx a прx AB AB | a | 5 .

8

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18

2-й способ. Воспользуемся формулой для вычисления проекции вектора на ось:

прx a | a | cos(a ^ Ox) 5 cos 5 .

Здесь, (a ^ Ox) в силу левой ориентированности вектора на оси. Ответ: –5.

Пример 4. Известно, что вектор a лежит на оси Ох, и известна его координата: a ( 7) . Определить его ориентацию на этой оси.

Решение. Применим теорему о знаке декартовой координаты вектора оси. Согласно этой теореме, вектор левоориентированный, так как его декартовая координата отрицательная.

Ответ: левоориентированный.

Пример 5. Известно, что вектор a лежит на оси Ох, и известна его координата: a ( 7) . Найдите его модуль.

Решение. Из теоремы о знаке декартовой координаты вектора оси следует, что

| a | | ax | | 7 | 7 .

Ответ: 7.

Пример 6. Найдите координату и модуль вектора AB , лежащего на оси Ох, если А(3), В(–4), и определите его ориентацию.

Решение. Для вычисления координаты вектора используем правило: для того, чтобы найти координату вектора нужно из координаты конца вектора вычесть координату его начала.

AB (xB xA ) ( 4 3) ( 7) .

Так как координата вектора отрицательная, то вектор AB левоориентированный на оси Ох, а его модуль равен 7.

Ответ: AB ( 7), | AB | 7 , ориентация левая.

Пример 7. Найдите координату векторов a b и 2a 3b , если векторы a и b коллинеарные оси Ох и известны их координаты: a (12), b ( 7) .

Решение. При сложении векторов, коллинеарных одной оси, их коор-

9

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18

динаты складываются, а при умножении вектора на число, его координата умножается на это число. Отсюда находим:

a b (12 7) (5), 2a 3b (24 21) (45) . Ответ: a b (5), 2a 3b (45) .

Пример 8. Отложите на координатной оси Ох вектор a ( 11) от точки А(9), и найдите координату его конца.

Решение. Так как координата вектора отрицательная, то вектор a левоориентированный на оси Ох, а его модуль равен 11. Откладываем от точки А отрезок длиной 11 влево от неё, и находим конец вектора и его координату: В(–2).

Координату точки В можно вычислить алгебраическим путем:

a AB ( 11) (xB xA ) ,

откуда находим

xB xA 11 xB xA 11 9 11 2 .

Ответ: рисунок 11, xB 2 .

Пример 9. Отложите на координатной оси Ох вектор a от точки

А(9), и найдите координату его конца, если известно, что a || Ox и | a | 11.

Решение. Так как направление вектора a неизвестно, то возможны два случая, в зависимости от его направления. Откладываем отрезки длиной 11 влево и вправо от точки А, и получаем точки В(–2) и С(20). Это геометрическое решение. Найдем решение алгебраическим мето-

дом. Так как a AB , а его модуль есть расстояние от точки А до точки В, то воспользуемся формулой расстояния между двумя точками: AB | xB xA | . В этом уравнении известно, что AB 11, xA 9 . Обо-

значим xB x и решая уравнение

| x 9 | 11 ,

10

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18

находим: x1 2, x2 20 . Это координата конца вектора a AB , т.е.

точки В. Ответ: –9 или 20.

Пример 10. Найдите расстояние между двумя точками координатной оси Ох: А(–12) и В(1 –7).

Решение. Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками: AB | xB xA | | 7 ( 12) | 5.

Ответ: 5.

Пример 11. Найдите множество точек координатной оси Ох, удовлетворяющих условию | 2 x | 5 .

Решение. Алгебраическое решение хорошо известно из курса алгебры средней школы. Решим задачу геометрическим методом. Запишем данное неравенство в виде:

| x ( 2) | 5.

С геометрической точки зрения, х это координата точки оси Ох, которая удалена от точки А(–2) на расстояние не меньше, чем 5 единиц. Отложим от точки А отрезок длины 5 в обе стороны от точки А, и найдем координаты других концов этих отрезков. Смотрите рисунок

12.

xB xA 5 2 5 7, xC xA 5 2 5 3 .

Точки В(–7) и С(3) удалены от точки А на расстоянии равном 5 единиц. Точки оси Ох, удовлетворяющие условию задачи, расположены

ещё дальше от точки А. Это все точки левее точки В и правее точки С.

Ответ: x ( ; 7) (3; ) .

Пример 12. Найдите отношение, в котором точка С(3) делит отрезок АВ, считая от точки А(–2), если все точки находятся на координатной оси Ох, и В(–7).

Решение. 1-й способ. Отложим данные точки на оси Ох (смотрите рисунок 12). Точка С делит отрезок АВ внешним образом, поэтому

11

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18

б) В(–2).

3. Известно, что вектор a || Ox, | a | 5 , и вектор a правоориентиро-

ванный. Найдите проекцию вектора a на ось Ох, и запишите его в координатной форме записи.

4. Известна координата вектора оси Ох: a ( 8) . Отложите этот век-

тор от точки А(11), и определите его ориентацию, модуль и координаты его конца.

5.Найдите модуль, координату вектора AB и его ориентацию на оси, если известны координаты его начала и конца: а) А(–3), В(–7);

a( 18), b ( 17) .

7.Найдите расстояние АВ, если: а) А(6), В(–1) ;

8.На координатной оси Ох даны три точки своими координатами: А(– 2), В(3) и С(–1). Найдите длины отрезков АС и СВ, и вычислите отношение, в котором точка С делит отрезок АВ, считая от точки

А, используя формулу CAB ACCB .

9. Определите отношение, в котором точка С делит отрезок АВ, счи-

тая от точки А, по формуле C xC xA , если А(2), В(6) и С(4).

AB xB xC

10. Найдите координаты точки С, которая делит отрезок АВ в отно-

11. Найти координату середины отрезка, ограниченного двумя дан-

ными точками: а) А(3), В(5); б) С(–1), D(6).

12. Даны точки А(5) и В(–3). Определить: а) координату точки М, симметричной точке А относительно точки В; б) координату точки С, симметричной точке В относительно точки М.

13

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18

14. Точка С делит отрезок АВ, длина которого равна 10, в отношенииCAB 23 . Найти длину отрезка АС.

15.Найдите длину отрезка АВ, если точка С делит его в отношении

CAB 3 и BC 10 .

16.Даны три точки А(–7), В(–1) и С(1). Определить отношение, в котором каждая из них делит отрезок, ограниченный двумя другими.

Задачи повышенного уровня сложности 8

17.Точка А(2) удалена от точки B x 1 на расстоянии 5. Найдите х.

3

отметьте их на числовой оси, если точка М(–2) является серединой отрезка АВ.

Домашнее задание 8. Декартовая система координат на прямой

1.а) Найдите точки А и В числовой прямой Ох, удаленные от точки М(– 5) на расстоянии 3, причем точка А предшествует точке В.

14

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18

б) Найдите координату и модуль векторов: AM, MB, BA .

в) Найдите проекцию вектора 3AM 23 MB 32 AB на ось Ох и его

модуль. Укажите ориентацию этого вектора.

2. Найдите расстояние АВ, если: а) А(–12), В(–3); б) А(13), B( –7); в)

ку С, которая делит отрезок АВ, считая от точки А, в отношении: а)

52 ; б) 52 ; в) 152 .

Выполните чертеж и изобразите на оси Ох точки А, В и все найденные точки С.

4.Известно, что на оси Ох точка М(– 5) делит отрезок СВ в отноше-

нии 34 . Найдите координаты точек В и С, если: а) (BC)x 1;

б) (BC)x 2 .

Самостоятельная работа 8

Вариант 1.

1.Определение координаты вектора, коллинеарного координатной оси.

2.Отметьте на координатной оси Ох точки А(–7) и В(4), и найдите координату середины отрезка АВ.

3.Найдите проекцию вектора a на ось Ох, если известно, что он кол-

линеарный оси Ох, левоориентированный и его модуль равен 9. Вариант 2.

1.Определение деления отрезка точкой внутренним или внешним образом.

2.Отложите на координатной оси Ох, коллинеарный ей вектор a , от точки А(–8), если известно, что он правоориентированный и его модуль равен 10. Найдите координату его конца и координату точки оси, равноудаленной от начала и конца этого вектора.

3.Найдите координату вектора AB , лежащего на координатной оси Ох, если известны координаты его начала и конца:

15

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18

xA 2, xB 9 . Найдите также его модуль, и определите его ори-

ентацию на оси. Вариант 3.

1.Определение проекции вектора на ось.

2.На оси Ох даны точки: А(–3), В(4). Найдите координату вектора

BA , его модуль, и определите его ориентацию на оси. Найдите отношение, в котором начало координат делит отрезок АВ, считая от точки А.

1.Определение координаты точки числовой оси.

2.На координатной оси Ох лежит вектор a ( 7) . Найдите координа-

ты его конца, если он отложен от точки А(3). Найдите отношение, в котором конец этого вектора делит отрезок ОА.

п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 8 Обозначения

1.Обозначение проекции вектора на ось.

2.Обозначение координаты вектора на числовой оси Ох.

3.Координатная форма записи вектора, коллинеарного оси Ох.

4.Обозначение радиус-вектора точки А.

5.Обозначение координаты точки А, лежащей на числовой оси Ох.

6.Обозначение отношения, в котором точка С делит отрезок АВ, считая от точки А.

Определения

1.Определение проекции вектора на ось.

2.Определение координаты вектора оси.

3.Определение радиус-вектора точки.

4.Определение координаты точки числовой оси.

5.Определение числовой (координатной) оси.

6.Определение положительной и отрицательной полуосей коорди-

16

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18

натной оси.

7.Определение отношения, в котором точка С делит отрезок АВ, считая от точки А.

8.Определение деления точкой отрезка внутренним (внешним) образом.

Теоремы

1.Теорема о знаке координаты вектора оси.

2.Следствие о координатах противоположных векторов оси.

3.Свойства проекции вектора на ось.

4.Следствие о линейных операциях с векторами оси в координатной форме.

5.Теорема о равенстве векторов.

6.Теорема об отождествлении точек координатной оси с действительными числами.

7.Теорема о вычислении координаты вектора оси и расстоянии между её точками.

8.Теорема о вычислении отношения, в котором точка делит отрезок.

9.Теорема о вычислении отношения, в котором данная точка делит данный отрезок по известным координатам точек.

10.Формула координат точки, делящей данный отрезок в данном отношении.

11.Формула координат середины отрезка.

Тест 8

1.Отметьте на координатной оси Ох точки, заданные своими коорди-

натами: А(5), В(–2), С(1), D(–7).

2.Изобразите на координатной оси Ох радиус-вектор точки А(6) и точки В(–3).

3.Найдите проекцию вектора AB на ось Ох, если его начало и конец

лежат на оси Ох и имеют координаты: xA 73 , xB 115 .

4.Найдите координату вектора a , коллинеарного оси Ох, если он имеет на этой оси левую ориентацию и его модуль равен 11. Запишите этот вектор в координатной форме записи.

5. Найдите координату вектора c 7a 8b , если векторы a ( 6) и b (7) коллинеарные оси Ох.

17

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18

6.Отложите вектор a ( 4) , коллинеарный оси Ох от точки А(3) и найдите координаты его конца.

8.Построить на координатной оси Ох точки, координаты которых удовлетворяют уравнениям: а) | x | 3 ; б) | 2 x | 9 ; в) | x 7 | 2 .

9.Найти ГМТ оси Ох, координаты которых удовлетворяют неравен-

10.Найдите отношение, в котором точка С делит отрезок АВ координатной оси Ох, считая от точки А, если А(2), В(–5), С(–7).

11.Найдите на оси Ох координаты точки М, если А(–1), В(3) и

MAB 2 .

12. Определить координаты середины отрезка CD, если С(–11), D(23).

18

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17

Практическое занятие 9 Прямоугольная декартовая система координат на плоскости

Краткое содержание: угол между векторами, между вектором и осью, вычисление проекции вектора на ось, ориентация двух координатных осей на плоскости, координатный угол, координаты точки плоскости, декартовые системы координат на плоскости – общая и прямоугольная, координаты вектора, координатная форма записи вектора, действия с векторами в координатной форме записи, расстояние между двумя точками на плоскости, модуль вектора, направляющие углы и косинусы вектора, орт вектора, деление отрезка в данном отношении, координаты середины отрезка.

п.1. Теория п.1.1. Угол между векторами

Определение. Углом между двумя векторами, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

b

a

Рис. 1

Определение. Углом между вектором и осью называется угол между вектором и любым правоориентированным вектором этой оси.

Рис. 2

Обозначение: (a ^ b), (a ^ L) . Из определения следует, что угол между векторами не может быть больше 180o .

Теорема. (О вычислении проекции вектора на ось.) Проекция вектора на ось не зависит от выбора точки его начала и может быть вычислена по формуле:

прL a | a | cos(a ^ L) .

п.1.2. Ориентация двух координатных осей на плоскости Определение. Говорят, что упорядоченная пара двух неколлинеарных координатных осей имеет правую ориентацию, если кратчайший поворот первой оси вокруг их точки пересечения до положения сона-

1

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17

правленности со второй осью осуществляется против часовой стрелки. В противном случае говорят, что эта пара осей имеет левую ориентацию. (Смотрите рисунки 3 и 4.)

О О

Рис. 3 Рис. 4

Определение. Угол между положительными направлениями координатных осей называется координатным углом.

п.1.3. Общая декартовая система координат на плоскости

Выберем упорядоченную пару неколлинеарных координатных осей на плоскости с общим началом координат, с правой ориентацией, с произвольным координатным углом и с одинаковым масштабом. Первую ось обозначим Ох и назовем её осью абсцисс, вторую – Оу и назовем её осью ординат.

Для каждой точки плоскости определим понятие её координат. Пусть М – произвольная точка плоскости. Проведем через точку М прямые параллельные координатным осям. Точку пересечения построенной

прямой с осью Ох обозначаем M . Вторую точку пересечения обозначим M .

у

M (yM ) M(xM ; yM )

х

О M (xM )

Рис. 5

Определение. Точка M называется проекцией точки М на ось Ох параллельно оси Оу, а точка M называется проекцией точки М на ось Оу параллельно оси Ох.

2

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17

Определение. Координата xM точки M на оси Ох называется абсциссой точки М, а координата yM точки M на оси Оу называется ординатой точки М. Упорядоченная пара (xM , yM ) называется координатами точки М.

Определение. Плоскость, на которой выбраны две неколлинеарные координатные оси с правой ориентацией, с общим началом координат, общим масштабом и для каждой точки которой определено понятие её координат, называется координатной плоскостью. Говорят также, что на плоскости введена общая декартовая система координат.

п.1.4. Прямоугольная декартовая система координат на плоскости Определение. Декартовая система координат на плоскости с прямым координатным углом называется прямоугольной.

у

M (yM )M(xM , yM )

Рис. 6

Определение. Вектор OM , где О – начало координат, называется ра- диус-вектором точки М.

Введем, для произвольного вектора a , обозначения:

Определение. Координатами вектора называются его проекции на координатные оси.

Теорема. (О координатах точки и ее радиус-вектора.) Координаты точки М в ПДСК на плоскости совпадают с координатами её радиусвектора:

3

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17

xM = прx OM, yM = прy OM .

Замечание. В силу взаимно однозначного соответствия: M (xM , yM ) (прx OM, прy OM) OM .

принято отождествлять радиус-вектор OM с упорядоченной парой его координат:

OM (xM , yM ) (прx OM, прy OM) .

п.1.5. Координатная форма записи вектора координатной плоскости

Определение. Пусть a – произвольный вектор координатной плоскости Оху. Запись вектора в виде

a (прx a, прy a) (ax , ay ) ,

называется его координатной формой записи.

Теорема. (О равенстве векторов.) Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их координаты:

a b (ax bx ) & (ay by ) .

Теорема. (О действиях с векторами в координатной форме записи.) При сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число каждая координата вектора умножается на это число:

a b (ax bx , ay by ) и k a (k ax , k ay ) ,

где a, b – произвольные векторы координатной плоскости Оху, k R

– произвольное действительное число.

Теорема. (О вычислении координат вектора.)

Для того, чтобы вычислить координаты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты его начала:

AB (xB xA ; yB yA ) .

Теорема. (Расстояние между двумя точками плоскости.)

Пусть A(xA , yA ) и B(xB , yB ) – две произвольные точки координат-

4