golovizin_lekcii_po_lineynoy_algebre_2_semestr / Лекция 26. Линейные отображения

Тогда справедлива следующая формула:

. (11)

Доказательство. Пусть – произвольный вектор векторного пространства V, – его образ. Обозначим:

– столбцы координат вектора х относительно базисов и пространства V соответственно, – столбцы координат вектора у относительно базисов и пространства W соответственно. Тогда по теореме п.5:

, .

Координаты вектора в старом и новом базисах связаны соотношениями:

, .

Откуда получаем:

.

Сравнивая с равенством , получаем:

.

В силу произвольности вектора х столбец его координат может быть любым. Отсюда, в силу доказанной ранее леммы, следует равенство (11).

Теорема доказана.

Следствие. Пусть – векторное пространство над полем К, , – два базиса пространства , С – матрица перехода от базиса к базису , А – матрица линейного оператора , относительно базиса , – матрица этого же линейного оператора относительно базиса .

Тогда справедлива следующая формула:

.

Доказательство следует из только что доказанной теоремы. Полагаем , ,

базисы:

, ,

тогда матрицы перехода С и D от старого базиса к новому равны: . Подставляя в (11) получаем доказываемое равенство.

Теорема доказана.