Вопрос 5. Понятие минора и алгебраического дополнения.

Пусть задан определитель порядка n.

а₁₁ а₁₂ а_1n =d≠0.

а_n1 а_n2 a_nn

целое неотрицательное число к, если 1≤к≤n-1. В определителе d выбираем произвольное количество к-строк и к-столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов составляют матрицу порядка к. определитель этой матрицы будем называть минором порядка к. Если в d удалить n-1 строку и n-1 столбец, то получим минор первого порядка. Если в d удалить 1 строку и 1 столбец, то получим минор порядка n-1.

*Минор порядка к имеет символ М_к. Если в d выделить М_к, то оставшиеся элементы определителя образуют М_n-k. Этот минор будем называть дополнительным минором к минору n-k (М и М’). М и М’ называются взаимно дополнительными.

Пусть М_к расположен в строках i₁,i₂…i_k и в столбцах j₁,j₂…j_k.

Алгебраическим дополнением минора М назовём его дополнительный минор, взятый со знаком + или – в зависимости от того, является ли сумма S_n четной или нечетной. Вот это число = (-1)^sm∙М’.

Теорема: произведение любого минора М_к на его алгебраическое дополнение в определитель является алгебраической суммой, слагаемые которой получаются от умножения членов М, взятых со знаком (-1)^sm члены М’ (дополнит.минора), которые являются членами определителя, причем их знаки в этой сумме совпадают с теми же знаками, с какими они входят в состав определителя.

Доказательство: рассмотрим частный случай, когда М расположен в 1-ых к столбацах и строках определителя: а₁₁ …а_1к а_1к+1 … а_1n

a_k1...а_кк а_кк+1…а_kn

а_(к+1)1…а_(к+1)к а_(к+1)(к+1)...а_(к+1)n

а_n1…a_nk a_nk+1…a_nn

S_M=1+2+…+k+1+2+…+k=2(1+2+…+k)

Отсюда следует, что алгебраическое дополнение для М служит его дополнение М’.

Выберем произвольный член минора М: а_1α1а_2α2…а_кαк (1) данное произведение будет менять знак (-1)^l, где число l – число инверсий в подстановке (2): 1 2 … к

α1α2 …αк

выберем произвольный член М’: a_k+1βk+1 a_k+2βk+2… a_nβn (3). Оно входит в М’ со знаком (-1)^l’, где l’-число инверсий в подстановке (4): к+1 к+2 … n

β_к+1 β_к+2 … β_n.

Перемножим произведение (1) и (3) и получим: а_1β1∙ а_кβк∙ а_к+1βк+1… а_nβn (5). Если перемножить на элементы (5), то они расположены в разных строках и столбцах. Данное произведение является членом определителя. Это произведение будет входить со знаком, который определяется числом инверсий подстановки: 1 2 … к к+1 … n

α₁ α₂ … β_k+1 … β_n (6). С другой стороны, знак (5) в произведении М и М’ будет определяться произведение чисел (-1)^l∙(-1)^l’, где l+l’ – число инверсий в (6), так как никакое α не может составлять ни с каким β инверсий. α<к, а β>к+1.

Общий случай: М расположен в строках i₁,i₂…i_k и в столбцах j₁,j₂…j_k, причем номера строк и столбцов удовлетворяют i₁<i₂<i_k и j₁<j₂<j_k. Преобразуем М следующим образом, переставляя строки и столбцы, переместим М в левый верхний угол. Причем М’ также не должен измениться. Данное преобразование будем делать: строку с номером i₁ и последовательно переставляем со строками i₁-1, i₁-2…до тех пор, пока i₁ не займет первую строчку. Строка i₁ переставилась i₁-1 раз. Заем переставляем i₂ со всеми, что расположены выше до тех пор, пока она не встанет под строкой i₁ i₁-2 раза. Аналогично до i_k. После всех перестановок i_kокажется на к-ом месте. Общее число всех перестановок будет их сумма. И М_к расположиться в первых к строках.

*проделав аналогичные преобразования с полученным определителем переместим М в первые к столбцы. При этом переставлять столбцы будем j₁ переставляем пока он не займет место 1-ого столбца. Аналогично j₂ и j_k до тех пор, пока он не займет место к-ого столбца. Все столбцы снова представляются суммой. После всего получаем определитель, в котором М расположен в верхнем левом углу, т.е. в первых к строчках и столбцах. Так как каждый раз переставлялись соседние строки и столбцы, то взаимное расположение строк и столбцов, содержащих в определители М’ остаются без изменения, а поэтому доп. М в определители остается М’, занимающий первый нижний угол. На основании доказанного случая М*М’ есть сумма некоторого количества членов определителя, взятых с теми же знаками, с какими они входят в начальный определитель. Второй определитель получается из первого с помощью (i₁+i₂+i_k)+( j₁+j₂+j_k)-2(1+2+к)= S_M-2(1+2+к). члены второго определителя отличаются от членов первого знаком (-1)^sm, так как число 2(1+2+к) не влияет на знак. Отсюда следует, что (-1)^sm* М*М’ состоит из некоторого числа членов первого определителя, взятых с теми же знаками, с какими они имеют в этом определителе.

*если М и М’ взаимнодополняемые миноры, то числа S_m и S_m^’ имеют одинаковую четность.