все для алгема / Алгебра и геометрия, ч1, глава 1-19 (к печати)

откуда, по только что доказанному закону сокращения слева следует

b c .

Аналогично доказывается закон сокращения относительно операции умножения: если

a b a c и a 0 , то b c ,

и если

b a c a и a 0 , то b c .

Доказательство оставляется читателю в качестве упражнения.

2) Прибавим к элементу 0 x элемент х и воспользуемся ак-

сиомами поля:

0 x x 0 x 1 x (0 1) x 1 x x 0 x .

Таким образом имеем равенство

0 x x 0 x .

Применяя закон сокращения, получаем равенство

0 x 0 .

3)Применяя аксиомы поля, получаем равенство:

x( 1)x 1 x ( 1)x (1 ( 1))x 0 x 0 .

Из этого равенства сразу же следует, что элемент ( 1) x яв-

ляется противоположным элементу х, то есть

( 1) x x .

4) Если x 0 или y 0 , то по уже доказанному свойству верно равенство xy 0 . Обратно, пусть xy 0 , и допустим, что x 0 и y 0 . Воспользуемся доказанным свойством 2 и зако-

ном сокращения относительно умножения: x y 0 0 y .

Так как y 0 , то мы можем сократить на у. Получаем ра-

венство x 0 , которое противоречит предположению x 0 . Полученное противоречие доказывает, что если x 0 и y 0 ,

то и xy 0 .

Теорема доказана.

21

§7 Линейное (векторное) пространство Определение. Пусть А и К – произвольные непустые мно-

жества, K A – их декартовое произведение. Отображение

K A A

называется внешней бинарной алгебраической операцией, определенной на множестве А над множеством К.

Другими словами, каждой паре элементов ( ; a) из декарто-

ва произведения K A ставится в соответствие единственный для этой пары элемент *a A . (Обычно при написании результата алгебраической операции элемент K пишется слева от элемента a A ).

Определение. Пусть V – произвольное множество, элементы которого мы будем называть векторами, – поле, элементы которого мы будем называть скалярами. Пусть на множестве V определена внутренняя бинарная алгебраическая операция, которую мы будем обозначать знаком "+" и называть сложением векторов. Пусть также на множестве V определена внешняя бинарная алгебраическая операция над полем , которую мы будем называть умножением вектора на скаляр и обозначать знаком умножения.

22

Другими словами определены два отображения: V V V : x, y V, (x, y) x y V ;

V V : , x V, ( , x) x V .

Множество V вместе с этими двумя алгебраическими операциями называется линейным (векторным) пространством над полем , если эти алгебраические операции подчиняются следующим законам (аксиомам линейного пространства):

1) закон ассоциативности сложения:

3)существование противоположного вектора:

x V, ( x) V : x ( x) ( x) x 0 ;

4)закон коммутативности сложения:

x, y V, x y y x ;

5) закон ассоциативности умножения вектора на скаляр:

, , x V, ( )x ( x) ;

6)закон дистрибутивности умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов:

, x, y V : (x y) x y ;

7)закон дистрибутивности умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров:

, , x V, ( )x x x ; 8) x V, 1 x x , где 1 – это единица поля .

Определение. Линейное пространство над полем вещественных чисел называется вещественным линейным пространством.

Теорема. (Простейшие свойства линейных пространств.)

1)В линейном пространстве существует единственный нулевой вектор.

2)В линейном пространстве любой вектор имеет единственный противоположный ему.

3)Произведение скаляра на вектор равно нулевому вектору то-

23

гда и только тогда, когда либо скаляр нулевой, либо вектор нулевой:

Доказательство. 1), 2). Первые два утверждения следуют из единственности нейтрального элемента и единственности симметричного элемента (смотрите параграф 5)

3), 4). Сначала мы докажем, что произведение нулевого скаляра на любой вектор равен нулевому вектору.

Пусть скаляр 0 . Тогда, применяя аксиомы линейного

пространства, получаем:

0 x x 0 x 1 x (0 1) x 1 x x 0 x .

Применяя закон сокращения, получаем

0 x 0 .

Теперь докажем утверждение 4). Пусть x V – произвольный вектор. Тогда

x ( 1)x 1 x ( 1)x (1 ( 1))x 0 x 0 .

Отсюда сразу же следует, что вектор ( 1)x является противопо-

ложным вектору х.

Пусть теперь x 0 . Тогда, применяя аксиомы векторного пространства, y V получаем:

0 (y ( y)) y ( y) y ( 1)y

( ( ))y 0 y 0 .

Пусть x 0 и допустим, что 0 . Так как , где –

поле, то существует 1 . Умножим равенство x 0 слева на 1 :

1 ( x) 1 0 0 ,

откуда следует

( 1 )x 0 1 x 0 x 0 .

Теорема доказана.

24

Примеры линейных пространств

1)Пусть V – множество всех векторов как направленных отрезков. Из элементарной геометрии нам известны две операции

свекторами – сложение векторов и умножение вектора на число,

врезультате которых получается вектор. Все аксиомы линейного пространства выполняются.

2)Множество упорядоченных пар действительных чисел

2 {(x, y) | x, y }

образует вещественное линейное пространство относительно покомпонентного сложения

(a, b), (c,d) 2 , (a, b) (c,d) (a c, b d)

и покомпонентного умножения на скаляр

(a, b) 2 , , (a, b) ( a, b) .

Такое линейное пространство называется вещественным линейным пространством строк длины 2. Здесь под вектором понимается любая упорядоченная пара действительных чисел, а под скаляром – любое действительное число.

3)Вещественное линейное пространство строк произвольной фиксированной длины n, в котором сложение строк и умножение строки на скаляр определяется также, как в предыдущем примере

n {(x1, x2 ,..., xn ) | x1, x2 ,..., xn } .

4)Пусть [x] – множество многочленов от одной перемен-

ной х с действительными коэффициентами, – поле действительных чисел. Тогда операция умножения многочлена на число является внешней алгебраической операцией на множестве многочленов: [x] [x] , то есть в результате опять получает-

ся многочлен с действительными коэффициентами. Множество[x] относительно сложения многочленов и умножения много-

члена на число является вещественным линейным пространством. Аксиомы линейного пространства легко проверяются.

25

Глава 2. Поле комплексных чисел §1 Построение поля комплексных чисел

Пусть 2 – декартов квадрат поля действительных чисел, то есть 2 {(x, y) | x, y } – множество упорядоченных пар дей-

ствительных чисел. Определим на этом множестве две внутренние бинарные алгебраические операции – сложение и умножение по следующим правилам:

(a, b), (c,d) 2 положим по определению

(a, b) (c,d) (a c, b d) (a, b) (c,d) (ac bd, ad bc) .

Очевидно, что сумма и произведение двух пар из 2 снова

есть пара из множества 2 , так как сумма, произведение и разность действительных чисел есть действительные числа. Таким

образом, ( 2 , , ) – алгебраическая структура с двумя внутренними бинарными алгебраическими операциями.

Теорема. Алгебраическая структура ( 2 , , ) является полем.

Доказательство. Последовательно проверяем справедливость всех девяти аксиом поля.

1) Закон ассоциативности сложения:

x, y, z 2 , x (y z) (x y) z .

Пусть x (a, b), y (c,d), z (e,f ) 2 . Тогда по определе-

нию сложения пар

y z (c e, d f ) ,

x (y z) (a, b) (c e,d f ) (a (c e), b (d f )) .

С другой стороны,

x y (a c, b d) ,

(x y) z (a c, b d) (e,f ) ((a c) e,(b d) f ) .

Так как сложение действительных чисел подчиняется закону ассоциативности, то

26

Отсюда следует равенство пар

(a (c e), b (d f )) ((a c) e, (b d) f ) ,

аотсюда следует, в свою очередь, равенство

x(y z) (x y) z .

2) Существование нулевого элемента:

2 : x 2 , x x x .

Обозначим

(0, 0) ,

где 0 – нулевой элемент поля действительных чисел, то есть число нуль. Пусть x (a, b) 2 – произвольная пара из 2 . Тогда по определению сложения пар

x (0, 0) (a, b) (0 a,0 b) (a, b) x ,

x(a, b) (0, 0) (a 0, b 0) (a, b) x .

Следовательно, x x x и пара (0, 0) есть нулевой

элемент относительно операции сложения, существование которого и требовалось доказать.

3) Существование противоположного элемента:

x 2 , ( x) 2 : x ( x) ( x) x .

Пусть x (a, b) 2 – произвольная пара из 2 . Покажем, что противоположным элементом является пара

x ( a, b) 2 .

Действительно, по определению сложения пар имеем:

x ( x) (a, b) ( a, b) (a ( a), b ( b)) (0, 0) ( x) x ( a, b) (a, b) (( a) a,( b) b) (0, 0) .

Отсюда следует равенство

x( x) ( x) x .

4)Закон коммутативности сложения:

27

Пусть x (a, b), y (c,d) 2 – две произвольные пары. То-

гда по определению сложения пар имеем:

x y (a, b) (c,d) (a c, b d) , y x (c,d) (a, b) (c a,d b) .

Так как множество действительных чисел относительно операций сложения и умножения является полем, то в нем выполняется закон коммутативности сложения

a c c a, b d d b ,

откуда следует равенство пар:

(a c, b d) (c a,d b) и x y y x .

5) Закон ассоциативности умножения:

x(yz) (a, b)(ce df , cf de)

(a(ce df ) b(cf de), a(cf de) b(ce df ))

(ace adf bcf bde, acf ade bce bdf ) . (xy)z (ac bd, ad bc)(e,f )

((ac bd)e (ad bc)f , (ac bd)f (ad bc)e)

(ace bde adf bcf , acf bdf ade bce) .

Врезультате получились равные пары. Следовательно,

x(yz) (xy)z .

6) Существование единичного элемента:

(1, 0) ,

ипокажем, что – единичный элемент относительно умноже-

ния. Пусть x (a, b) 2 . Тогда по определению умножения пар

28

x (a, b)(1, 0) (a 1 b 0, a 0 b 1) (a, b) x ,x (1, 0)(a, b) (1 a 0 b, 1 b 0 a) (a, b) x .

Таким образом, x x x .

7) Существование обратного элемента:

и покажем, что этот элемент удовлетворяет равенству x x 1 x 1 x .

Действительно, по определению умножения пар

Пусть x (a, b), y (c,d) 2 – две произвольные пары. То-

гда по определению умножения пар

xy (a, b)(c,d) (ac bd, ad bc) , yx (c,d)(a, b) (ca db, cb da) .

Так как умножение и сложение действительных чисел подчиняется закону коммутативности, то

ac bd ca db, ad bc cb da xy yx . 29

9) Закондистрибутивностиумноженияотносительносложения:

((a c)e (b d)f , (a c)f (b d)e)(ae ce bf df , af cf be de) .

Здесь мы воспользовались законом дистрибутивности умножения относительно сложения, которому подчиняются действи-

xz yz (ae bf , af be) (ce df , cf de)(ae bf ce df , af be cf de) .

Отсюда мы видим, что (x y)z xz yz .

Для доказательства второго закона дистрибутивности воспользуемся только что доказанным законом дистрибутивности и законом коммутативности относительно умножения, который мы тоже уже доказали:

x(y z) (y z)x yx zx xy xz .

Теорема доказана.

Определение. Поле ( 2 , , ) называется полем комплекс-

ных чисел, а его элементы – упорядоченные пары действительных чисел, называются комплексными числами.

§2 Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Обозначим через

{(a,0) | a } 2

–подмножество поля 2 , состоящее из тех пар действительных чисел, второй элемент которых равен нулю. Пусть

x (a,0), y (b,0) . 30

Тогда по правилам сложения и умножения пар x y (a b,0), xy (ab,0) .

Это дает нам возможность отождествить такие пары с их

первым элементом, а само множество с множеством . Положим по определению

(a, 0) a .

Далее, заметим, что любую пару из 2 мы можем представить в виде:

(a, b) (a,0) (0, b) (a,0) (b,0)(0,1) a b(0,1) .

Для пары (0,1) введем специальное обозначение. Положим по определению

i (0, 1) .

Тогда

(a, b) 2 , (a, b) a b i .

Такая форма записи комплексного числа называется алгебраической. Само поле комплексных чисел принято обозначать буквой .

{ a b i | a, b }.

Заметим, далее, что

i2 (0, 1) (0, 1) ( 1, 0) 1 .

Это означает, что комплексное число i является корнем квадратного уравнения

x2 1 0 .

Легко видеть, что вторым корнем этого уравнения является комплексное число i . Действительно,

( i)2 (0, 1) (0, 1) ( 1, 0) 1.

Таким образом, можно дать следующее определение комплексных чисел.

Определение. Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел z (a, b) , которая обычно

31

записывается в алгебраической форме: z a b i ,

где элемент i является корнем квадратного уравнения x2 1 0 , то есть i2 1.

Определение. Пусть z a b i – алгебраическая форма записи комплексного числа. Элемент i называется мнимой единицей. Действительное число а называется вещественной частью комплексного числа z и обозначается a Re z . Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается b Im z .

Определение. Комплексное число, вещественная часть которого равна нулю, называется чисто мнимым.

Из определения алгебраической формы записи комплексного числа сразу же вытекает условие равенства двух комплексных чисел:

Следствие. (Условие равенства комплексных чисел.) Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части, то есть

a bi c di (a c) и (b d) .

Замечание. Из определений следует, что

,

то есть, любое действительное число есть комплексное число с нулевой мнимой частью. Более того, любое комплексное число можно рассматривать как результат сложения двух комплексных чисел, одно из которых является действительным числом (его мнимая часть равна нулю), другое – чисто мнимое (его вещественная часть равна нулю):

z a b i (a 0 i) (0 b i) .

32

§3 Действия с комплексными числами

Из определения сложения пар и алгебраической формы записи комплексного числа следуют правила сложения и умножения комплексных чисел в алгебраической форме записи.

Пусть

–произвольные комплексные числа. Тогда

xy (a bi) (c di) (a c) (b d)i ,

xy (a bi)(c di) (ac bd) (ad dc)i .

Заметим, что этот же результат можно получить используя следующие соображения. Множество комплексных чисел образует поле. В поле справедливы законы ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности. Рассматриваем каждое комплексное число как результат сложения двух чисел – действительного и чисто мнимого.

Тогда

(a bi) (c di) a (bi с) di a (c bi) di(a c) (bi di) (a c) (b d)i .

(a bi)(c di) ac adi bic bidi

(ac bdi2 ) (adi bci) (ac bd) (ad bc)i .

Здесь мы воспользовались равенством i2 1.

Таким образом, нет нужды запоминать правила сложения и

особенно умножения. Далее, понятно, что

0 0 0 i

– нулевой элемент,

(a b i) ( a) ( b) i

–противоположный элемент.

Определяем операцию вычитания, как сложение с противоположным:

(a bi) (c di) (a bi) ( c di) (a c) (b d)i .

(1 i)(2 3i) 2 3i 2i 3i2 2 3 i 5 i ,

33

(2 3i)2 4 12i 9i2 4 12i 9 5 12i .

Определим операцию деления в любом поле как умножение на обратный элемент:

x, y , x 0 положим по определению

Однако, нет необходимости запоминать эту формулу. Лучше использовать одно простое правило. Но для этого введем сначала одно понятие.

Определение. Комплексное число z a bi называется комплексно сопряженным комплексному числу z a bi .

Из определения сразу же следует, что число a bi является комплексно сопряженным числу a bi , то есть такие числа, которые отличаются друг от друга лишь знаком мнимой части являются, по определению, комплексно сопряженными друг другу.

Правило деления комплексных чисел

Для того, чтобы разделить одно комплексное число на другое, нужно числитель и знаменатель дроби умножить на число комплексно сопряженное знаменателю:

34

Обозначение. Если z a bi , то комплексно сопряженное к нему число обозначается z a bi a bi .

§4 Свойства комплексно сопряженных чисел Теорема.

4)z1 , z2 , z1 z2 z1 z2 ;

5)z1 , z2 , ..., zn , z1 z2 ... zn z1 z2 ... zn ;

6)z , k , zk (z)k , где – множество натуральных

9)Для любого многочлена f (z) [z] с действительными коэффициентами и комплексной переменной z верно равенство

f (z) f (z) .

Доказательство. 1) Пусть z a bi – произвольное комплексное число. Тогда по определению комплексно сопряженного числа

z a bi a bi и z a bi a bi a bi z . 35

2) Пусть z1 a bi, z2 c di . Тогда

откуда и следует, что z1 z2 z1 z2 .

3) Докажем с помощью метода математической индукции, что равенство z1 z2 ... zn z1 z2 ... zn верно для любого

z1 z2 z1 z2 только что доказано.

б) Индукционная гипотеза. Предположим, что утверждение верно, если число слагаемых равно n 1:

z1 z2 ... zn 1 z1 z2 ... zn 1 .

в) Индукционный переход. Так как утверждение верно для двух слагаемых, то

(z1 z2 ... zn 1 ) zn z1 z2 ... zn 1 zn .

Далее используем индукционное предположение:

z1 z2 ... zn 1 zn (z1 z2 ... zn 1 ) zn ,

откуда и следует доказываемое равенство.

С другой стороны,

z1 z2 (a bi)(c di) (ac bd) (ad bc)i ,

откуда и следует, что z1 z2 z1 z2 .

5) Доказывается аналогично пункту 3) методом математической индукции.

6) Пусть z a bi и k – произвольное натуральное чис-

36

ло. Тогда по определению натуральной степени числа и свойству 5), получаем требуемое равенство:

7) Пусть а – действительное число. Тогда a a 0 i и по определению комплексно сопряженного числа a a 0 i a .

8) Пусть z , a . По уже доказанным свойствам 4) и 7): a z a z a z .

9) Пусть z – комплексная переменная и f(z) – многочлен с действительными коэффициентами:

f (z) an zn an 1zn 1 ... a1z ao .

Тогда, используя уже доказанные свойства, получаем:

f (z) an zn ... a1z ao an zn ... a1z ao

an zn ... a1 z ao an (z)n ... a1 z ao f (z) .

Теорема доказана.

Пример. Вычислить (1 i)4 (1 i)4 .

Решение. Обозначим 1 i z . Тогда

§5 Понятие корня натуральной степени из комплексного числа

Определение. Пусть n – произвольное натуральное число. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется ком-

плексное число , такое, что n z . 37

Позже будет доказана следующая теорема, которую мы пока примем без доказательства.

Теорема. Существует ровно n корней n-й степени из комплексного числа, отличного от нуля.

Замечание. Для обозначения корней n-й степени из комплексного числа применяют обычный знак радикала. Но есть одно существенное отличие. Если а – положительное действи-

тельное число, то n a по определению обозначает положитель-

ный корень n-й степени, его называют арифметическим корнем. Если n – нечетное число, то существует единственный корень n-й степени из любого действительного числа а. При a 0

этот единственный корень n a является по определению ариф-

метическим, при a 0 этот единственный корень n a не является арифметическим, но может быть выражен через арифметический корень из противоположного числа: n a n a , где n a является арифметическим, так как a 0 .

Если n – четное число, то существует ровно два действительных корня n-й степени из положительного числа и они являются противоположными числами, поэтому один из них по-

ложительный, его и обозначают n a и называют его арифметическим, а второй будет отрицательным, противоположным арифметическому и его обозначают n a .

В любом случае, знак n a обозначает (при условии, что это

выражение имеет смысл) только одно число, один корень.

В случае же, если z – комплексное число, то выражение

n z , где n , всегда имеет смысл и обозначает все множество корней n-й степени из комплексного числа z.

Обозначение:

n z { o , 1 , ..., n 1} ,

где o , 1 , ..., n 1 – все n корней n-й степени из комплексного

38

В частности, при n 2 существуют ровно два корня из комплексного числа z и легко видеть, что, если – квадратный ко-

рень из комплексного числа z, то 2 ( )2 z , то есть оба корня и являются противоположными комплексными числами, поэтому вместо записи z { , } пишут:

z .

Заметим, что если z 0 , то . Действительно, допус-

тив противное, мы бы имели равенство

2 0 0 2 z 0 ,

то есть получили бы противоречие предположению, что z 0 .

§6 Извлечение квадратного корня из комплексного числа

В дальнейшем нам понадобится одна числовая функция:x , положим по определению

где квадратные корни в скобках являются арифметическими квадратными корнями из положительных чисел.

Доказательство. Как мы уже выяснили существует ровно два квадратных корня из комплексного числа, причем они являются противоположными числами.

Пусть

z ,

где x yi . Тогда

39

2 z или (x yi)2 a bi или (x2 y2 ) 2xy i a bi .

Воспользуемся условиями равенства двух комплексных чисел. Получаем:

Возведем в квадрат каждое уравнение этой системы:

рень из положительного действительного числа. Далее, если полученная система имеет решение, то по обратной теореме Виета

x2 и y2 являются корнями квадратного уравнения

a2 b2 a . 2

Оба корня квадратного уравнения оказываются положительными, так как, очевидно, a2 b2 | a | . При выборе корней учитываем, что x2 y2 a . Отсюда следует:

40