Вопрос 12.Обратная матрица

Обра́тная ма́трица — такая матрицаA⁻¹, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицуE:

Квадратная матрицаобратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть еёопределительне равен нулю. Для неквадратных матриц ивырожденных матрицобратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввестипсевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Свойства обратной матрицы

• , где обозначаетопределитель.

• для любых двух обратимых матриц и.

• где обозначает транспонированную матрицу.

• для любого коэффициента .

• Если необходимо решить систему линейных уравнений, (b — ненулевой вектор) где— искомый вектор, и еслисуществует, то. В противном случае либо размерностьпространстварешений больше нуля, либо их нет вовсе.

Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:

Метод Гаусса—Жордана

Возьмём две матрицы: саму A и единичнуюE. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равнойA⁻¹.

При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц (трансвекциюилидиагональную матрицус единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):

.

.

Вторая матрица после применения всех операций станет равна , то есть будет искомой. Сложность алгоритма —.

С помощью матрицы алгебраических дополнений 

—транспонированная матрица алгебраических дополнений;

Полученная матрица A⁻¹ и будет обратной. Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя O_det и равна O(n²)·O_det.

Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определительисходной матрицы и умноженной натранспонированную матрицуалгебраических дополненийэлементов исходной матрицы.

Выбор начального приближения 

Проблема выбора начального приближения в рассматриваемых здесь процессах итерационного обращения матриц не позволяет относиться к ним как к самостоятельным универсальным методам, конкурирующими с прямыми методами обращения, основанными, например, на LU-разложении матриц. Имеются некоторые рекомендации по выбору, обеспечивающие выполнение условия(спектральный радиус матрицы меньше единицы), являющегося необходимым и достаточным для сходимости процесса. Однако при этом, во-первых, требуется знать сверху оценку спектра обращаемой матрицы A либо матрицы(а именно, если A — симметричная положительно определённая матрица и, то можно взять, где; если же A — произвольная невырожденная матрица и, то полагают, где также; можно конечно упростить ситуацию и, воспользовавшись тем, что, положить). Во-вторых, при таком задании начальной матрицы нет гарантии, чтобудет малой (возможно, даже окажется), и высокий порядок скорости сходимости обнаружится далеко не сразу.

Примеры 

Матрица 2х2 

Обращение матрицы 2х2 возможно только при условии, что .

вопрос 13Кривые второго порядка. К кривым второго порядка относятся эллипс, гипербола и парабола. Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат. В общем случае Ах² + 2Вху +Су² + 2Дх + 2Еу +F = 0, где А, В, С, Д, Е, F – действительные числа и по крайней мере одно из чисел А²+В²+С²≠0.

Эллипс.Эллипсом называется геометрическое место точек в плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости называется фокусами  (постоянная величина).

Каноническое уравнение эллипса:

 

 Х и у принадлежат эллипсу. а – большая полуось эллипса. b – малая полуось эллипса

У эллипса 2 оси симметрии ОХ и ОУ. Оси симметрии эллипса – его оси, точка их пересечения – центр эллипса. Та ось на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. Точка пересечения эллипса с осями – вершина эллипса. Коэффициент сжатия (растяжения): ε = с/а – эксцентриситет (характеризует форму эллипса), чем он меньше, тем меньше вытянут эллипс вдоль фокальной оси.

Если центры эллипса находятся не в центре С(α, β)

 Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек в плоскости, абсолютная величина разности расстояний, каждое из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами есть величина постоянная , отличная от ноля.

Каноническое уравнение гиперболы

 Гипербола имеет 2 оси симметрии: а – действительная полуось симметрии ,b – мнимая полуось симметрии

Ассимптоты гиперболы:

Парабола. Параболой называется геометрическое место точек в плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение параболы: У²=2рх, где р – расстояние от фокуса до директрисы (параметр параболы)

Если вершина параболы С (α, β), то уравнение параболы (у-β)²=2р(х-α) Вопрос 14.Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых.

Взаимное расположение прямых.

Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:

– прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;

– прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;

– прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;

– прямые совпадают.

Получим признаки этих случаев взаимного расположения прямых, заданных каноническими уравнениями:

где — точки, принадлежащие прямым и соответственно, a — направляющие векторы (рис.4.34). Обозначим через  вектор, соединяющий заданные точки.

Расстояние между параллельными прямыми.

Найдем расстояние между параллельными прямыми, заданными каноническими уравнениями (рис.4.35)

где — произвольные точки на прямых и соответственно, а координаты направляющих векторов прямых пропорциональны: 

Искомое расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на векторахи , и может быть найдено по формуле (4.35).

Напомним, что расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра, т.е. кратчайшее расстояние между точками этих прямых.