все для алгема / Алгебра и геометрия, ч1, глава 1-19 (к печати)

5) Имеем, по уже доказанному, неравенство:

| z1 | | z2 (z1 z2 ) | | z2 | | z1 z2 | ,

откуда следует

| z1 z2 | | z1 | | z2 | .

Поменяв местами z1 и z2 , получаем

| z1 z2 | | z2 z1 | | z2 | | z1 | ,

откуда и следует доказываемое неравенство. Теорема доказана.

Теория комплексных чисел имеет много приложений в различных областях математики. Автор не может удержаться от искушения привести хотя бы один такой пример, относящийся к теории чисел.

Определение. Говорят, что натуральное число n представимо в виде суммы двух квадратов, если существуют такие целые числа х и у, что выполняется равенство:

n x2 y2 .

Теорема. Если два числа представимы в виде суммы двух квадратов, то их произведение также представимо в виде суммы двух квадратов.

Доказательство. Пусть n1,n2 и

n1 x12 y12 , n2 x22 y22 ,

где x1, x2 , y1, y2 . Нам нужно доказать, что найдутся два целых числа а и b такие, что

и вычисляя модуль, получаем:

121

| z1z2 | (x1x2 y1y2 )2 (x1y2 x2 y1 )2 .

С другой стороны,

Отсюда получаем равенство:

n1n2 (x1x2 y1y2 )2 (x1y2 x2 y1 )2 a2 b2 , где x1x2 y1y2 a, x1y2 x2 y1 b .

Теорема доказана.

Глава 8. Корни из комплексных чисел §1 Формула Муавра

Теорема. (Муавр Абрахам, 1707 г.) Для любого целого числа n и любого действительного числа имеет место следующее равенство:

(cos isin )n cos(n ) isin (n ) .

Доказательство. Разобьем доказательство на 3 этапа.

1) Пусть n – натуральное число. Так как комплексное число z cos isin имеет модуль | z | 1, то справедливость

формулы Муавра в этом случае следует из правила умножении комплексных чисел в тригонометрической форме записи.

2) Пусть теперь n 1 . Тогда

3) Пусть n m , где m – натуральное число. Тогда по свойству целых степеней, которые справедливы в любом поле, в том числе и в поле комплексных чисел, имеем:

122

(cos isin )n (cos isin ) m ((cos isin )m ) 1(cos(m ) isin (m )) 1 cos( m ) isin ( m )

cos(n ) isin (n ) .

Здесь мы использовали уже доказанные случаи формулы Муавра возведения в натуральную степень и в степень, равную (–1).

Остался последний случай n 0 . В любом поле для любого его ненулевого элемента х полагаем по определению:

x0 1.

Так как , cos isin 0 , то, по определению, верно равенство:

(cos isin )0 1 cos0 i sin 0 .

Таким образом, формула Муавра верна для любого целого числа n.

Теорема доказана.

Следствие. (О целых степенях комплексного числа.) Пусть z | z | (cos isin ) . Тогда n

zn | z |n (cos(n ) isin (n )) .

Доказательство очевидно.

§2 Деление комплексных чисел Теорема. Пусть

z1 | z1 | (cos 1 isin 1 ) , 1 arg z1 , z2 | z2 | (cos 2 isin 2 ) 0 , 2 arg z2

– два произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме. Тогда

Доказательство. Воспользуемся следствием формулы Муавра и правилом умножения комплексных чисел в тригономет-

123

Решение. Комплексное число z 12 i 23 на комплексной

плоскости находится в третьей четверти, поэтому

| z | 1, arg z arctg 3 4 , 3 3

Отсюда находим

§3 Корни из комплексных чисел

Определение. Пусть n и n 1 . Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число , такое, что n z .

Теорема. (Формула корней из комплексного числа.) Для лю-

и для любого натурального числа n 1 существует ровно n корней n-й степени из комплексного числа z и все они могут быть найдены по формуле

где k {0, 1, ..., n 1}, n | z | – арифметический корень n-й степени из положительного числа | z | .

Доказательство. Обозначим

nz { o , 1, ..., n 1} ,

идокажем, что данное множество исчерпывает все множество

корней n-й степени из комплексного числа z.

Доказательство проведем в 3 этапа. Сначала мы докажем, что все элементы множества { o , 1, ..., n 1} являются корнями

n-й степени из комплексного числа z. Затем мы покажем, что среди корней этого множества нет равных. И, наконец, мы покажем, что любой корень n-й степени из комплексного числа z является элементом множества { o , 1, ..., n 1} .

1) По следствию 2 формулы Муавра k {0, 1, ..., n 1}

| z | (cos( 2 k) isin( 2 k) | z | (cos isin ) z .

2)Допустим, что m k , где m,k {0, 1, ..., n 1} и m k .

Тогда по теореме о равенстве двух комплексных чисел в тригонометрической форме записи следует, что равны их аргументы.

Умножим это равенство на n:

2 k 2 m 2 tn .

Отсюда следует, что

k m tn ,

126

и так как по нашему предположению m k , то

| k m | | tn | | t | n n ,

чего не может быть, так как m,k { 0, 1, ..., n 1} и | k m | n 1. Получили противоречие. Следовательно, среди корней в множестве { o , 1, ..., n 1} нет равных, ч.т.д.

3)Пусть теперь комплексное число

| | (cos isin )

является корнем n-й степени из комплексного числа z, то естьn z . Так как

n | |n (cos n isin n ) | z | (cos isin ) .

Отсюда, из тех же соображений, что и во второй части дока-

Таким образом, корень r является корнем из множества

корней { o , 1, ..., n 1} .

Теорема доказана.

127

Таким образом, аргументы корней образуют арифметическую прогрессию, а так как модули у всех корней одинаковые, то на комплексной плоскости они удалены от начала координат на одинаковое расстояние. Следовательно, точки на комплексной плоскости соответствующие корням, лежат на окружности ра-

диуса n | z | с центром в начале координат. Далее, мы видим, что угол между такими двумя соседними точками одинаковый:

128

k 1 k 2n .

Отсюда делаем вывод, что все корни располагаются на окружности равномерно. Смотрите рисунок 54.

Если соединить все соседние точки (корни) отрезками прямой, то получим правильный n-угольник. При изображении корней на комплексной плоскости около точки, с которой отождествляется корень проставляется только его аргумент, поскольку модули у всех корней одинаковые.

у

Рис. 54

Пример. Изобразить все корни 3 1 i на комплексной плоскости.

Решение. Смотрите рисунок 55. Сами корни мы уже вычислили (смотрите предыдущий пример). Изображаем координатные

оси, проводим окружность радиуса 6 2 с центром в начале координат и отмечаем на ней точки полярный угол которых равен:

129

комплексного числа, существует ровно n корней из комплексного числа z 1 i 0 1 . Для вычисления этих корней запишем единицу в тригонометрической форме:

1 cos 0 isin 0, |1| 1, arg1 0 .

Обозначим все множество корней через Tn :

Действительно, это равенство сразу же получается из формулы Муавра:

Теперь, множество Tn , корней из 1, можно записать так: Tn { 1o 1, 1, 12 , ..., 1n 1 }.

§6 Многочлен деления круга Определение. Многочлен

xn xn 1 ... x 1

называется многочленом деления круга.

Теорема. Все корни многочлена деления круга являются корнями (n 1) -й степени из 1.

Доказательство. Рассмотрим многочлен деления круга как сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем х. Тогда

1 x x2 ... xn xn 1 1 . x 1

Теорема доказана.

Так как корни из 1 делят единичную окружность на n равных дуг, то из теоремы следует, что все корни многочлена деления круга вместе с 1 делят окружность на равные дуги, откуда и произошло название этого многочлена.

Поставим задачу разложить многочлен деления круга на неприводимые (неразложимые) множители с действительными коэффициентами. Известно, что любой многочлен с действительными коэффициентами можно представить в виде произведения неприводимых над полем действительных чисел многочленов с действительными коэффициентами:

131

число квадратных трехчленов с действительными коэффициентами p1,q1,...,pt ,qt и отрицательными дискриминантами,

k1, k2 , ..., kt – кратности соответствующих комплексных корней, an 0 – старший коэффициент многочлена f(x), n – его степень.

Замечание. Линейных множителей может и не быть. Тогда m 0 и многочлен не имеет действительных корней. Аналогично, многочлен может не иметь комплексных корней, тогда t 0 . Далее, очевидно, что степень многочлена f(x)

deg f (x) n m 2t .

Из последнего равенства вытекает следующее следствие.

Следствие. Любой многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.

Легко получить разложение на неприводимые множители, если известны все корни многочлена f(x). Тогда многочлен раскладывается над полем комплексных чисел на линейные множители. Так как коэффициенты многочлена f(x) предполагаются действительными, то если многочлен имеет комплексный корень z x iy , то комплексно сопряженное ему число z x iy

также является корнем этого многочлена. Действительно, если f (z) 0 , то f (z) f (z) 0 0 .

Разложение многочлена f(x) на линейные множители будет иметь вид:

132

f (x) an (x x1 )r1 ... (x xm )r m

(x z1 )k1 (x z1 )k1 ... (x zt )kt (x zt )kt ,

где x1, x2 , ..., xm – все различные действительные корни

корни многочлена f(x), t – число пар всех различных комплексно сопряженных корней, k1, k2 , ..., kt – их кратности, an 0 –

старший коэффициент многочлена f(x), n – его степень. Теперь, перемножим пару линейных множителей содержа-

щие комплексно сопряженные корни. Пусть z1 a1 i b1, z1 a1 i b1 .

Тогда

z1 z1 2a1 p1 , z1 z2 a12 b12 q1 ,

откуда и получаем:

(x z1 )(x z1 ) x2 (z1 z1 )x z1 z1 x2 p1x q1 [x] .

Проделав то же самое со всеми парами комплексно сопряженных корней, получим искомое разложение.

Осталось заметить, что все корни многочлена деления круга различны и их легко вычислить и, следовательно, получить разложение на линейные множители.

Пример. Разложить на неприводимые множители с действительными коэффициентами (то есть на полем ) многочлен x5 x4 x3 x2 x 1 .

Решение. Решим уравнение x6 1 0 . Так как x6 1 (x 1)(x5 x4 x3 x2 x 1) ,

то найдя все корни уравнения x6 1 0 , мы найдем тем самым

все корни многочлена x5 x4 x3 x2 x 1 . Имеем,

6 1 {1, , 2 , 3 , 4 , 5} , где