все для алгема / Алгебра и геометрия, ч1, глава 1-19 (к печати)

есть величина постоянная образуют эллипс, гиперболу или параболу, в зависимости от величины этого отношения. Если 1, то мы получаем эллипс, если 1, то мы получаем гиперболу, если 1, то мы получаем параболу.

§3 Фокальный параметр параболы Теорема. Фокальный параметр параболы равен длине пер-

пендикуляра к ее оси симметрии, восстановленного в фокусе параболы до пересечения с параболой.

(смотрите рисунок 134), то ее координаты удовлетворяют уравнению параболы:

y2 2p p2 p2 y p ,

откуда и следует утверждение теоремы. Теорема доказана.

§4 Касательная к параболе

Теорема. Пусть Mo (xo , yo ) – произвольная точка параболы y2 2px . Тогда уравнение касательной к этой параболе в точке Mo (xo , yo ) имеет вид:

yo y p(x xo ) .

Доказательство. Воспользуемся уравнением касательной к графику функции y f (x) в точке Mo (xo , yo ) :

y yo f (xo )(x xo ) .

Достаточно рассмотреть случай, когда точка касания лежит в первой четверти. Тогда параболу можно рассматривать как гра-

фик неявно заданной функции y2 2px . Найдем её производ-

281

ную и её значение в точке касания:

2yy 2p , y (xo ) p . yo

Подставляем найденное значение производной в уравнение касательной, и упрощаем:

yo y yo2 px pxo .

Так как точка Mo (xo , yo ) принадлежит параболе, то ее коорди-

наты удовлетворяют ее уравнению, то есть yo2 2pxo , откуда получаем

yo y 2pxo px pxo или yo y px pxo .

Отсюда следует

yo y p(x xo ) .

Теорема доказана.

§5 Зеркальное свойство параболы.

Теорема. Касательная к параболе образует равные углы с ее осью симметрии и с фокальным радиусом точки касания.

Доказательство. Пусть Mo (xo , yo ) – точка касания, r – её

фокальный радиус. Обозначим через N точку пересечения касательной с осью абсцисс (смотрите рисунок 135). Ордината точки N равна нулю и точка N лежит на касательной, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной. Подставляя координаты точки N в уравнение касательной, получаем:

yo 0 p(x xo ) ,

откуда находим абсциссу точки N: xN xo .

Рассмотрим треугольник FNMo . Докажем, что он равнобед-

ренный. Действительно,

282

FMo r d xo p2 FN .

Здесь мы воспользовались равенством r d xo p2 ,

полученным при выводе канонического уравнения параболы. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

Mo NF NMo F .

Теорема доказана.

Рис. 135

Доказанную теорему можно сформулировать в виде зеркального свойства параболы.

Зеркальное свойство параболы

Луч света, выпущенный из фокуса параболы, после отражения от зеркала параболы, идет параллельно оси симметрии параболы.

283

Действительно, так как угол падения луча на касательную равен углу отражения от нее, то угол между касательной и отраженным лучом равен углу между касательной и осью абсцисс, откуда следует, что отраженный луч параллелен оси абсцисс.

Замечание. Это свойство параболы получило широкое применение в технике. Если параболу вращать вокруг ее оси симметрии, то получим поверхность, которая называется параболоидом вращения. Если выполнить отражающую поверхность в форме параболоида вращения и в фокусе поместить источник света, то отраженные лучи идут параллельно оси симметрии параболоида. Так устроены прожектора и автомобильные фары. Если же в фокусе поместить устройство принимающее электромагнитные волны, то они отражаясь от поверхности параболоида попадают в это принимающее устройство. По такому принципу работают спутниковые тарелки.

Существует легенда, что в древности один полководец выстроил своих воинов вдоль берега, придав их строю форму параболы. Солнечный свет, отражаясь от начищенных до блеска щитов воинов собирался в пучок (в фокусе построенной параболы). Таким образом были сожжены корабли неприятеля. Некоторые источники приписывают это Архимеду. Так или иначе, но арабы называли параболоид вращения "зажигательным зеркалом".

Кстати, слово "focus" латинское и в переводе означает огонь, очаг. С помощью "зажигательного зеркала" можно в солнечный день разжечь костер и вскипятить воду. Становится понятным происхождение этого термина.

Слово "фокус" означает также некоторый трюк или хитрый прием. Раньше цирк назывался балаганом. Так еще балаганные артисты использовали зеркальное свойство эллипса и зажигая свет в одном фокусе эллипса они разжигали что-нибудь легко воспламеняющееся, помещенное в другом его фокусе. Это зрелище также стали называть фокусом.

(Читайте замечательную книжку Виленкина Н.Я. "За страницами учебника математики")

284

§6 Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы

Пусть на плоскости дана точка F, которую мы назовем фокусом и прямая D, которую мы назовем директрисой. Проведем через фокус прямую перпендикулярную директрисе (фокальная ось) и введем полярную систему координат. Полюс поместим в фокус, а в качестве полярного луча возьмем ту часть фокальной оси, которая не пересекает директрису (смотрите рисунок 136).

Рис. 136

Пусть точка М лежит на эллипсе, гиперболе или параболе. В дальнейшем будем называть эллипс гиперболу или параболу просто кривой.

Теорема. Пусть M(r; ) – полярные координаты точки кривой (эллипса, гиперболы или параболы). Тогда

(для параболы полагаем 1).

Доказательство. Пусть Q – проекция точки М на фокальную

285

ось кривой, В – на директрису кривой. Пусть полярный угол

точки М является тупым, как на рисунке 136. Тогда

NF NQ QF ,

где по построению, NQ MB d – расстояние от точки М до

директрисы,

QF r cos ( ) r cos и NF d r cos .

С другой стороны, по единому определению эллипса, гипер-

болы и параболы отношение dr равно эксцентриситету соот-

ветствующей кривой для любой точки М на данной кривой. Пусть точка Mo – точка пересечения кривой с перпендикуляром к фокальной оси, восстановленного в фокусе F и А – ее проекция

на директрису. Тогда Mo F , откуда

Mo A

Mo A Mo F p .

Но Mo A NF . ОтсюдаNF p и учитывая, что NF d r cos ,

получаем

p d r cos .

Учитывая, что d r , получаем

p d r cos r r cos r(1 cos ) ,

откуда и следует доказываемое равенство.

Заметим, что если полярный угол точки М является ост-

рым, то точка Q находится правее фокуса F и NF NQ QF d r cos ,

и все выкладки остаются верными и в этом случае. Теорема доказана.

286

Глава 19. Поверхности второго порядка §1 Конические и цилиндрические поверхности

Определение. Поверхность называется цилиндрической, если она образована параллельным перемещением некоторой прямой, называемой образующей, вдоль некоторой кривой, называемой направляющей.

Пример. Возьмем в качестве направляющей окружность. Рассмотрим множество прямых параллельных друг другу и расположенных под некоторым углом к плоскости в которой лежит окружность и проходящих через каждую точку окружности (смотрите рисунок 137).

Рис. 137

Поверхность, изображенная на рисунке 137 является цилиндрической. Она может быть получена параллельным перемещением одной прямой (образующей) вдоль окружности (направляющей). Если угол наклона прямой к плоскости направляющей является прямым, то получаем поверхность, которая называется прямым круговым цилиндром.

Не нужно думать, что образующая должна быть замкнутой кривой. Это вовсе не обязательно. Смотрите, например, следующий рисунок 138.

Здесь K – направляющая, L – образующая цилиндрической поверхности. В частности, плоскость является цилиндрической поверхностью, так как может быть получена параллельным перемещением прямой (образующей) вдоль другой прямой, кото-

287

рая служит направляющей.

L

K

Рис. 138

Теорема. Если уравнение F(x, y) 0 является уравнением

кривой на координатной плоскости Оху, то это же уравнение является уравнением цилиндрической поверхности в координатном пространстве Oxyz, направляющей которой служит данная кривая, а образующей является прямая, проходящая через точку данной кривой и параллельной оси Оz.

z M(xo , yo , z)

у

О

Mo (xo , yo , 0)

х

F(x, y) 0

Рис. 139

Доказательство. Пусть точка Mo (xo , yo ) лежит на кривой

288

F(x, y) 0 (смотрите рисунок 139). Тогда F(xo , yo ) 0 . Так как это уравнение не содержит переменной z, то для любого числа z координаты точки M(xo , yo ,z) также удовлетворяют это-

му уравнению. Другими словами, любое решение этого уравнения есть координаты точки, лежащей на прямой, параллельной оси Оz и проходящей через точку кривой F(x, y) 0 на плоско-

сти Оху. Очевидно, верно и обратное. Теорема доказана.

Аналогично, уравнение кривой F(x,z) 0 на плоскости Охz

является одновременно и уравнением цилиндрической поверхности, направляющей для которой служит данная кривая, а образующая параллельна оси ординат.

Так же и уравнение F(y,z) 0 есть уравнение цилиндрической поверхности, образующая которой параллельна оси Ох.

Пример. Изобразить в прямоугольной декартовой системе координат Охуz тело, лежащее в первом октанте, ограниченное координатными плоскостями, плоскостью x 2 и прямым кру-

говым цилиндром y2 z2 1. Ответ: рисунок 140.

у

2

1

х

Рис. 140

289

Конические поверхности Определение. Конической поверхностью называется по-

верхность образованная перемещением прямой линии, называемой образующей и проходящей через одну фиксированную точку, называемую вершиной, и текущую точку фиксированной линии, называемой направляющей.

В качестве примера смотрите рисунок 142, на котором изображен конус второго порядка. Направляющей конуса служит эллипс или окружность, вершинаконуса совпадает с началом координат.

Заметим, что как и в случае цилиндрической поверхности, направляющаяне обязана быть замкнутой кривой какна рисунке142.

Из определения следует, что плоскость является конической поверхностью. Вершиной может служить любая точка плоскости, а направляющей – любая прямая не проходящая через вершину.

Линейчатые поверхности Определение. Поверхность называется линейчатой, если она

может быть образована перемещением одной или нескольких прямых, называемых образующими, вдоль некоторой линии, называемой направляющей.

Из определения следует, что конические и цилиндрические поверхности являются линейчатыми поверхностями. Как мы увидим далее, примером линейчатой поверхности, не являющейся ни конической, ни цилиндрической может служить однополостный гиперболоид (смотрите рисунок 143).

§2 Классификация поверхностей второго порядка Определение. Поверхностью второго порядка называется

геометрическое место точек координатного пространства Охуz, координаты которых, и только они, удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени с тремя неизвестными:

Ax2 By2 Cz2 Dxy Exz Fyz Gx Hy Iz J 0 .

Мы примем без доказательства тот факт, что для любой по-

290

верхности второго порядка существует такая прямоугольная декартовая система координат, в которой ее уравнение будет иметь наиболее простой вид. Такое уравнение поверхности называется каноническим, а соответствующая система координат называется канонической для данной поверхности.

Теорема. Уравнение любой поверхности второго порядка можно привести к каноническому виду.

Полная классификация поверхностей второго порядка

1) Эллипсоид: (смотрите рисунок 141)

z

y

x

Рис. 141

Здесь и далее константы а, b, с – положительные действительные числа.

2) Мнимый эллипсоид:

291

z

y

x

5) Однополостный гиперболоид: (смотрите рисунок 143)

z

y

x

z

x

Рис. 145

14) Параболический цилиндр:

y2 2px , p 0 .

15) Пара параллельных плоскостей:

295

х

у

Рис. 146

Замечание. Как легко видеть, мнимым поверхностям не удовлетворяют координаты ни одной точки вещественного пространства, а мнимому конусу удовлетворяет единственная точка

– начало координат.

296

§3 Метод сечений

Метод сечений заключается в том, что поверхность рассекается плоскостями параллельными координатным плоскостям, после чего исследуется кривая, лежащая в сечении. Таким образом мы получаем представление о данной поверхности.

Рассмотрим в качестве примера однополостный гиперболоид (смотрите рисунок 143), и применим для исследования этой поверхности метод сечений.

1) Рассечем однополостный гиперболоид плоскостью z h . Подставляем в уравнение однополостного гиперболоида z h :

x2 y2 1.

a12 b12

Таким образом, в сечении однополостного гиперболоида плоскостью z h мы получаем эллипс. Причем мы видим как изменяются полуоси этого эллипса в зависимости от величины h. С увеличением h его полуоси увеличивается. Наименьшие полуоси получаются в сечении z 0 , то есть в координатной плоскости Оху:

Этот эллипс получил название горлового эллипса.

2) Рассечем однополостный гиперболоид плоскостью y h .

297

Подставляем в уравнение однополостного гиперболоида y h :

x2 z2 1

a12 c12

– каноническое уравнение гиперболы с действительной осью Ох и мнимой осью Оz.

Аналогично рассматривается случай | h | b .

Пусть | h | b . Тогда 1 h2 0 . Получаем уравнение b2

прямых.

Аналогично исследуется поверхность однополостного гиперболоида сечениями плоскости x h .

Замечание. Можно доказать, что однополостный гиперболоид является линейчатой поверхностью. Она может быть полу-

чена параллельным переносом пары прямых z ac x вдоль горлового эллипса.

298