Вопрос 29:Понятие экстремума функции

Рассмотрим график непрерывной функции y = f(x), изображенной на рисунке №1. Значение функции в точке x₁ будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x₁. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x₁ максимум. В другой точке x₃ функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x₂, то в ней значение функции меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x₂минимум.

Определения

Точки, в которых функция достигает максимума или минимума, называются точками экстремума функции.

Точки максимума функции обозначаются: x_max,1, x_max,2, x_max,3 и так далее. Точки минимума функции обозначаются: x_min,1, x_min,2,x_min,3 и так далее.

Обратим внимание на то, что функция может достигать нескольких максимумов и минимумов. Отметим, что если функция имеет в точке максимум (минимум), то это не означает, что в этой точке функция имеет наибольшее (наименьшее) значение во всей области определения.

Значения функции в точках максимума или минимума функции называются экстремумами функции

Экстремумы функции обозначаются: y_min,1, y_min,2, y_min,3, ...,y_max,1, y_max,2, y_max,3 и так далее.

Функция y = f(x) в точке x₀ имеет максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x₀, т.е. если существует такая окрестность точки x₀, что для всех x ≠ x₀, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) < f(x₀).

Функция y = f(x) имеет минимум в точке x₀, если существует такая окрестность точки x₀, что для всех x ≠ x₀, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) > f(x₀).

                   Алгоритм нахождения экстремумов функции

На основании теоремы о достаточных условиях экстремума функции сформулируем алгоритм нахождения экстремумов функции.

Пусть имеется непрерывная функция y = f(x), которую необходимо исследовать на предмет наличия экстремумов. Для этого следует выполнить последовательность действий:

1. Найти производную f '(x) заданной функции.

2. Найти критические точки. Для этого необходимо исследовать, в каких точках производная функции f '(x) не существует, и найти нули производной функции, т. е. решить уравнение f '(x) = 0.

3. Отметить критические точки на числовой прямой область определения функции y = f(x), после этого на числовой прямой отметить критические точки.

4. Определить знаки производной функции f '(x) на получившихся промежутках.

5. Опираясь на теорему о достаточных условиях экстремума функции, сделать выводы о наличии или отсутствии точек экстремума функции.

Вопрос 30. Выпуклые функции.

Выпуклая функция — функция, у которой надграфик является выпуклым множеством

Вещественнозначная функция, определённая на некотором интервале(в общем случае навыпуклом подмножественекотороговекторного пространства) выпукла, если для любых двух значений аргумента,и для любого числавыполняетсянеравенство Йенсена:

Если это неравенство является строгимдля всехи, то функция называетсястрого выпуклой; если выполняется обратное неравенство, функция называется вогнутой, или выпуклой вверх.

NB! Иногда выпуклая функция определяется как вогнутая и наоборот.

Свойства:

• Функция , выпуклая на интервале,непрерывнана всём,дифференцируемана всёмза исключением не более чемсчётного множестваточек и дважды дифференцируема почти везде.

• Непрерывная функция выпукла натогда и только тогда, когда для всех точеквыполняется неравенство

• Непрерывно дифференцируемая функцияодной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда еёграфиклежит не нижекасательной, проведённой к этому графику в любой точке промежутка выпуклости.

• Дважды дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её вторая производнаянеотрицательна на этом интервале. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции строго положительна, такая функция является строго выпуклой, однако обратное неверно (например, функциястрого выпукла на, но её вторая производная в точкеравна нулю).

• Если функции ,выпуклы, то любая ихлинейная комбинацияс положительными коэффициентами,также выпукла.

• Локальный минимумвыпуклой функции является такжеглобальным минимумом(соответственно, для выпуклых вверх функций локальный максимум является глобальным максимумом).

• Любая стационарная точкавыпуклой функции будет глобальным экстремумом.

• Для выпуклых функций выполняется неравенство Йенсена:

     где —случайная величинасо значениями вобласти определения функции,—математическое ожидание.

Вопрос 31. Понятие функций нескольких переменных. Пусть – множество упорядоченных пар действительных чисел.Определение. Если каждой упорядоченной паре чисел по некоторому законупоставлено в соответствие единственное действительное число, то говорят, что задана функция двух переменныхили. Числаназываются при этом независимыми переменными или аргументами функции, а число– зависимой переменной. Пару чиселиногда называют точкой, а функцию двух переменных – функцией точки. Значение функциив точкеобозначаютилии называют частным значением функции двух переменных. Совокупность всех точек, в которых определена функция, называется областью определения этой функции.

Для функции двух переменных область определения представляет собой всю координатную плоскость или ее часть, ограниченную одной или несколькими линиями.тФункция двух независимых переменных допускает геометрическое истолкование. Каждой точке М0(х₀; у₀) в системе координат Oxyz соответствует точка M(x₀;y₀;z₀), где z₀ = ƒ(х_о;у_о) — аппликата точки М. Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную функцию z=ƒ(x;у). Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана разными способами: таблицей, аналитически, графиком. Будем пользоваться, как правило, аналитическим способом: когда функция задается с помощью формулы.