Вопрос 7 Понятие эн-мерного векторного пространства. Линейная зависимость вектора.

Линейным векторным пространством называется множество элементов любой природы L (элементы этого множества приято называть векторами и обозначать ˉx,ˉy), на котором заданы 2 операции: 1. Операции умножения на числа, т.е. каждому вектору xϵL и λϵR по некоторому правилу однозначно ставится в соответствие вектор – λ*x.

2. Операция сложения, т.е. каждой паре векторов ˉx,ˉyϵL по некоторому правилу однозначно ставится в соответствие вектор, который называется их суммой и обозначается ˉx+ˉy, при этом должны выполняться следующие 8 условий, которые называются аксиомами векторного пространства:

1) х + у = у + х (перестановочность сложения);

2) (х + у) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);

3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x: для любого вектора x;

4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х + у = 0,

5) 1 · х = х,

6) a(bx) = (ab) х (ассоциативность умножения);

7) (a + b) х = aх + bх (распределительное свойство относительно числового множителя);

8) a(х + у) = aх + aу (распределительное свойство относительно векторного множителя).

Линейная зависимость вектора.

Пусть β – произвольный эн-мерный вектор пропорционален α, если существует число k, что вектор β= kα. Нулевой вектор пропорционален любому. Если β пропорционален α и отличен от 0, т.е. k≠0, тогда β= kα→α=k^-1∙β. То есть для таких векторов пропорциональность обладает свойством симметрии. Вектор β называется линейной комбинацией векторов α₁, α₂… α_s, если существует k₁, k₂… k_s такие, что β=∑_i=1^sk_iα_i. Система векторов (1) α₁, α₂… α_R, где R≥2 называется линейно-зависимой, если хотя бы один их этих векторов является линейной комбинацией остальных, в противном случае, система линейно-независимая. Система векторов (1) является линейно-зависимой, если существует k₁, k₂… k_R хотя бы одно из которых отлично от 0, что имеет место равенство ∑_i=1^sk_iα_i=0 (2); система (1) является линейно-независимой, если имеет место (2), при этом k₁, k₂… k_s равны нулю.

Теорема 1: если некоторая подсистема системы (1) линейно-зависимая, то и вся система (1) линейно-зависимая.

Доказательство: α₁, α₂… α_R, где R≥2

α₁, α₂… α_s, где S<R-является линейно-зависимой. На основании определения k₁, k₂… k_s, среди которых одно отлично от 0, что линейная комбинация k₁α₁+ k₂α₂+ k_sα_s+0 α_s+1+0 α_R=0. Таким образом, мы получим линейную комбинацию системы векторов (1), обращающуюся в 0, при чем эта система имеет коэффициент ≠0→(1) является линейно-зависимой.

В векторном пространстве введем Е₁=(1,0,…0); Е₂=(0,1,…0)…Е_n=(0,0,…1). Данные вектора будем называть единичными. Эта система является линейно-независимой. Рассмотрим: k₁Е₁+ k₂Е₂+ k_nЕ_n=0. Тогда левая часть является вектором с компонентами k₁, k₂… k_n. С другой стороны этот вектор равен 0. k_i=0_i,i=1,2…n. Все компоненты обращаются в 0, а равенство векторов равносильно равенству их составляющих компонентов. Таким образом, система единичных векторов линейно-независима и в векторном пространстве мы нашли систему линейно-независимых векторов, состоящих из единичных векторов.

Теорема 2: всякий S векторов эн-мерного векторного пространства составляет линейно-зависимую систему при условии, что S>n.

Доказательство: данная система состоит из S векторов: α₁=(a₁₁,a₁₂,…a_1n)

α₂=(a₂₁,a₂₂,…a_2n)

α_s=(a_s1,a_s2,…a_sn).

В соответствии с определением мы подберем набор k₁, k₂… k_s, среди которых имеются числа отличные от 0, что линейная комбинация k₁α₁+ k₂α₂+ k_sα_s=0*. Переходим к числовому равенству:∫a₁₁k₁+a₂₁k₂+…a_s1k_s=0; ∫a₁₂k₁+a₂₂k₂…+a_s2k_s=0; ∫a_1nk₁+a_2nk₂…+a_snk_s=0-это слу, в которой неизвестно k₁, k₂… k_s, однородная относительно S неизвестных. Число уравнений в этой системе меньше числа неизвестных. Данная система является неопределенной, т.е. имеет не нулевое решение, а подберем k₁, k₂… k_s, среди которых есть отличное от 0 и который удовлетворяет равенству *.

Линейно-независимая система эн-мерных векторов α₁, α₂… α_R называется максимально линейно-независимой системой, если добавление к этой системе любого эн-мерного вектора β дает линейно-зависимую систему. Так как во всякой линейно-зависимой, которая связывает вектора α₁, α₂… α_R и вектор β коэфф. при β≠0, в противном случае α₁, α₂… α_R была бы линейно-зависимой. β выражается через систему векторов α₁, α₂… α_R поэтому α₁, α₂… α_R тогда будет максимально линейно-независимой системой, если выполены 2 условия: эта система линейно-независима и любой эн-мерный вектор β является их линейной комбинацией. Таким образом, в эн-мерном векторном пространстве всякая линейно-независимая система, состоящая из n векторов будет максимальной. Любая максимально линейно-независимая система векторов систоит неболее чем из n векторов. Две системы векторов называются эквивалентными, если каждая из них линейно выражается через другую.

Теорема 3: если в эн-мерном векторном пространстве даны 2 системы векторов: α₁, α₂… α_R (1) и β₁, β₂… β_s (2), из которых (1) линейно-независимой и линейно выражается через вторую, то число векторов в (1) системе не больше числа векторов в (2), т.е. r≤s.

Доказательство: пусть r>s. По условию вектора (1) линейно выражаются через (2) имеет место:

α₁=а₁₁β₁+а₁₂β₂+а_1sβ_s

α₂=а₂₁β₁+а₂₂β₂+а_2sβ_s

α_r=а_r1β₁+а_r2β₂+а_rsβ_s

их коэффициент составляет систему эн-мерных векторов, которые обозначим:

γ₁=а₁₁,а₁₂…а_1s

γ₂=а₂₁,а₂₂…а_2s

γ_r=а_r1,а_r2…а_rs.

Так как r>s, то система векторов будет линейно-зависимой, т.е. существует линейная комбинация k₁γ₁+ k₂γ₂+ k_rγ_r=0 и среди k₁,k₂,k_r существуют отличные от 0. Отсюда приходим к равенству между компонентами: ∑_i=1^ra_ik_j=0**;j=1,2,s. Рассмотрим линейную комбинацию векторов (1): ∑_i=1^r∙a_iα_i*. Используя * т ** мы получим: ∑_j=1^s∙β_j(∑_i=1^rk_ia_ij)-противоречит линейно-независимости системы (1).

Следствия: 1. Любые 2 эквивалентные линейно-независимые системы векторов содержат равное число векторов. 2. Всякая максимально линейно-независимая система векторов эн-мерного векторного пространства состоит из n векторов. 3. Если в данной линейно-зависимой системе векторов взяты 2 максимально линейно-независимые подсистемы, то эти подсистемы содержат равное число векторов. Число векторов, входящих в любую максимально линейно-независимую подсистему данной системы называются рангом этой системы. 4. Пусть заданы 2 системы эн-мерных векторов (1) и (2), необязательно линейно-независимых. Причем ранг (1)=k, (2)=l. Если (1) линейно выражается через (2), то k≤l, если они эквивалентны, то k=l.