все для алгема / golovizin

Головизин В.В. Алгебра и геометрия, семестр 2. Вопросы к экзамену. 2012-2013 уч.г., с.4

Головизин В.В. Алгебра и геометрия, семестр 2. Вопросы к экзамену. 2012-2013 уч.г., с.4

Алгебра и геометрия-2. Вопросы к экзамену, 2012/13 уч.г.

21.

Миноры и алгебраические дополнения элемента определителя. Теорема о

1.

Эллипс, вывод канонического уравнения. Свойства эллипса.

разложении определителя по элементам строки или столбца. Свойство

2.

Оптическое (зеркальное) свойство эллипса.

ортогональности определителя. Союзная матрица. Необходимые и дос-

3.

Гипербола, вывод канонического уравнения. Свойства гиперболы.

таточные условия существования обратной матрицы. Формула обратной

4.

Оптическое (зеркальное) свойство гиперболы.

матрицы.

5.

Парабола, вывод канонического уравнения. Свойства параболы.

22.

Определение линейного пространства. Теорема о простейших свойствах

6.

Уравнение касательной к параболе. Оптическое (зеркальное) свойство

линейного пространства. Примеры линейных пространств с проверкой

параболы и ее применение в технике.

аксиом линейного пространства.

7. Методсечений исследованияповерхностей напримереэллипсоидаи конуса.

23.

Системы векторов линейного пространства. Линейная комбинация сис-

8.

Метод сечений исследования поверхностей на примере однополостного и

темы векторов, коэффициенты линейной комбинации, тривиальная и не-

двуполостного гиперболоидов.

тривиальная линейная комбинация. Представление вектора системой

9.

Метод сечений исследования поверхностей на примере эллиптического и

векторов. Тривиальное и нетривиальное представление нулевого вектора

гиперболического параболоидов.

системой векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы

10.

Определение поля и его простейшие свойства. Примеры полей. Построе-

векторов.

ние поля комплексных чисел (с доказательством всех аксиом поля).

24.

Теорема о необходимом и достаточном условии линейной зависимости

11.

Алгебраическая форма записи комплексных чисел (и как она получается)

системы векторов (с доказательством).

и действия с ними в этой форме записи. Комплексно сопряженные числа

25.

Линейная зависимость (независимость) системы из одного вектора (с до-

и их свойства.

казательством). Теорема о линейной зависимости системы векторов, со-

12.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Комплексная плос-

держащую линейно зависимую подсистему, и её следствие.

кость. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая

26.

Теорема о необходимом и достаточном условии линейной зависимости

форма записи комплексных чисел. Умножение комплексных чисел в три-

системы ненулевых векторов (с доказательством).

гонометрической форме записи.

27. Определение базиса линейного пространства. Разложение вектора по бази-

13.

Формула Муавра. Деление комплексных чисел в тригонометрической

су. Координаты вектора относительно базиса. Порождающая система век-

форме записи.

торов, минимальная порождающая система векторов, максимальная ли-

14.

Определение корня натуральной степени из комплексного числа. Форму-

нейно независимая система векторов. Лемма о линейно зависимой порож-

ла корней и их расположение на комплексной плоскости.

дающей системе векторов и её следствия (об удалении вектора из системы

15.

Действия с матрицами и их свойства. Теорема о существовании и един-

и о линейной независимости минимальной порождающей системы).

ственности единичной матрицы.

28.

Теорема о четырех равносильных определениях базиса (с полным дока-

16.

Определение обратной матрицы, и её единственность (доказательство).

зательством).

Определение обратимой матрицы. Свойства обратимых матриц.

29.

Теорема о числе векторов в линейно независимых и порождающих сис-

17.

Перестановки конечного множества. Количество перестановок (доказа-

темах векторов линейного пространства.

тельство), инверсии в перестановке, четность и нечетность перестановки

30.

Размерность линейного пространства. Определение конечномерного ли-

и их количество, транспозиция в перестановке. Теорема об изменении

нейного пространства. Теорема о существовании базиса конечномерного

четности перестановки в результате транспозиции. Метод определения

линейного пространства.

четности перестановки с помощью транспозиции.

31.

Лемма о системах векторов n-мерного линейного пространства (система

18.

Определение определителя произвольного порядка. Свойство знаков оп-

из (n 1) - го вектора и система из n векторов).

ределителя. Определитель транспонированной матрицы.

32.

Теорема о дополнении до базиса. Канонический базис арифметического

19.

Свойство линейности определителя.

линейного пространства столбцов.

20.

Прочие свойства определителя (определитель с равными или пропор-

33.

Определение матрицы перехода. Теорема об изменении координат век-

циональными строками или столбцами, транспозиция строк или столб-

тора при изменении базиса. Свойства матриц перехода. Обратимость

цов, прибавление к строке линейной комбинации других строк, опреде-

матриц перехода.

литель с линейно зависимыми строками или столбцами).

34.

Определение линейного подпространства линейного пространства. Не-

1

2

Головизин В.В. Алгебра и геометрия, семестр 2. Вопросы к экзамену. 2012-2013 уч.г., с.4

Головизин В.В. Алгебра и геометрия, семестр 2. Вопросы к экзамену. 2012-2013 уч.г., с.4

обходимые и достаточные условия линейного подпространства (с дока-

46.

Теорема о размерности пространства решений однородной системы ли-

зательством). Примеры векторных подпространств.

нейных уравнений. Фундаментальная система решений. Общее решение

35.

Теорема о пространстве решений однородной системы линейных урав-

однородной системы линейных уравнений.

нений.

47.

Теорема о структуре множества решений неоднородной системы линей-

36.

Определение линейной оболочки системы векторов и теорема о линей-

ных уравнений. Общее решение неоднородной системы линейных урав-

ной оболочке (с доказательством). Теорема о базисе линейной оболочки

нений. Понятие линейного многообразия.

и её размерности. Теорема о размерности подпространства конечномер-

48.

Необходимые и достаточные условия определенности произвольной и

ного линейного пространства.

квадратной систем линейных уравнений.

37.

Определение суммы линейных подпространств. Теорема о сумме и пере-

49.

Собственные числа и собственные векторы линейного оператора. Диаго-

сечении линейных подпространств (сумма и пересечение подпро-

нализируемость линейного оператора. Первый необходимый и достаточ-

странств суть подпространства). Теорема о размерности суммы и пересе-

ный признак диагонализируемости линейного оператора.

чении линейных подпространств.

50.

Теорема о собственных значениях линейного оператора.

38.

Определение прямой суммы линейных подпространств и теорема о рав-

51.

Характеристический многочлен линейного оператора и его свойства.

носильности трех определений прямой суммы (с доказательством).

52.

Лемма о линейной независимости собственных векторов, соответствую-

Обобщение прямой суммы на произвольное конечное число прямых сла-

щих различным собственным числам. Достаточный признак диагонали-

гаемых. Размерность прямой суммы подпространств.

зируемости линейного оператора.

39.

Определение линейного отображения (гомоморфизма) линейных про-

53.

Билинейная форма и ее общий вид. Матрица билинейной формы и ее из-

странств. Примеры линейных отображений (с проверкой свойств адди-

менение при изменении базиса.

тивности и однородности), в частности умножение матрицы на столбец

54.

Квадратичная форма и полярная ей билинейная форма. Общий вид квад-

как пример линейного отображения. Простейшие свойства линейных

ратичной формы и ее матрица. Преобразование переменных квадратич-

отображений (образ нулевого вектора, противоположного вектора, ли-

ной формы. Эквивалентность квадратичных форм. Канонический вид

нейной комбинации системы векторов).

квадратичных форм. Теорема Якоби.

40.

Ядро и образ линейного отображения. Примеры линейных отображений,

55.

Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвест-

их ядра и образы. Свойства ядра и образа линейного отображения (что

ра. Сигнатура вещественных квадратичных форм. Закон инерции. Нор-

они являются линейными подпространствами). Теорема о размерности

мальный вид квадратичных форм.

ядра и образа линейного отображения.

56.

Скалярное произведение в вещественном векторном пространстве. Евк-

41.

Матрица линейного отображения. Основное свойство матрицы линейно-

лидово пространство. Матрица Грама. Теорема о существовании базиса

го отображения (доказательство). Матрица линейного оператора и её ос-

евклидова пространства с единичной матрицей Грама. Вид скалярного

новное свойство, как частный случай матрицы линейного отображения.

произведения с единичной матрицей Грама.

42.

Изменение матрицы линейного отображения линейных пространств при

57.

Модуль вектора и неравенство Коши - Буняковского. Неравенство тре-

изменении их базисов, и, как частный случай, изменение матрицы ли-

угольника. Угол между векторами. Определение ортогональных норми-

нейного оператора линейного пространства при изменении его базиса.

рованных векторов.

43.

Максимальная линейно независимая подсистема данной системы векто-

58. Определение ортогонального и ортонормированного базиса. Лемма о ли-

ров. Ранг системы векторов. Теорема о ранге системы векторов. Элемен-

нейной независимости системы попарно ортогональных векторов. Теоре-

тарные преобразования системы векторов. Теорема об элементарных

ма о существовании ортогонального базиса (процесс ортогонализации).

преобразованиях системы векторов.

59.

Ортогональные матрицы и их свойства. Матрица перехода от ортонор-

44.

Ранг матрицы. Лемма о линейной зависимости строк и столбцов матрицы

мированного базиса к ортонормированному.

и ее следствие. Теорема о ранге матрицы.

60.

Самосопряженный линейный оператор в евклидовом пространстве и его

45.

Системы линейных уравнений и их классификация по количеству реше-

матрица относительно ортонормированного базиса. Теорема о существо-

ний. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений. Мат-

вании ортонормированного базиса из собственных векторов самосопря-

ричная и векторная формы записи систем линейных уравнений. Теорема

женного линейного оператора. Приведение квадратичной формы к кано-

Кронекера - Капелли.

ническому виду ортогональным преобразованием ее переменных.

3

4