все для алгема / Алгебра и геометрия, ч1, глава 1-19 (к печати)

Теорема. (О разложении вектора по базису.) Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

Доказательство. 1) Пусть L произвольная прямая (или ось) и { e1} – её базис. Возьмем произвольный вектор a || L .

Если a 0 , то верно равенство

00 e1

–разложение нулевого вектора по базису прямой { e1} .

Пусть a 0 . Так как оба вектора e1 0 и a коллинеарные одной и той же прямой L, то e1 || a . Воспользуемся теоремой о коллинеарности двух ненулевых векторов. Так как e1 0 , то найдется (существует) такое число , что

ae1

итем самым мы получили разложение вектора a по базису { e1}

прямой L.

Теперь докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора a по базису { e1} прямой L:

тивности умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров, получаем:

0 e1 e1 ( )e1 .

Так как e1 0 , то из последнего равенства следует, что

, ч.т.д.

2)Пусть теперь Р произвольная плоскость и { e1 , e2 } – её базис. Пусть a произвольный вектор этой плоскости.

Если a 0 , то верно равенство

0 0 e1 0 e2

141

– разложение нулевого вектора по базису плоскости { e1 , e2 } . Пусть a 0 . Отложим базисные векторы e1 , e2 и вектор a

от какой-нибудь одной точки этой плоскости.

Рис. 59

Построим 4 прямые. Проведем прямую L1 , на которой лежит вектор e1 , прямую L2 , на которой лежит вектор e2 . Через конец вектора a проведем прямую параллельную вектору e1 и прямую параллельную вектору e2 . Эти 4 прямые высекают параллелограмм. По правилу параллелограмма

aa1 a2 1 e1 2 e2

–разложение вектора a по базису плоскости { e1 , e2 } .

142

Теперь докажем единственность разложения по базису. Собственно, единственность уже следует из единственности построения параллелограмма и единственности разложения векторов a1 и a2 . Однако, в учебных целях приведем чисто алгебраи-

ческое доказательство этого факта.

Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора a по базису { e1 , e2 } плоскости Р:

a 1 e1 2 e2 и a 1 e1 2 e2 .

Получаем равенство

1 e1 2 e2 1 e1 2 e2 ,

откуда следует

( 1 1 )e1 ( 2 2 )e2 .

тор. Если a 0 , то имеем следующее разложение нулевого вектора по базису { e1 , e2 , e3}:

0 0 e1 0 e2 0 e3 .

Пусть a 0 . Проведем следующие построения. Отложим все три базисных вектора e1 , e2 , e3 и вектор a от одной точки и построим 6 плоскостей: плоскость, в которой лежат базисные векторы e1 , e2 , плоскость векторов e1 , e3 и плоскость векторов e2 , e3 . Далее, через конец вектора a проведем три плоскости

143

параллельно только что построенным трем плоскостям. Эти 6 плоскостей высекают параллелепипед. Смотрите рисунок 60.

Рис. 60

По правилу сложения векторов получаем равенство: a a1 a2 a3 .

По построению

a1 || e1 , a2 || e2 , a3 || e3 .

Отсюда, по уже доказанному, существуют единственные разложения векторов соответственно { e1} , { e2 } и { e3} :

a1 1 e1 , a2 2 e2 , a3 3 e3 ,

где 1 , 2 , 3 . Отсюда получаем:

aa1 a2 a3 1 e1 2 e2 3 e3 ,

ивозможность разложения по базису доказана.

Докажем единственность такого разложения. Как и в предыдущем случае, единственность уже следует из единственности построения параллелепипеда и единственности разложения векторов a1 , a2 и a3 по соответствующим базисам. Тем не менее,

приведем и алгебраическое доказательство.

Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора a по базису { e1 , e2 , e3}:

144

a 1 e1 2 e2 3 e3 и a 1 e1 2 e2 3 e3 .

Тогда

( 1 1 ) e1 ( 2 2 ) e2 ( 3 3 ) e3 0 .

Заметим, что по условию векторы e1 , e2 , e3 некомпланарные, следовательно, они попарно неколлинеарные. Возможны

Из этого равенства следует, что вектор e1 раскладывается по базису { e2 , e3} , то есть вектор e1 лежит в плоскости векторов e2 , e3 и, следовательно, векторы e1 , e2 , e3 компланарные, что противоречит условию.

б) Остается случай 1 1 0 , то есть 1 1 . Тогда

( 2 2 ) e2 ( 3 3 ) e3 0

или

2 e2 3 e3 2 e2 3 e3 .

Так как { e2 , e3} – базис пространства векторов лежащих в

плоскости, а мы уже доказали единственность разложения по базису векторов плоскости, то из последнего равенства следует,

что 2 2 и 3 3 .

Теорема доказана.

Следствие.

1)Существует взаимно однозначное соответствие между множеством векторов коллинеарных прямой L и множеством действительных чисел .

2)Существует взаимно однозначное соответствие между множеством векторов компланарных плоскости Р и декартовым квадратом 2 .

3)Существует взаимно однозначное соответствие между множеством векторов пространства V и декартовым кубом 3 .

145

Доказательство. Докажем третье утверждение. Первые два доказываются аналогично.

Выберем и зафиксируем в пространстве V какой-нибудь базис { e1 , e2 , e3} и устроим отображение V 3 по следующему правилу:

x x1 e1 x2 e2 x3 e3 V (x1 , x2 , x3 ) 3 ,

то есть каждому вектору поставим в соответствие упорядоченный набор его координат.

Так как при фиксированном базисе каждый вектор имеет единственный набор координат, то соответствие, задаваемое указанным правилом действительно является отображением.

Из доказательства теоремы следует, что различные векторы имеют различные координаты относительно одного и того же базиса, то есть данное отображение является инъекцией.

Пусть ( , , ) 3 – произвольный упорядоченный набор

действительных чисел. Рассмотрим вектор a e1 e2 e3 V .

Этот вектор по построению имеет координаты ( , , ) 3 .

Следовательно, данное отображение является сюръекцией. Отображение, которое одновременно инъективное и сюръективное является биективным, то есть взаимно однозначным.

Следствие доказано.

Теорема. (О равенстве двух векторов.) Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их координаты относительно одного и того же базиса.

Доказательство сразу жевытекаетизпредыдущего следствия.

§3 Размерность векторного пространства Определение. Число векторов в базисе векторного про-

странства называется его размерностью, и обозначается: dim V .

Таким образом, в соответствие с этим и предыдущими опре146

делениями, имеем:

1) VL – пространство векторов на прямой L, { e1} – базис VL , dim VL 1 , x VL ,

2) VP – пространство векторов на плоскости Р, { e1 , e2 } – ба-

зис VP , dim VP 2 , x VP ,

xx1 e1 x2 e2

–разложение вектора x VP по базису { e1 , e2 } , x1 , x2 –

координаты вектора x относительно базиса { e1 , e2 } .

3) V – пространство всех векторов, { e1 , e2 , e3} – базис V, dim V 3 , x V ,

x x1 e1 x2 e2 x3 e3

– разложение вектора x V по базису { e1 , e2 , e3}, x1 , x2 , x3

– координаты вектора x относительно базиса { e1 , e2 , e3}.

Замечание. Если L P S , то можно выбрать базис { e1 , e2 , e3} пространства V так, что { e1 , e2 } – базис на плоскости Р и { e1} – базис на прямой L.

Тогда x L ,

x x1 e1 x1 e1 0 e2 0 e3

и x P ,

x x1 e1 x2 e2 x1 e1 x2 e2 0 e3 .

Таким образом, любой вектор прямой L, плоскости Р и пространства S можно разложить по базису { e1 , e2 , e3}:

x x1 e1 x2 e2 x3 e3 .

При фиксированном базисе, мы можем отождествить любой вектор с упорядоченной тройкой его координат:

147

x x1 e1 x2 e2 x3 e3 (x1 , x2 , x3 ) .

Определение. Запись вектора в виде упорядоченной тройки действительных чисел называется координатной формой записи вектора:

x (x1 , x2 , x3 ) .

§4 Линейные операции с векторами в координатной форме

Пусть { e1 , e2 , e3} – базис векторного пространства, a и b –

два произвольных вектора, – произвольное действительное число.

Теорема. Пусть a (a1 ,a2 ,a3 ) и b (b1 , b2 , b3 ) , .

Тогда:

a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ; a ( a1 , a2 , a3 ) .

Другими словами, для того, чтобы сложить два вектора нужно сложить их соответствующие координаты, а чтобы умножить вектор на число, нужно каждую координату данного вектора умножить на данное число.

Доказательство. Так как по условию теоремы a a1 e1 a2 e2 a3 e3 (a1 , a2 , a3 ) ,

b b1 e1 b2 e2 b3 e3 (b1 , b2 , b3 ) ,

то используя аксиомы векторного пространства, которым подчиняются операции сложения векторов и умножения вектора на число, получаем:

a b (a1 e1 a2 e2 a3 e3 ) (b1 e1 b2 e2 b3 e3 )

(a1 b1 )e1 (a2 b2 )e2 (a3 b3 )e3 .

Отсюда следует

a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) .

Аналогично доказывается второе равенство. Теорема доказана.

148

§5 Ортонормированный базис Определение. Два вектора называются ортогональными, ес-

ли угол между ними равен прямому углу, то есть 90o .

Обозначение: a b – векторы a и b ортогональные.

Определение. Тройка векторов { a, b, c } называется орто-

гональной, если эти векторы попарно ортогональны друг другу, то есть

a b c a .

Определение. Тройка векторов { a, b, c } называется орто-

нормированной, если она ортогональная и длины всех векторов равны единице:

| a | | b | | c | 1 .

Замечание. Из определения следует, что ортогональные и ортонормированные тройки векторов является некомпланарными.

Определение. Упорядоченная некомпланарная тройка векторов { a, b, c }, отложенных от одной точки, называется правой

(правоориентированной), если при наблюдении с конца третьего вектора c на плоскость, в которой лежат первые два вектора –

a и b , кратчайший поворот первого вектора a ко второму век-

тору b происходит против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой (левоориентированной).

c

b

a

Рис. 61

149

Рис. 62

Здесь, на рисунке 61 изображена правая тройка векторов { a, b, c }, на рисунке 62 – левая.

Определение. Базис { a, b, c } векторного пространства V называется ортонормированным, если { a, b, c } ортонормированная тройка векторов.

k

j

i

Рис. 63

Обозначение. В дальнейшем мы будем пользоваться правым ортонормированным базисом { i , j, k}, смотрите рисунок 63.

В соответствии с теоремой о разложении вектора по базису, любой вектор можно единственным образом записать в виде:

x x1 i x2 j x3 k . 150

§6 Основная теорема векторной алгебры.

Теорема. Координаты вектора относительно ортонормированного базиса {i , j, k} совпадают с его проекциями на соответ-

Доказательство. Пусть

a1 i 2 j 3 k

–разложение вектора a по базису {i , j, k} . Поскольку проекции

вектора на оси (вектор) не зависят от выбора точки его начала, то отложим вектор a и все базисные векторы от одной точки, и разложим вектор a по данному базису как в теореме §2. Смотрите рисунок 64.

С

Рис. 64

По правилу сложения векторов получаем разложение вектора a OM по базису {i , j, k}:

a OM OA OB OC 1 i 2 j 3 k ,

где

По определению умножения вектора на скаляр имеем: OA | OA | | 1 | | i | | 1 | ,

причем 1 OA 0 при OA i и 1 OA 0 в противном случае.

С другой стороны, по построению, точки А, В и С являются проекциями точки М на прямые, на которых лежат базисные векторы, и по определению проекции вектора на вектор имеем:

прi a прi OM OA ,

где знак плюс берется в случае, когда OA i и знак минус в

Аналогично доказываются оставшиеся равенства2 прj a и 3 прk a .

Теорема доказана.

z

х

Рис. 65

152

В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что векторы ортонормированного базиса {i , j, k} являются ортами соответ-

ственно оси абсцисс, оси ординат и оси аппликат прямоугольной декартовой системы координат. Смотрите рисунок 65.

При этих условиях предыдущая теорема имеет простое следствие, которое носит название основной теоремы векторной алгебры.

Следствие. (Основная теорема векторной алгебры.) Координаты вектора относительно ортонормированного базиса {i , j, k}

совпадают с проекциями этого вектора на соответствующие координатные оси.

Доказательство. Из теоремы и определения проекции вектора на вектор следует, что

1 прi a прx a , 2 прj a прy a , 3 прk a прz a . Следствие доказано.

Замечание. В силу основной теоремы векторной алгебры, мы можем не различать координаты вектора как проекции этого вектора на координатные оси и координаты этого же вектора

относительно ортонормированного базиса {i , j, k} . Поэтому мы

будем говорить просто о координатах вектора и помнить, что координатная форма записи вектора равносильна записи этого же вектора в виде линейной комбинации базисных векторов:

a (ax ,ay ,az ) ax i ay j az k .

153

Глава 10. Произведения векторов §1 Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними:

a b | a | | b | cos (a ^ b) .

Определение. Скалярным квадратом вектора называется скалярное произведение этого вектора на самого себя.

a a a 2 .

Теорема. (Простейшие свойства скалярного произведения) 1) Скалярное произведение коммутативно:

a, b V , a b b a .

2)Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они ортогональные:

a b 0 a b , a 0 b .

3) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: a 2 | a |2 .

4)Скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного вектора на проекцию на него другого вектора:

a b | b | прb a | a | прa b .

Все свойства очевидны из определения и их доказательства предоставляются читателям.

Теорема. (Свойство линейности скалярного произведения.)

1)Скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов:

a, b, c V , (a b) c a c b c .

2)Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения:

Доказательство. По свойству 4 предыдущей теоремы и по

154

свойству проекции вектора на вектор (на ось) имеем: (a b) c | c | прc (a b) | c | (прc a прc b)

| c | прc a | c | прc b a c b c .

Второе свойство доказывается аналогично. Теорема доказана.

Замечание. Скалярное произведение можно рассматривать как числовую функцию от двух переменных, определенную на

декартовом квадрате V2 множества векторов V:

Первое из этих свойств называется свойством аддитивности функции f по первому аргументу, а второе – свойством однородности по первому аргументу. Если выполняются оба свойства, то говорят, что функция f линейна по первому аргументу. Отсюда происходит и название этих свойств скалярного произведения.

В силу коммутативности,

f (a, b) f (b, a)

скалярное произведение как функция двух переменных линейна

ипо второму аргументу, то есть справедливы еще два свойства:

3)a, b, c V , a (b c) a b a c ;

4)a, b V , , a ( b) (a b) .

Определение. Функция двух аргументов (двух переменных) называется билинейной, если она обладает свойством линейности по каждому аргументу.

Теперь предыдущая теорема формулируется очень просто.

155

Теорема. Скалярное произведение есть билинейная функция.

Далее, нашей задачей является научиться находить скалярное произведение векторов, каждый из которых задан в координатной форме.

Теорема. (Скалярное произведение векторов в координатной форме.) Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.

Другими словами, пусть

a x1 i y1 j z1k (x1 , y1 ,z1 ) , b x2 i y2 j z2 k (x2 , y2 ,z2 ) .

Тогда

a b x1x2 y1y2 z1z2 .

Доказательство. Учитывая, что скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю, а скалярный квадрат единичного вектора равен 1 , получаем:

Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть a (x, y,z) . Тогда

| a | x2 y2 z2 .

Доказательство. Эта формула нам уже известна. Её можно получить с помощью скалярного произведения:

| a |2 a 2 a a x x y y z z x2 y2 z2 .

Доказываемая формула следует из последнего равенства. Следствие доказано.

156

Доказательство. Очевидно.

Физический смысл скалярного произведения

Пусть материальная точка перемещается под действием постоянной силы F вдоль вектора перемещения s .

Рис. 66

На рисунке 66 сила F F1 F2 разложена на две ортогональные составляющие F1 и F2 , причем, из физики нам известно, что работа при перемещении материальной точки вдоль вектора s создается составляющей F1 и равна A | F1 | | s | .

С другой стороны, | F1 | | F | cos , откуда получаем: A | F | | s | cos F s .

§2 Векторное произведение векторов

Определение. Векторным произведением вектора a на век-

тор b называется третий вектор, который обозначается a b , и удовлетворяет следующим трем условиям:

1)a b a и a b b ;

2)тройка векторов { a, b, a b } является правоориентированной;

3)| a b | | a | | b | sin (a ^ b) .

157

a b

b

S | a | | b | sin a

b a

Рис. 67

Из определения следует, что, если векторы a , b и a b отложить от одной точки, то

1) вектор a b перпендикулярен плоскости векторов a и b ;

2) кратчайший поворот вектора a к вектору b происходит против часовой стрелки, если смотреть "сверху", то есть со стороны вектора a b ;

3) длина вектора a b численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b как на его сторонах.

Теорема. (Простейшие свойства векторного произведения.) 1) Антикоммутативность:

a, b V , a b b a . 2) Условие коллинеарности векторов:

a || b a b 0 .

3)Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b как на его сторонах.

Доказательство. 1) Пусть c a b . Рассмотрим вектор c . Этот вектор удовлетворяет всем трем условиям определения векторного произведения вектора b на вектор a . Действительно, так как c a и c b , то и c a и c b . Далее, тройка

158

векторов {b, a, c} является правоориентированной, то есть

кратчайший поворот от вектора b к вектору a происходит против часовой стрелки, если смотреть на плоскость, в которой лежат векторы a и b "снизу", то есть со стороны вектора c . И,

наконец, | c | | c | | b | | a | sin , ч.т.д.

2) Если один из векторов или оба равны нулю, то они коллинеарные и модуль их векторного произведения равен нулю. Следовательно, и само векторноепроизведение равно нулевому вектору.

Пусть векторы a и b ненулевые. Тогда

a b 0 | a b | 0 sin 0 0 или ,

аэто в свою очередь равносильно тому, что a || b , ч.т.д.

3)Следует из формулы площади параллелограмма. Теорема доказана.

§3 Смешанное произведение векторов Определение. Смешанным произведением упорядоченной

тройки векторов {a, b, c} называется скалярное произведение

первого вектора на векторное произведение второго вектора на третий и обозначается:

a b c a (b c) .

Теорема. (Геометрический смысл смешанного произведения.)

1)Модуль смешанного произведения трех векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах как на его ребрах:

| a b c | V(a, b, c) .

2) a b c 0 , если тройка {a, b, c} – правоориентированная и a b c 0 в противном случае.

3)Тройка векторов {a, b, c} – компланарная тогда и только тогда, когда a b c 0 .

159

Доказательство. 1) Обозначим здесь через V V(a, b, c)

объем параллелепипеда, построенного на данных векторах, как на его ребрах.

d b c

c

H a

b

Рис. 68

Объем параллелепипеда V равен произведению площади основания S на высоту Н:

V SH .

Площадь основания S численно равна модулю векторного произведения: S | b c | , а высота Н равна модулю проекции век-

тора a на вектор d b c :

H | прd a | .

Отсюда получаем:

V SH | b c | | прd a | || b c | (прb c a) | | a (b c) | | a b c |

.

2) Так как

a b c a (b c) | b c | прb c a | b c | | a | cos ,

где (a ^ b c) , то знак смешанного произведения зависит от угла . Если он острый (как на рисунке 68), то смешанное произведение a b c 0 , если же угол тупой, то a b c 0 . Это,

160