Вопрос 17. Основные понятия и свойства функций

Ключевые слова: область определения функции, область значений функции четная функция, нечетная функция, периодическая функция. монотонная функция. убывающая функция. возрастающая функция, ограниченная функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел R. Это значит, что аргумент функции может принимать только те действительные значения, при которых функция определена, т.e.она также принимает только действительные значения.

Множество X всех допустимых действительных значений аргументаx, при которых функция y = f (x) определена, называется областью определения функции. Множество Y всех действительных значений y, которые принимает функция,называется областью значений функции.

Теперь можно дать более точное определение функции:

правило(закон) соответствия между множествами X и Y, по которому для каждого элемента из множества X можно найти один и только один элемент из множества Y, называется функцией.

Функция считается заданной, если:

задана область определения функции X ;
задана область значений функции Y ;
известно правило (закон) соответствия, причем такое, что для каждого значения аргумента может быть найдено только одно значение функции. Это требование однозначности функции является обязательным.

Если для любых двух значений аргумента x₁и x₂ из условия x₂ > x₁ следует f ( x₂ ) > f ( x₁), то функция f (x ) называетсявозрастающей; если для любых x₁и x₂ из условия x₂ > x₁ следует f (x₂)< f (x₁),то функция f (x ) называется убывающей. Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f ( x )|M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x = a, если :

функция определена при x = a, т.e. f (a) существует;
существует конечный предел limxaf(x);
f (a) = limxaf(x) .

Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то функция называется разрывной в точке x = a. Если функция непрерывна во всех точках своей области определения, то она называется непрерывной функцией.

Если для любого x из области определения функции имеет место: f ( - x ) = f ( x ), то функция называется чётной; если же имеет место: f (-x) = - f (x), то функция называется нечётной.

График чётной функции симетричен относительно оси Y ( рис.5 ), a график нечётной функции симметричен относительно начала координат ( рис.6 ).

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f ( x + T ) = f ( x ). Такое наименьшее число называется периодом функции.

Все тригонометрические функции являются периодическими.

Пример 1. Доказать, что sin x имеет период 2. Решение. Мы знаем, что sin ( x+ 2n ) = sin x, где n = 0, ± 1, ± 2, … Следовательно, добавление 2n к аргументу синуса не меняет его значениe. Предположим, что P – такое число, т.e. равенство: sin ( x+ P ) = sin x, справедливо для любогозначения x. Но тогда оно имеет место и при x =/ 2 , т.e. sin (/ 2 + P ) = sin/ 2 = 1. Но по формуле приведения sin (/ 2 + P ) = cos P. Тогда из двух последних равенств следует, чтоcos P = 1, но мы знаем, что это верно лишь при P = 2n. Так как наименьшим отличным от нуля числом из 2n является 2, то это число и есть период sin x. Рассмотрим sin 2x = sin ( 2x + 2n ) = sin [ 2 ( x +n ) ] . Мы видим,что добавлениеn к аргументу x, не меняет значение функции. Наименьшее отличное от нуля число изn есть, таким образом, это период sin 2x .