все для алгема / UP_AG_ch2_Glava_20-25_s7-89

Головизин В.В. Алгебра и геометрия. Учебное пособие, часть 2. Ижевск, УдГУ, 2011

Часть II Линейная алгебра

Глава 20. Алгебра матриц §1 Основные определения

Пусть – поле. Элементы поля мы будем называть скалярами. Под полем можно понимать или поле действительных чисел или поле комплексных чисел .

Определение. Матрицей размера m n над полем называется таблица элементов поля , имеющую m строк и n столбцов.

Определение. Скаляры aij называются элементами матрицы, где i – номер строки, в которой находится элемент aij , j – номер столбца.

Определение. Матрица размеров n 1 называется столбцом высоты n:

Определение. Матрица размеров 1 n называется строкой длины n: (a1 ,a2 ,...,an ) .

Определение. Матрица размеров n n называется квадратной матрицей n-го порядка.

Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

В квадратной матрице выделяют две диагонали, как диагонали квадрата: главную диагональ и побочную диагональ. Главную диагональ образуют элементы

7

Головизин В.В. Алгебра и геометрия. Учебное пособие, часть 2. Ижевск, УдГУ, 2011

a11 ,a22 ,...,ann ,

то есть элементы с одинаковыми нижними индексами. Побочную диагональ образуют элементы

a1n ,a2,n 1 ,...,an1 .

Определение. Квадратная матрица, в которой все элементы вне главной диагонали равны 0, называется диагональной:

Определение. Матрица At размера n m называется транспонированной по отношению к матрице А размера m n , если к-й столбец матрицы

At состоит из элементов к-й строки матрицы А, для всех k 1,2,...,m .

Определение. Процесс (процедура) получения транспонированной матрицы из данной называется транспонированием матрицы.

если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны, то есть для всех значений индексов i, j выполняется равенство aij bij .

Головизин В.В. Алгебра и геометрия. Учебное пособие, часть 2. Ижевск, УдГУ, 2011

Обозначение: C A B .

Другими словами, для того, чтобы найти сумму двух матриц одинаковой размерности, нужно сложить соответствующие элементы (то есть элементы, имеющие одинаковые нижние индексы) этих матриц. Сложение матриц различных размеров не определено. (Их нельзя складывать!)

Замечание. Очевидно, что для множества всех матриц одинаковых размеров m n нулевая матрица такого же размера является нейтральным (нулевым) элементом относительно их сложения.

Определение. Матрица В называется противоположной матрице А, если

она удовлетворяет равенству

A B B A 0 ,

где 0 – нулевая матрица.

Обозначение: A .

Множество всех матриц размера m n над полем обозначим через

Mm,n ( ) Mm,n .

Теорема. (Свойства сложения матриц.) Сложение матриц подчиняется следующим законам:

1) ассоциативность:

A,B,C Mm,n : (A B) C A (B C) ;

2)существование нулевой матрицы:

существует нулевая матрица O Mm,n , такая, что A Mm,n верны равенства

9

Головизин В.В. Алгебра и геометрия. Учебное пособие, часть 2. Ижевск, УдГУ, 2011

O A A O A ; 3) существование противоположной матрицы:

A Mm,n , ( A) Mm,n : ( A) A A ( A) O ; 4) коммутативность:

A,B Mm,n : A B B A .

Доказательство предоставляется читателю.

§3 Умножение матрицы на скаляр

Определение. Произведением скаляра на матрицу A (aij ) называется матрица B (bij ) тех же размеров, что и матрица А, где элементы bij определяются равенством bij aij , для всех значений индексов.

Обозначение: B A .

Другими словами, для того, чтобы умножить матрицу на скаляр, нужно каждый элемент матрицы умножить на данный скаляр.

Замечание. Легко видеть, что умножив матрицу на (–1) мы получаем противоположную матрицу:

A ( 1) A .

Теорема. (Свойства умножения матрицы на скаляр.) Умножение матрицы на скаляр подчиняется законам:

1) ассоциативность: x, y , A Mm,n , (xy)A x(yA) ;

2)если 1 – единица поля , тогда A Mm,n , 1 A A ;

3)дистрибутивность умножения относительно сложения скаляров:

x, y , A Mm,n : (x y)A xA yA ;

4) Дистрибутивность умножения относительно сложения матриц:

x , A,B Mm,n : x(A B) xA xB .

10

Головизин В.В. Алгебра и геометрия. Учебное пособие, часть 2. Ижевск, УдГУ, 2011

Доказательство предоставляется читателю.

Следствие. Множество Mm,n относительно сложения матриц и умножения матриц на скаляр является линейным пространством над полем .

Обозначим через n множество всех столбцов высоты n с элементами из поля .

Следствие. Множество n является линейным пространством над полем .

Определение. Линейное пространство n называется арифметическим линейным пространством столбцов высоты n.

§4 Умножение матриц

Определение. Произведением строки длины n на столбец высоты n называется скаляр, равный сумме произведений соответствующих элементов

Замечание. Из определения следует, что для умножения строки на столбец необходимо, чтобы длина строки была равна высоте столбца. В противном случае произведение строки на столбец не определено.

1

Пример. (1, 2, 3, 4) 6 1 ( 1) 2 6 3 ( 2) 4 5 25 .

25

Определение. Произведением матрицы A (aij ) размера m n на матрицу B (bij ) размера n p называют матрицу C (cij ) размера m p , где элемент cij является результатом произведения i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы Вдля всех значений индексов i 1,2,...,m , j 1,2,...,p , тоесть

11

Головизин В.В. Алгебра и геометрия. Учебное пособие, часть 2. Ижевск, УдГУ, 2011

n

ai k bk j . k 1

Обозначение: C A B .

Другими словами, чтобы умножить две матрицы, нужно каждую строку первой матрицы умножить на каждый столбец второй матрицы. Умножая первую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы мы получим все элементы первой строки матрицы произведения, затем делаем то же самое для второй строки первой матрицы, и так далее . . .

Замечание. Из определения следует, что умножение матриц возможно тогда и только тогда, когда ширина первой матрицы (то есть число ее столбцов) равна высоте второй (то есть числу ее строк).

Определение. Квадратная матрица Е n-го порядка называется единичной матрицей n-го порядка, если для любой квадратной матрицы А n–го порядка справедливо равенство:

AE EA A .

Множество всех квадратных матриц n-го порядка будем обозначать через

Mn ( ) Mn .

Теорема. Множество Mn содержит единичную матрицу n-го порядка, которой является матрица

12

Головизин В.В. Алгебра и геометрия. Учебное пособие, часть 2. Ижевск, УдГУ, 2011

.... ... ... ...

0 0 ... 1

Доказательство предоставляется читателю.

Теорема. Матрица Е является единственной единичной матрицей в множестве Mn .

Доказательство. Пусть E Mn еще одна единичная матрица. Тогда, по

определению единичной матрицы

E EE E .

Первое равенство верно, так как E является единичной матрицей, а второе равенство верно в силу того, что матрица Е является единичной.

Теорема доказана.

Заметим, что точно также доказывается единственность нейтрального элемента (при условии его существования) в любой алгебраической структуре (смотрите главу 1, §5).

Теорема. (Свойства умножения матриц.) Умножение матриц подчиняется следующим законам:

1) ассоциативность: A,B,C Mn ,

(AB)C A(BC) ;

2) существование единичной матрицы: E Mn : A Mn , E A A E A ;

3)дистрибутивность умножения матриц относительно их сложения:

A,B,C Mn : A(B C) AB AC, (A B)C AC BC ;

4)умножение матриц связано с умножением матрицы на число естественным законом: x , A,B Mn ,

(xA)B A(xB) x(AB) .

Замечание. Для квадратных матриц одного и того же порядка выполняются все 12 свойств сложения матриц, их умножения и умножения на скаляр. Это говорит о том, что множество всех квадратных матриц одного и того же порядка образует алгебраическую структуру с тремя операциями, которая называется алгеброй матриц над полем .

13

Головизин В.В. Алгебра и геометрия. Учебное пособие, часть 2. Ижевск, УдГУ, 2011

Заметим также, что умножение матриц не обладает свойством коммутативности. Для доказательства достаточно привести один контрпример.

Аналогичные примеры можно привести для квадратных матриц любого порядка.

Определение. Натуральной степенью квадратной матрицы А называется матрица

An A A ... A .

n штук

Нулевую степень квадратной матрицы А n-го порядка по определению полагают равной единичной матрице того же порядка:

Ao E .

§5 Обратная матрица Определение. Матрица В называется обратной по отношению к матрице

А, если

AB BA E .

Из определения следует, что если матрица А имеет обратную, то обе они должны быть квадратными матрицами одного порядка. Из определения следует также, что если матрица В является обратной по отношению к матрице А, то и матрица А является обратной по отношению к матрице А.

Определение. Матрицаимеющаяобратнуюматрицуназываетсяобратимой.

Теорема. Если квадратная матрица обратимая, то она имеет единственную обратную ей матрицу.

Доказательство. Пусть В и С – две матрицы обратные к матрице А. Тогда

AB BA E, CA AC E .

Используя эти равенства, и закон ассоциативности умножения, получаем: B BE B(AC) (BA)C EC C .

Теорема доказана.

Заметим, что точно также доказывается единственность симметричного элемента в любой алгебраической структуре с ассоциативной операцией, при условии его существования (смотрите главу 1, §5).

14

Головизин В.В. Алгебра и геометрия. Учебное пособие, часть 2. Ижевск, УдГУ, 2011

Обозначение: A 1 – матрица обратная матрице А.

Множество всех обратимых матриц n-го порядка над полем обозначается через

GLn ( ) GLn .

Теорема. (Свойства обратимых матриц.)

1)Произведение обратимых матриц одного и того же порядка является обратимой матрицей: A,B GLn ,

1)Единичная матрица является обратимой, то есть, если Е – единичная матрица n-го порядка, то

2)Если А обратимая, то и A 1 также является обратимой, то есть, если

A GLn , то

A 1 GLn и (A 1 ) 1 A .

Доказательство. 1) Пусть А и В – обратимые матрицы и A 1 , B 1 – обратные к ним. Покажем, что произведение B 1A 1 является матрицей обратной к произведению AB :

(AB)(B 1A 1 ) A(BB 1 )A 1 AEA 1 AA 1 E .

Аналогично получаем (B 1A 1 )(AB) E . Следовательно, матрица АВ имеет обратную и (AB) 1 B 1A 1 . Отсюда следует, что матрица АВ является обратимой, то есть AB GLn , ч.т.д.

2) Так как EE E , то по определению, E 1 E , то есть единичная матрица имеет обратную и, следовательно, единичная матрица является обратимой, и E GLn .

3) Действительно, из определения следует, что матрица А является обратной по отношению к матрице A 1 , следовательно, матрица A 1 обратимая и A 1 GLn . Более того, в силу единственности обратной матрицы сле-

дует, что

(A 1 ) 1 A .

Теорема доказана.

15

Головизин В.В. Алгебра и геометрия. Учебное пособие, часть 2. Ижевск, УдГУ, 2011

Определение. Обратимая квадратная матрица называется также неособой или невырожденной. Если квадратная матрица не имеет обратной, то она называется особой или вырожденной.

Замечание. Легко доказать существование особых матриц. Например, матрица

является особой (вырожденной, необратимой).

Действительно, если бы она была обратимой, то существовала бы обратная к ней A 1 и AA 1 A 1A E . Пусть далее,

Легко видеть, что BA O , и отсюда получаем

(BA)A 1 O A 1 O .

С другой стороны,

(BA)A 1 B(AA 1 ) BE B .

Отсюда следует, что B O , то есть получаем противоречие.

Аналогично, легко показать существование особых матриц любого порядка. Отсюда следует вывод, что не все квадратные матрицы являются обратимыми.

В дальнейшем, мы найдем необходимое и достаточное условие обратимости квадратной матрицы любого порядка и не только докажем существование обратимых матриц, отличных от единичной матрицы, но и выведем формулу для ее вычисления.

Глава 21. Определители

§1 Перестановки

Пусть М – множество из n элементов: M {1,2,...,n} .

Определение. Перестановкой конечного множества называется любой упорядоченный набор из всех его элементов без пропусков и повторений.

Пример. Упорядоченные наборы: (1, 2, 3, 4, 5), (5, 2, 1, 4, 3), (2, 5, 4, 1, 3)

являются перестановками множества M {1,2,3,4,5} , а наборы (3, 2, 1, 5), (3, 2, 1, 4, 3), (3, 2, 6, 4, 5) не являются перестановками множества М.

16

Головизин В.В. Алгебра и геометрия. Учебное пособие, часть 2. Ижевск, УдГУ, 2011

Определение. Перестановка (1,2,...,n) называется начальной перестановкой множества M {1,2,...,n} .

Теорема. (О количестве перестановок.) Существует ровно n! перестановок множества из n элементов.

Доказательство. Доказательство проведём методом математической индукции.

1) База индукции. Пусть n 1 , то есть M {1} . Очевидно, что существует единственная перестановка множества из одного элемента: (1).

2)Индукционная гипотеза. Пусть существует ровно (n 1)! перестановок множества из (n 1) -го элемента: A {1,2,...,n 1}.

3)Индукционный переход. Добавим к каждой перестановке множества А еще один элемент: n. Этот элемент можно поставить на 1-е место или на 2-е … или на n-е место. Добавляя к каждой перестановке множества А элемент n на k-е

место мы получаем, в соответствии с индукционным предположением, (n 1)! перестановок уже множества М. Проделав это n раз при k 1, 2, ..., n

мы получим всего n! перестановок множества М. Теорема доказана.

Определение. Говорят, что пара чисел (i, j) образуют в перестановке инверсию, если i j , и число i находится в перестановке левее числа j.

Пример. В перестановке (2, 5, 4, 1, 3) инверсию образуют пары чисел: (2, 1), (5, 4), (5, 1), (5, 3), (4, 1) и (4, 3).

Произвольную перестановку из n элементов будем обозначать (i1,i2 ,...,in ) . Здесь каждое число перестановки обозначается буквой с нижним индексом. Индекс показывает, в каком месте перестановки стоит данное число. Например, число i3 , стоит в перестановке третьим по счету.

Через (i1,i2 ,...,in ) будем обозначать число (количество) всех инверсий в перестановке (i1,i2 ,...,in ) . Так, например, (2,5,4,1,3) 6 .

Определение. Перестановка называется четной, если число ее инверсий четно, и нечетной в противном случае.

Пример. Так как (2,5,4,1,3) 6 , то соответствующая перестановка (2,5,4,1,3) является четной, а перестановка (2,5,4,3,1) – нечетная, так как

(2,5,4,3,1) 7 .

17

Головизин В.В. Алгебра и геометрия. Учебное пособие, часть 2. Ижевск, УдГУ, 2011

Определение. Транспозицией называется действие, заключающееся в том, что в перестановке два каких-либо числа меняют местами друг с другом.

Обозначение: (... i ... j ...) (i j) (... j ... i ...) .

(15)

Пример. (1, 2, 3, 4, 5) (5, 2, 3, 4, 1) .

Теорема. Любая транспозиция соседних элементов перестановки меняет четность перестановки на противоположную.

Доказательство. Пусть дана перестановка (... i, j ...) , в которой мы выполним транспозицию (i j) и получим перестановку (... j,i ...) . Сразу заме-

тим, что все пары, которые образовывали инверсию в старой перестановке, образуют инверсию и в новой, кроме возможно одной пары: (i, j). Если эта пара давала инверсию в старой перестановке, то в новой уже нет и число инверсий уменьшается на 1. Если же эта пара не образовывала инверсию в старой перестановке, то в новой образует инверсию и число инверсий увеличивается на 1. В любом случае, число инверсий изменяется на 1, а следовательно, меняется четность перестановки.

Теорема доказана.

Теорема. Любая транспозиция любых двух элементов перестановки меняет четность перестановки на противоположную.

Доказательство. Пусть выполняется транспозицию (i j) и пусть между элементами i и j находится m других элементов. Легко видеть, что такую транспозицию можно выполнить за 2m 1 транспозицию соседних элементов, откуда и следует теорема.

Теорема доказана.

Теорема. Любую перестановку можно получить из начальной перестановки (или привести к начальной перестановке) последовательным выполнением конечного числа транспозиций, причем это количество транспозиций есть число четное, если данная перестановка четна, и нечетное в противном случае.

Доказательство. Очевидно (смотрите следующий пример).

Головизин В.В. Алгебра и геометрия. Учебное пособие, часть 2. Ижевск, УдГУ, 2011

(3 4) (1, 2, 3, 5, 4) (4 5) (1, 2, 3, 4, 5) .

Здесь, перестановка {2,5,4,1,3} приведена к начальной за 4 транспози-

ции, каждая из которых меняла четность перестановки на противоположную. Очевидно, что начальная перестановка является четной, так как(1,2,3,4,5) 0 , следовательно, исходная перестановка {2,5,4,1,3} также

должна быть четной.

Замечание. Понятно, что любую перестановку можно привести к начальной и обратно с помощью тех же самых транспозиций, выполненных в обратном порядке.

Теорема. Количество четных перестановок множества из n элементов равно количеству нечетных и равно n!2 .

Доказательство. Каждая перестановка либо четная, либо нечетная. Поэтому общее количество четных перестановок неизменно. Так же и количество нечетных перестановок есть число фиксированное. Во всех перестановках выполним одну и ту же транспозицию, например, (1 2). Все четные перестановки станут нечетными и наоборот, все нечетные станут четными. Следовательно, четных и нечетных перестановок одинаковое количество.

Теорема доказана.

§2 Определение определителя n – го порядка

Пусть дана квадратная матрица n – го порядка:

Определение. Произведение n элементов матрицы А, взятых по одному из каждойстроки икаждого столбцаназывается членомопределителяматрицыА.

Обозначение: a1i1 a2i2 ... anin .

Здесь первый индекс обозначает номер строки, из которой взят элемент, второй индекс ik , который, в свою очередь, имеет нижний индекс

19

Головизин В.В. Алгебра и геометрия. Учебное пособие, часть 2. Ижевск, УдГУ, 2011

k 1,2,...,n , обозначает номер столбца, из которой взят элемент и набор вторых индексов образует перестановку {i1,i2 ,...,in } множества M {1,2,...,n} . Так как число всех перестановок элементов этого множества

равно n!, то существует ровно n! членов определителя.

Каждый член определителя снабдим знаком плюс или минус, в зависимости от четности или нечетности перестановки вторых индексов. Это мож-

но сделать с помощью множителя ( 1) (i1,i2 ,...,in ) , который равен 1, если перестановка {i1,i2 ,...,in } четная и тогда число инверсий (i1,i2 ,...,in ) есть четное число и равен –1, если перестановка {i1,i2 ,...,in } нечетная и тогда число инверсий (i1,i2 ,...,in ) есть нечетное число.

Определение. Определителем (детерминантом) n-го порядка или определителем (детерминантом) квадратной матрицы n-го порядка называется алгебраическая сумма всех членов определителя данной матрицы, взятых со своими знаками.

где суммирование ведется по всем перестановкам столбцов.

Замечание. Последняя формула определяет отображение из множества всех квадратных матриц n-го порядка над полем в поле . Это отображение также называется определителем или детерминантом и обозначается

det : Mn ( ) .

Пример. Вычислить определители 2-го и 3-го порядков:

Решение. 1) Определитель 2-го порядка содержит два члена определителя ( n 2 , n! 2! 2 ): a11a22 и a12a21 . Перестановки номеров строк образуют начальную перестановку множества из двух элементов: (1,2). Перестановка номеров столбцов в первом члене определителя также начальная, то

20

Головизин В.В. Алгебра и геометрия. Учебное пособие, часть 2. Ижевск, УдГУ, 2011

есть четная, и поэтому первый член определителя a11a22 имеет знак плюс.

Перестановка номеров столбцов во втором члене определителя (2,1) нечетная, так как она содержит одну инверсию и (2,1) 1. Отсюда следует, что

второй член определителя a12a21 имеет знак минус.

Таким образом, по определению, получаем правило вычисления определителя 2-го порядка:

2) Выпишем все члены определителя 3-го порядка, их ровно 6 штук ( n 3 , n! 3! 6 ). Для этого, выпишем сначала все перестановки множества из 3 элементов:

(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)

и определим их четность:

(1,2,3) 0 , (1,3,2) 1, (2,1,3) 1, (2,3,1) 2 , (3,1,2) 2 , (3,2,1) 3 .

Выписываем члены определителя, причем первые индексы (номера строк) образуют начальную перестановку, а вторые индексы (номера столбцов) образуют перестановку, одну из 6 приведенных выше:

a11 a22 a33 , a11 a23 a32 , a12 a21 a33 , a12 a23 a31 , a13 a21 a32 , a13 a22 a31 .

Теперь мы можем записать определитель, как алгебраическую сумму всех членов определителей, взятых со знаком плюс, если вторые индексы сомножителей, входящих в член определителя, образуют четную перестановку, и со знаком минус в противном случае:

a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33 .

§3 Свойства определителей Теорема. (Правило знаков.)

det A ( 1)m ai1 j1 ai2 j2 ... ain jn ,

n!

где m (i1, i2 , ... , in ) (j1, j2 , ..., jn ) и суммирование происходит по всем членам определителя.

Доказательство. Для того, чтобы вычислить знак члена определителя ai1j1 ai2 j2 ...ain jn нужно упорядочить сомножители так, чтобы индексы строк

21

Головизин В.В. Алгебра и геометрия. Учебное пособие, часть 2. Ижевск, УдГУ, 2011

образовали начальную перестановку (1,2,…,n). Этого можно добиться транспозицией сомножителей. Допустим, что нам потребовалось для этого t транспозиций и мы получили член определителя в виде a1k1 a2k2 ...an kn и, по

определению, его знак равен ( 1) (k1,k2 ,...,kn ) .

С другой стороны, первоначальные перестановки строк и столбцов претерпели изменения:

(i1, i2 , ..., in ) (1, 2, ..., n) , (j1, j2 , ..., jn ) (k1,k2 , ..., kn ) .

Так как этот переход произошел за t транспозиций, то четность перестановки строк не изменится, если t четное число и изменится на противоположное, если t нечетное число. Это можно отобразить формулой:

( 1) (i1, i2 , ..., in ) ( 1) (1, 2, ..., n) t ( 1)t .

Аналогично и для перестановки столбцов

( 1) ( j1,j2 , ..., jn ) ( 1) (k1, k2 , ..., kn ) t .

Отсюда следует, что

( 1) (i1, i2 , ..., in ) (j1,j2 ,...,jn ) ( 1)2t ( 1) (k1,k2 ,...,kn )( 1) (k1,k2 ,...,kn ) .

Теорема доказана.

Теорема. (Определитель транспонированной матрицы.) Определитель квадратной матрицы не меняется при транспонировании:

det A det At .

Доказательство. Пусть

– произвольный член определителя матрицы А и

( 1)m ( 1) (i1,i2 ,...,in ) ( j1,j2 ,...,jn )

– его знак. При транспонировании матрицы элемент aij переходит на место элемента a ji , то есть номер строки меняется местом с номером столбца, поэтому произведение (1) после транспонирования остается членом определителя транспонированной матрицы At и он в алгебраической сумме для оп-

ределителя матрицы At принимает вид

a j1i1 a j2i2 ...a jnin

и его знак, как это следует из его формулы, остается прежним. Таким образом, при транспонировании матрицы А, каждый член определителя матрицы

А переходит в член определителя матрицы At , причем с тем же самым знаком, откуда и следует доказываемое равенство. Теорема доказана.

22

Головизин В.В. Алгебра и геометрия. Учебное пособие, часть 2. Ижевск, УдГУ, 2011

Замечание. Последняя теорема устанавливает равноправие строк и столбцов определителя, то есть любое свойство определителя, которое верно для его строк остается верным и для его столбцов и наоборот.

Действительно, если какое-то свойство верно для строк любого опреде-

лителя, то оно верно и для строк матрицы А и для строк матрицы At , которые являются столбцами матрицы А, то есть это свойство верно и для столбцов любого определителя.

– квадратная матрица n-го порядка. Обозначим через

– k-й столбец матрицы А, k 1,..., n . Определитель матрицы А будем также обозначать через

det A det(A1,A2 ,...,An ) .

В такой форме записи определитель можно рассматривать как функцию от n переменных

f (X1,X2 ,...,Xn ) det(A1,A2 ,...,An ) ,

где переменные определены намножестве n – множестве столбцов высотыn.

Определение. Функция от n переменных f (x1,x2 ,..., xn ) называется линейной по k-му аргументу, если выполняются следующие два свойства:

1)для любых значений k-й переменной xk , xk , взятых из области определения k-й переменной верно равенство

f (x1,...,xk xk ,...,xn ) f (x1,..., xk ,..., xn ) f (x1,..., xk ,..., xn ) ;

2)для любого скаляра и для любого значения k-й переменной xk , взятого из области определения k-й переменной верно равенство

f (x1,..., xk ,..., xn ) f (x1,..., xk ,..., xn ) .

Определение. Функция от нескольких переменных, которая линейна по каждому своему переменному, называется полилинейной.

23

Головизин В.В. Алгебра и геометрия. Учебное пособие, часть 2. Ижевск, УдГУ, 2011

Теорема. (Свойство линейности определителя.) Определитель квадратной матрицы над полем является полилинейной функцией своих столбцов, то есть k 1,..., n :

1)det(...,Ak Ak ,...) det(...,Ak ,...) det(...,Ak ,...) ;

2), det(..., Ak ,...) det(...,Ak ,...) .

Доказательство. Пусть, для удобства записи, k 1 , и

( j1,j2 ,..., jn )

Головизин В.В. Алгебра и геометрия. Учебное пособие, часть 2. Ижевск, УдГУ, 2011

Аналогично доказывается второе равенство. Теорема доказана.

Определение. Два столбца определителя называются пропорциональными, если один из них можно получить из другого умножением на ненулевой скаляр:

Аналогично определяется понятие пропорциональных строк.

Определение. Пусть A1 ,A2 ,...,An – столбцы определителя (матрицы). Линейной комбинацией столбцов называется выражение

k1A1 k2 A2 ... kn An ,

где k1 ,k2 ,...,kn – произвольные скаляры.

Аналогично определяется понятие пропорциональных строк и понятие линейной комбинации строк.

Теорема. (Свойства определителя.)

1)Определитель, имеющий нулевой столбец (нулевую строку) равен нулю.

2)Определитель меняет знак при любой транспозиции его столбцов (строк).

3)Определитель, имеющий два равных столбца (две равные строки), равен нулю.

4)Определитель, имеющий два пропорциональных столбца (строки), равен нулю.

5)Определитель не меняет своего значения, если к какому-либо его столбцу (строке) прибавить любую линейную комбинацию других его столбцов (строк).

Доказательство. В силу равноправности строк и столбцов любое свойство достаточно доказать или для строк или для столбцов.

1) Пусть определитель имеет нулевой столбец. Каждый член определителя имеет точно один множитель из нулевого столбца и поэтому равен нулю. Следовательно, и определитель равен нулю.

25

Головизин В.В. Алгебра и геометрия. Учебное пособие, часть 2. Ижевск, УдГУ, 2011

2) Докажем это свойство для строк. Пусть в определителе

переставили местами i-ю и k-ю строки:

где

m (1,...,i 1,k,i 1,...,k 1,i,k 1,...,n) (j1 , j2 ,..., jn ) .

Мы видим, что в начальной перестановке строк

(1, …, i-1, i, i+1, …, k-1, k, k+1, …, n)

произошла транспозиция (i k):

(1, …, i-1, k, i+1, …, k-1, i, k+1, …, n).

Первоначальная перестановка является четной, а после транспозиции (i k) перестановка получается нечетной. Следовательно,

( 1)m ( 1) ( j1 , j2 ,..., jn ) .

Таким образом, при такой перестановке строк каждый член определителя меняет свой знак на противоположный, откуда и следует это утверждение теоремы.

3) Пусть определитель имеет два равных строки.

Переставим их друг с другом. С одной стороны, определитель изменил свой знак на противоположный, а с другой стороны матрица осталась прежней, в силу равенства переставляемых строк, откуда следует, что

det A det A .

Если в поле верно неравенство 1 1 0 , то есть характеристика поля не

26