все для алгема / Алгебра и геометрия, ч1, глава 1-19 (к печати)

Умножая обе части уравнения на нормирующий множитель, получаем нормированное уравнение данной плоскости.

Ответ: 133 x 134 y 1213 z 2 0 – нормированное уравнение плоскости. Расстояние от начала координат до плоскости равно 2.

§8 Нормальное уравнение прямой на плоскости Определение. Общее уравнение прямой

Ax By C 0

называется нормальным, если

A2 B2 1 и C 0 .

Теорема. (Геометрический смысл коэффициентов нормального уравнения прямой). Нормальное уравнение прямой имеет вид

x cos ycos p 0 или x cos ysin p 0 ,

где p 0 – расстояние от начала координат до данной прямой,– полярный угол её нормального вектора, cos ,cos – его направляющие косинусы:

n (cos ,sin ) (cos ,cos ) .

Доказательство. Пусть

Ax By C 0

– нормированное уравнение прямой на координатной плоскости

Оху. Тогда из определения следует, что A2 B2 1. Это означает, что её нормальный вектор n (A, B) имеет модуль равный 1:

| n | A2 B2 1 .

Следовательно, нормальный вектор имеет координаты: n no (cos ,sin ) (cos ,cos ) ,

то есть

A cos , B cos или A cos , B sin .

201

Обозначим

pC 0 ,

иподставим в исходное уравнение. Получаем

x cos ycos p 0 или x cos ysin p 0 .

Пусть r (x, y) – радиус-вектор текущей точки прямой. Последние уравнения можно записать в векторной форме:

r no p .

Так как p 0 , то отсюда следует, что угол между векторами r и no является острым (смотрите рисунок 84).

L

N

Мno

r О

Рис. 84

Отсюда, в свою очередь следует, что если вектор no отложить от начала координат, то он направлен от начала координат к прямой. Здесь N – основание перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат. Тогда ON MN и

ON прno OM r no p

– расстояние от начала координат до плоскости. Теорема доказана.

Определение. Нормирующим множителем общего уравнения прямой Ax By C 0 называется число

где знак выбирается противоположным знаку свободного члена С уравнения прямой.

202

Теорема. (Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду.) Пусть – нормирующий множитель прямой

Ax By C 0 . Тогда уравнение

Ax By C 0

является нормированным уравнением данной прямой.

Доказательство такое же, как в случае плоскости.

Глава 13. Взаимное расположение прямых и плоскостей. §1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Определение. Углом наклона прямой к оси абсцисс называется угол поворота оси абсцисс вокруг любой ее точки против часовой стрелки до положения параллельности (или совпадения) с данной прямой.

Из определения следует, что угол наклона прямой L к оси Ох может изменяться от нуля до : [0; ) . Если прямая

цательным.

у

А х

О

Рис. 85

203

Пусть Ax By C 0 – общее уравнение прямой L, где n (A, B) – нормальный вектор прямой L и L || Oy . Тогда n Oy и B прy n 0 (смотритерисунок85). Выразимизуравненияу:

y AB x CB .

Обозначим

Уравнение прямой L принимает вид: y kx b .

Определение. Уравнение прямой вида y kx b

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, а коэффициент k – угловым коэффициентом данной прямой.

Теорема. (О геометрическом смысле углового коэффициента.) В уравнении прямой с угловым коэффициентом

y kx b

угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс:

k tg .

Доказательство. 1) Если прямая L || Ox , то 0 и tg 0 .

С другой стороны, ее нормальный вектор n || Oy и A прx n 0 .

Тогда k AB 0 и, следовательно, k tg .

2) Пусть L || Ox , тогда n Ox , A прx n 0 и k AB 0 .

Пусть F – точка пересечения прямой L с осью абсцисс. Тогда yF 0, xF kb .

204

Опишем окружность единичного радиуса с центром в точке F , а

в точке оси Ох с координатой kb 1 проведем касательную m к

этой окружности (смотрите рисунок 86).

Рис. 86

Выберем положительное направление на прямой m, так, чтобы m Oy . Тогда ось m является осью тангенсов для данной еди-

ничной (тригонометрической) окружности. Пусть Р – точка пересечения прямой L с осью тангенсов m. Тогда, с одной стороны, yP tg , где – угол наклона прямой L к оси Ох, а, с дру-

куда и следует равенство tg k . Теорема доказана.

Приведенное доказательство принадлежит автору. К достоин205

ствам этого доказательства можно отнести то, что оно не зависит ниот величиныугла наклона, ниот величиныкоэффициентаb.

В заключение отметим, что коэффициент b в уравнении с угловым коэффициентом равен величине отрезка, отсекаемого прямой от оси ординат (смотрите рисунок 86).

§2 Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Этот вопрос уже обсуждался в предыдущей главе, когда оба уравнения данных прямых записывались в каноническом или параметрическом виде. Пусть сейчас оба уравнения прямых записаны в общем виде.

Теорема. Пусть

L1 : A1x B1y C1 0 и L2 : A2 x B2 y C2 0

– общие уравнения двух прямых на координатной плоскости

k(A2 x B2 y C2 ) 0 или A2 x B2 y C2 0 ,

то есть прямые совпадают.

Заметим, что коэффициент пропорциональности k 0 , иначе все коэффициенты общего уравнения были бы равны нулю, что невозможно.

Если же прямые не совпадают и не пересекаются, то остает-

ся случай A1 B1 C1 , то есть прямые параллельны. A2 B2 C2

Теорема доказана.

Заметим, что если прямые пересекаются, то для нахождения координат их точки пересечения достаточно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными:

A1x B1y C1 .

A2 x B2 y C2

Если 0 , то прямые пересекаются в одной точке и система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

Если 0 , то прямые или параллельны и тогда система не имеет решений, или прямые совпадают и тогда система имеет бесконечно много решений.

ресекаются и координаты точки пересечения можно найти по формулам Крамера.

мые параллельны и тогда система не может иметь ни одного решения, либо прямые совпадают и тогда система состоит из одного уравнения и решениями такой системы являются координаты любой точки, лежащей на прямой, а их бесконечно много.

Следствие доказано.

Пример. Выяснить взаимное расположение двух прямых

L1 : 3x 4y 11 0 и L2 : 2x 3y 8 0 ,

и если они пересекаются, найти их точку пересечения.

Решение. Решим систему

3x 4y 112x 3y 8 .

Определитель системы

следовательно, прямые пересекаются. Вычисляем координаты точки пересечения:

Ответ. Прямые пересекаются в точке с координатами ( 1;2) .

§3 Взаимное расположение двух плоскостей

Плоскости могут совпадать, быть параллельными или пересекаться по прямой.

208

Теорема. Пусть

: A1x B1y C1z D1 0 и : A2 x B2 y C2 z D2 0

– общие уравнения двух плоскостей. Тогда:

система уравнений

A1x B1y C1z D1 0A2 x B2 y C2 z D2 0

являетсяуравнениямипрямойпересеченияданныхплоскостей.

Доказательство. Первое и второе условия теоремы равносильны коллинеарностинормальных векторовданныхплоскостей:

n1 (A1 ,B1 ,C1 ) || n2 (A2 ,B2 ,C2 ) .

: k(A2 x B2 y C2 z D2 ) 0

Коэффициент пропорциональности k не может быть равен нулю,

так как n1 (A1 ,B1 ,C1 ) k n2 (k A2 , k B2 ,k C2 ) и при k 0

получаем, что n1 0 , что противоречит определению нормального вектора. Следовательно, уравнение плоскости

: A2 x B2 y C2 z D2 0

совпадает с уравнением плоскости , а это означает, что плоскости совпадают (смотрите рисунок 87).

нормальных векторов обеих плоскостей, а значит плоскости ли-

209

бо параллельны, либо совпадают. Но в этом случае плоскости не могут совпадать и остается единственная возможность их параллельности (смотрите рисунок 88).

n1

n2

Рис. 87

n1

n2

Рис. 88

Третье условие теоремы равносильно тому, что нормальные векторы плоскостей не коллинеарные, а потому плоскости не совпадают и не параллельны, а следовательно, они пересекаются. Известно, что линия пересечения двух плоскостей является прямой. Точка М лежит на прямой пересечения двух плоскостей

210

и тогда и только тогда, когда она лежит одновременно на

обеих плоскостях и ее координаты удовлетворяют обоим уравнениям системы, то есть являются решением этой системы. А это означает, что система является уравнениями прямой пересечения плоскостей (смотрите рисунок 89).

Теорема доказана.

§4 Взаимное расположение прямой и плоскости

Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке (смотрите рисунки 90-92).

Теорема. Пусть плоскость задана общим уравнением

: Ax By Cz D 0 ,

апрямая L задана каноническим уравнением:

M

Mo

L

Рис. 92

Доказательство. Если n s Am Bn Cp 0 , то это озна-

чает, что n s . А такое возможно лишь тогда, когда прямая лежит на плоскости или параллельна ей. Если прямая лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой плоскости и координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости. Поэтому достаточно проверить, лежит ли на плоско-

сти точка Mo (xo , yo ,zo ) .

Если Axo Byo Czo D 0 , то точка Mo (xo , yo ,zo ) –

лежит на плоскости, а это означает, что и сама прямая лежит на плоскости.

Если n s 0 , а Axo Byo Czo D 0 , то точка на прямой

не лежит на плоскости, а это означает, что прямая параллельна плоскости.

Условие

n s Am Bn Cp 0

говорит о том, что векторы n и s не ортогональные, а значит прямая не параллельна плоскости и не лежит в плоскости, а значит пересекает ее в некоторой точке М (смотрите рисунок 92). Координаты точки М удовлетворяют как уравнению плоскости, так и уравнениям прямой, то есть системе из четырех уравнений. Решаем первое уравнение этой системы относительно неизвест-

213

ной t и затем, подставляя найденное значение t в остальные уравнения системы, находим координаты искомой точки. Теорема доказана.

§5 Взаимное расположение трех плоскостей

Пусть даны три плоскости: , и , n1 , n2 , n3 , – их нор-

мальные векторы, соответственно. Рассмотрим все возможные случаи.

1)Все три плоскости совпадают: . Очевидно, что в этом случае n1 || n2 || n3 .

2)Две плоскости совпадают, а третья параллельна им, например: || и в этом случае n1 || n2 || n3 .

3)две плоскости совпадают, а третья пересекает их, например:

L – прямая пересечения (смотрите рисунок 93). В

вестно из курса элементарной геометрии, L1 || L2 . Нормальные векторы n1 || n2 || n3 .

Рис. 94 6) Все три плоскости пересекаются по одной прямой и тогда

Рис. 95

215

7) Каждая пара плоскостей пересекается по своей прямой, образуя треугольную "трубу" и n1 || n2 || n3 || n1 , но все три

вектора n1 , n2 , и n3 лежат в одной плоскости (смотрите рисунок 96).

n1

Рис. 96

8)Все три плоскости пересекаются в одной точке и их нормальные векторы некомпланарные (смотрите рисунок 97).

Рис. 97

Итог подводит следующая теорема.

216

Теорема. Пусть даны общие уравнения трех плоскостей:

: A1x B1y C1z D1 0 ,

: A2 x B2 y C2 z D2 0 ,: A3 x B3 y C3z D3 0 ,

где n1 (A1 ,B1 ,C1 ) , n2 (A2 ,B2 ,C2 ) , n3 (A3 ,B3 ,C3 ) – их со-

ответствующие нормальные векторы. Тогда:

то все три плоскости пересекаются в одной точке, координаты которой можно найти решив систему уравнений

A1x B1y C1z D1A2 x B2 y C2 z D2 ,A3 x B3 y C3z D3

например, по формулам Крамера: x x , y y , z z ,

а система уравнений не имеет решений, то имеет место случай 2, 4, 5 или 7 из рассмотренных выше.

217

а система уравнений имеет бесконечно много решений, то имеет место случай 1, 3, или 6 из рассмотренных выше.

Доказательство очевидно.

Замечание 1. Чтобы различать случаи расположения трех плоскостей, если смешанное произведение их нормальных векторов равно нулю, необходимо исследовать эти плоскости попарно, выявлять, нет ли среди них совпадающих или параллельных. Если совпадающих или параллельных плоскостей нет, то имеет место либо случай 6, либо случай 7 из рассмотренных выше. Но в случае 6, система имеет решения, а в случае 7 – нет.

Замечание 2. Если среди трех плоскостей есть хотя бы одна пара пересекающихся плоскостей, например, L – плоско-

сти и пересекаются по прямой L, то исследование взаимного

расположения трех плоскостей можно свести к исследованию расположения прямой L и плоскости , правда для этого нужно запи-

сатьуравнение прямойL не ввидепересечениядвух плоскостей:

L : A1x B1y C1z D1 0 ,A2 x B2 y C2 z D2 0

а в каноническом или параметрическом виде.

Задача. Найти канонические уравнения прямой, заданной в виде пересечения двух плоскостей:

L : A1x B1y C1z D1 0 .A2 x B2 y C2 z D2 0

Решение. Пусть n1 (A1 ,B1 ,C1 ) и n2 (A2 ,B2 ,C2 ) – нор-

мальные векторы данных плоскостей. Так как оба нормальных

218

вектора перпендикулярны прямой пересечения L , то их векторное произведение будет вектором коллинеарным этой прямой.

n2 n1

Рис. 98

Таким образом, вычисляя векторное произведение нормальных векторов плоскости (неважно в каком порядке), мы находим направляющий вектор прямой L:

s n1 n2 (m,n,p) .

Для написания канонического уравнения прямой необходимо знать координаты какой-нибудь точки лежащей на прямой L. С этой целью, найдем какое-нибудь решение (xo , yo ,zo ) систе-

мы. Так как любое её решение есть координаты точки лежащей на прямой L, то тем самым мы находим точку на прямой L.

Теперь осталось написать канонические уравнения прямой

Глава 14. Пучок и связка §1 Уравнение пучка прямых на плоскости

Определение. Пучком прямых на плоскости называется множество всех прямых данной плоскости, имеющих одну общую точку, которая называется центром пучка.

На рисунке 99 точка Mo – центр пучка.

219

Mo

Рис. 99

Теорема. Пусть

L1 : A1x B1y C1 0 и L2 : A2 x B2 y C2 0

– две прямые в координатной плоскости Оху, пересекающиеся в точке Mo . Тогда уравнение любой прямой, лежащей на коорди-

натной плоскости Оху и проходящей через точку Mo может быть записано в виде:

(A1x B1y C1 ) (A2 x B2 y C2 ) 0 ,

где , – некоторые действительные числа одновременно не равные нулю. Обратно, при любых , , одновременно не равных нулю, данное уравнение есть уравнение прямой, проходящей через точку Mo .

Доказательство. Пусть L – произвольная прямая пучка прямых с центром пучка в точке Mo и n – ее нормальный вектор. Тогда векторное уравнение прямой L имеет вид:

n ( r ro ) 0 ,

где ro – радиус-вектор точки Mo , r – текущий радиус-вектор, то

есть, радиус-вектор текущей точки M L (смотритерисунок100). Так как прямые L1 и L2 по условию теоремы пересекаются,

220