Вопрос 37. Определенный интеграл Римана, Дарбу, Ньютона-Лейбница, виды интегрируемых функций.

В школе к понятию определенного интеграла нас подводили рассмотрением задачи о вычислении площади криволинейной трапеции. Рассматривалась непрерывная неотрицательная функция y = f(x) на отрезке [a; b], этот отрезок разбивался на n равных частей точками , и соответствующая площадь криволинейной трапеции приближенно представлялась суммой площадей элементарных прямоугольников

Далее делалось предположение, что значение этого выражения стремиться к некоторому числу при бесконечном увеличении количества точек разбиения отрезка[a; b]. В итоге это предположение обобщали для любой непрерывной на отрезке функции y = f(x) (не обязательно неотрицательной) и число назвалиопределенным интегралом. Можно сказать, что к понятию определенного интеграла в школе мы подходили в геометрическом смысле.

В этой статье мы сначала рассмотрим определения определенного интеграла, данные Риманом и Дарбу, также покажем, что подразумевается под определенным интегралом в смысле Ньютона-Лейбница. После этого озвучим необходимое условие интегрируемости функции на отрезке и перечислим виды интегрируемых функций.

Навигация по странице.

• Определенный интеграл Римана.

• Определенный интеграл Дарбу.

• Определенный интеграл Ньютона-Лейбница.

• Необходимое условие интегрируемости функции на отрезке, виды интегрируемых функций.

Определенный интеграл Римана.

Рассмотрим функцию y = f(x), которая определена на отрезке [a; b]. Разобьем отрезок [a; b] наn частей точками.

Обозначим , а точкибудем выбирать так, чтобыпри. Внутри каждого отрезкавыберем точку.

При озвученных условиях существует множество способов выбора точек и.

Интегральной суммой функции y = f(x) для данного разбиения отрезка [a; b] и данного выбора точек называют выражение

Для конкретного разбиения отрезка [a; b] и выбора точек мы получим свою интегральную сумму. То есть, мы имеем множество интегральных сумм для различных вариантов выбораи.

Число называетсяпределом интегральных сумм при, если для любого сколь угодно малого положительного ипсилонсуществует такое сколь угодно малое положительное, зависящее от ипсилон, дельта, что как только, то при любом выборе точексправедливо неравенство.

Функция y = f(x) называется интегрируемой на отрезке [a; b], если существует конечный предел ее интегральных сумм при . Значение предела естьопределенный интеграл Римана.

Принято следующее обозначение интеграла Римана: . Тогда по определению определенного интеграла Римана имеем.

Числа a и b называются нижним и верхним пределом интегрирования соответственно, f(x)называется подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования.

Значение определенного интеграла Римана не зависит от переменной интегрирования, то есть,.

К началу страницы

Определенный интеграл Дарбу.

Для понимания необходимого и достаточного условия существования определенного интеграла Дарбу нам потребуется несколько дополнительных определений.

Рассмотрим ограниченную на отрезке [a; b] функцию y = f(x). Вновь разобьем отрезок [a; b]на n частей точками при прежнем условиипри. Пустьи-точная нижняя и точная верхняя грань множества значений функцииy = f(x) на i-ом отрезке, . Для непрерывной и ограниченной функции.

Выражения вида идля данного разбиения отрезка[a; b] называют нижней и верхней суммами Дарбусоответственно.

Очевидно, что для фиксированного разбиения отрезка [a; b] справедливо двойное неравенство . Другими словами,s и S – точная нижняя и точная верхняя грань множества интегральных сумм соответственно.

Для интегрируемости ограниченной на отрезке [a; b] функции y = f(x) необходимо и достаточно, чтобы предел разности верхней и нижней сумм Дарбу был равен нулю при , то есть, чтобы выполнялось условие. Это условие есть необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла Дарбу, а определенный интеграл, рассмотренный в смысле озвученного условия, называютопределенным интегралом Дарбу.

Определенный интеграл Дарбу обозначают также, как и интеграл Римана, то есть, .

К началу страницы

Определенный интеграл Ньютона-Лейбница.

Сейчас покажем, как дается понятие определенного интеграла Ньютона-Лейбница.

Пусть функция y=f(x) имеет первообразную F(x) на отрезке [a; b], причем значение первообразной в точке x=a равно нулю: F(a)=0. Определенным интегралом Ньютона-Лейбница называется значение этой первообразной в точке b, то есть, приF(a)=0.

Это определение тесно связано с формулой Ньютона-Лейбница . В формуле Ньютона-ЛейбницаF(x) – любая первообразная из их множества, а в понятии определенного интеграла Ньютона-Лейбница фигурирует именно та первообразная, которая обращается в ноль при x=a.

Вопрос 38. Методы интегрирования. 1. По замене. Для упрощения подынтегральной функции и, тем самым, для нахождения интеграла часто применяется так называемая подстановка или замена переменных.Например: 1. . Если применить замену;, то получим:

2.. Применим замену;. В результате получим:

Наряду с заменой переменных часто применяется метод разложения, который опирается на линейные свойства интегралов. Это можно проиллюстрировать следующим примером:

2.По частям. Если функции идифференцируемы на множествеи, кроме того, на этом множестве существует интеграл, то на нем существует и интеграл, причем.Действительно, если проинтегрировать формулу нахождения дифференциала произведения двух функций

, то можно получить следующее соотношение между первообразными от этих функций: . Такой способ нахождения интеграла называетсяинтегрированием по частям. Этот способ целесообразно применять, если интеграл, стоящий в правой части проще исходного. При использовании метода интегрирования по частям задана левая часть равенства, т.е. функция и дифференциал. Таким образом, выбор функций и неоднозначен, причем не каждый способ выбора этих функций ведет к упрощению первоначального интеграла. Функции, интегрируемые по частям, можно схематично разделить на три группы.

1. Интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из следующих функций: ,,,,,, при условии, что оставшаяся часть подынтегральной функции представляет собой производную известной функции.

В случае если подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из перечисленных выше функций в степени , то операцию интегрирования по частям придется повторятьраз.

2. Интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из следующих функций: ,,,a также, полином й степени:.

Для вычисления интегралов второй группы нужно формулу интегрирования по частям применять раз, причем в качестве функциинужно брать многочлен соответствующей степени. После каждого интегрирования степень полинома будет понижаться на единицу.

3. Интегралы вида: ;;.

Применение формулы интегрирования по частям может привести к ситуации, когда интеграл в правой части и интеграл в левой части равенства совпадают, т.е. получается равенство вида:

, где исходный интеграл;постоянная.В этом случае применение метода интегрирования по частям позволяет получить уравнение первого порядка для, из решения которого находится исходный интеграл:.

3.Дробнорациональные выражения. При интегрировании правильной рациональной дроби производится разложение этой дроби на простейшие, для чего предварительно разлагается на элементарные множители многочлен . Коэффициенты разложения определяются методом неопределенных множителей. По членное интегрирование результатов разложения сводится к вычислению интегралов вида:и. Интегралы видавычисляются следующим образом:;;

Вычисление . Во многих случаях интегрирование иррациональной функции удается выполнить, применив замену переменной интегрирования, преобразующую подынтегральную функцию в рациональную. Если рациональная функция своих аргументов, ацелые положительные числа, то интеграл:приводится к интегралу от рациональной функции при помощи подстановки, гденаибольшее общее кратное показателей корней.Сходная подстановка рационализирует подынтегральную функцию и в более общем случае интегрирования выражений типа: . В этом случае также применяется подстановка , где, как и в рассмотренном выше случае,наибольшее общее кратное показателей корней.

Вычисление . Интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью одной из следующих подстановок:

• Если , то;

• Если , то;

• Если ,

то . Здесь- новая переменная. Интегралнаходится подстановкой_. Интеграл находится подстановкой_. Интеграл находится подстановкой.

Вычисление .Интеграл , где- рациональная функция, всегда сводится к интегралу от рациональной функции при помощи универсальной подстановки. При этом:.

При вычислении таких интегралов можно использовать также и специальные подстановки, а именно: в случае, когда , можно использовать подстановку.

В случае неопределенного интеграла вида это соответствует нечетному значению_. Если _, можно использовать подстановку . Если, то можно использовать подстановку.

Вычисление . Интеграл от дифференциального бинома, т.е. интеграл , гдерациональные числа,ипостоянные, отличные от нуля, сводится к интегралу от рациональной функции в трех случаях:

• когда целое число, – разложением на слагаемые по формуле бинома Ньютона;

• когда целое число, – подстановкой, гдезнаменатель дроби;

• когда целое число, – подстановкой.

Как мы видим, не существует сколько-нибудь общих приемов нахождения неопределенных интегралов от любой элементарной функции. Более того, доказано, что многие, порой очень простые на первый взгляд, интегралы не выражаются через элементарные функции, или, как говорят, не берутся. Например, к таким интегралам относятся: .

4.Трегонометрические. 1.Интегралы типа удобно вычислять с помощью подстановки. Тогдаи получаем простой интеграл.

2. Интегралы типа удобно вычислять с помощью подстановки. Тогдаи интеграл приводится к виду.

3. Если подынтегральная функция зависит только от (), то удобна замена. В этом случаеи. В результате получаем.

4. Если подынтегральная функция является рациональной относительно четных степеней и, то есть, то в этом случае также удобна замена. При этом:

; ;.

Данная подстановка в этом случае дает более простую рациональную дробь, чем с использованием универсальной тригонометрической подстановки.

Пусть дан интеграл , гдеи при этом хотя бы одно из этих чисел нечетное. Допустим, что. Тогда

.

Далее делается замена , и получаем.

6. Пусть дан интеграл , гдеинеотрицательные и четные. Положим, что,. Тогда

; .

Данная замена позволяет в два раза понизить степень тригонометрических функций. Раскрывая скобки в интеграле , получаем снова случаи 5 или 6.

7. Пусть дан , гдеи– четные и хотя бы одно из этих чисел отрицательно. Тогда удобна та же замена, что и в случае 4.

8. В случае используется тригонометрическая формула

и интеграл превращается в два табличных интеграла.

9. В случае используется тригонометрическая формула

.

10.В случае используется тригонометрическая формула

Определенный интеграл и его свойства. Приложения (вычисление площади криволинейной трапеции). Вычисление площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке [a,b] (b>a) задана непрерывная функция y = f(x) , принимающая на этом отрезке неотрицательные значения : при. Требуется определить площадьS криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x). Для решения этой задачи разделим произвольным образом основаниеAD фигуры точками x₀ = a, x₁ , x₂ , …, x_n-1 = a, x_n = b на n частей [x₀ , x₁], [x₁ , x₂], …, [x_i-1 , x_i], …, [x_n-1 , x_n]; символом будем обозначать длинуi-го отрезка: . На каждом из отрезков [x_i-1 , x_i] выберем произвольную точку , найдём, вычислим произведениеи просуммируем эти произведения по всем прямоугольникам. Полученную сумму обозначимS _ступ: .S_ступ равно площади ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками P_i , i = 1,2,…,n; на левом рисунке эта площадь заштрихована. S_ступ не равна искомой площади S, она только даёт некоторое приближение к S. Для того, чтобы улучшить это приближение, будем увеличивать количество n отрезков таким образом, чтобы максимальная длина этих отрезков стремилась к нулю (на рисунке ступенчатые фигуры изображены приn = 7 (слева) и при n = 14 (справа)). Приразница междуS_ступ и S будет тоже стремиться к нулю, т.е. .

Определение определённого интеграла. Пусть на отрезке [a,b] задана функция y = f(x). Разобьём отрезок [a,b] произвольным образом на n частей точками [x₀ , x₁], [x₁ , x₂], …, [x_i-1 , x_i], …, [x_n-1 , x_n]; длину i-го отрезка обозначим:

; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков [x_i-1 , x_i] выберем произвольную точку и составим сумму. Сумманазывается интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных суммпри, не зависящий ни от способа разбиения отрезка [a,b] на части [x_i-1 , x_i], ни от выбора точек , то функцияf(x) называется интегрируемой по отрезку [a,b], а этот предел называется определённым интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается . Функцияf(x), как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа a и b - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования. Кратко определение иногда записывают так:.В этом определении предполагается, чтоb> a. Для других случаев примем, тоже по определению: Если b=a, то ; еслиb<a, то .

Свойства определённого интеграла.1. Линейность. Если функции y = f(x), y = g(x) интегрируемы по отрезку [a,b] , то по этому отрезку интегрируема их линейная комбинация A f(x) + B g(x) (A, B = const), и . Док-во: для любого разбиения отрезка и любого выбора точек выполняется. Перейдем в этом равенстве к пределу при. Так как существуют пределы интегральных сумм, стоящих в левой части равенства, то существует предел линейной комбинации этих сумм, следовательно, существует предел правой интегральной суммы, откуда следует истинность и утверждения, и равенства. 2. Аддитивность. Если y = f(x) интегрируема по отрезку [a,b] и точка c принадлежит этому отрезку, то . Док-во. Если f(x) удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезку [a,b], то она удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезкам [a,c] и [c,b]. Будем брать такие разбиения отрезка [a,b] , чтобы точка c являлась одним из узлов x_i: c = x_i0, . Тогда . В этом равенстве первая сумма справа - интегральная сумма для, вторая - для. Переходим к пределу при. Пределы для всех трёх сумм существуют, и. Свойство аддитивности остаётся верным при любом расположении точек, если только функция интегрируема по самому широкому интервалу. Пусть, например,c < b < a, и f(x) интегрируема по [c, a]. Тогда, по доказанному, . Отсюда и из определения интеграла для случая, когда нижний предел больше верхнего, следует, что. При формулировании и доказательстве следующих свойств предполагаем, что b > a. 3. Интеграл от единичной функции ( f(x) = 1). Если f(x) = 1, то . Док-во. Если f(x) = 1 , то для любого разбиения =x_n - x₀ = b – a, т.е любая интегральная сумма равна длине отрезка. Предел постоянной равен этой постоянной, откуда и следует доказываемое утверждение. 4. Теорема об интегрировании неравенств. Если в любой точке выполняется неравенство, и функцииf(x), g(x) интегрируемы по отрезку [a,b], то . Док-во. Для любого разбиения отрезка и любого выбора точек при. Переходя в этом неравенстве к пределу при, получаем требуемое неравенство. 5. Теоремы об оценке интеграла. 5.1. Если на отрезке [a,b] функция удовлетворяет неравенству , то.Док-во. Докажем левое неравенство (цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств): . Аналогично доказывается и правое неравенство. 5.2. Если функция f(x) интегрируема по отрезку [a,b], то . Док-во. . 6. Теорема о среднем. Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка , такая что. Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Тогда . Числозаключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное междуm и M. Таким образом, существует точка , такая что.Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: еслинепрерывна на отрезке [a,b], то существует точка такая, что площадь криволинейной трапецииABCD равна площади прямоугольника с основанием [a,b] и высотой f(c) (на рисунке выделен цветом).