Задачи замены оборудования

Можно выделить четыре основные причины, приводящие к необходимости образования запасов:

1. необходимость гарантирования бесперебойности производственного процесса;

2. периодичность производства отдельных сорторазмеров материальных ресурсов у поставщиков;

3. особенности транспортировки от поставщика до потребителя (несоответствие грузоподъёмности транспортных средств и размеров потребления);

4. несовпадение ритма производства и поставок производимых ресурсов с ритмом их потребления.

Задача управления запасами в общем случае формулируется так. Имеются некоторые запасы, затраты на хранение которых являются функцией (линейной или нелинейной) их величины. Известны также затраты на доставку ресурсов. Необходимо определить оптимальный размер поставки, частоту или сроки поступления ресурсов, с тем, чтобы суммарные издержки были минимальны. Критерием оптимизации является минимизация суммы издержек на хранение и поставку ресурсов.

В общем случае задачи управления запасами сводятся к задачам нелинейного программирования, общих методов решения которых нет.

Классификация задач управления запасами

Задачи управления запасами по наличию того или иного признака можно разделить:

1. По количеству управляемых периодов (пополнения запасов) на однопериодные и многопериодные. Если пополнение запасов производится в системе один раз, такая задача управления запасами называется однопериодной, в противном случае – многопериодной. Так, например, автомашина может один раз заправиться и сделать ещё дополнительный запас горючего или у неё есть возможность подзаправляться во время перевозок.

2. По характеру пополнения запасов с непрерывной системой пополнения запасов (мгновенной) и периодической (с задержкой). Если при уменьшении запаса до определённого уровня происходит его пополнение, то мы имеем задачу с непрерывном пополнением запасов. При этом необходим постоянный контроль за уровнем запаса. Разновидностью такой системы является система “двух бензобаков” (“двух бункеров”, “двух складов”). Один из бензобаков (бункеров, складов) выдает запас (горючее) только в том случае, если кончается запас в другом, одновременно подаётся сигнал о необходимости пополнения бензобаков (бункеров, складов).

3. По учёту характера спроса на детерминированные и вероятностные (стохастические). Если невозможно точно предсказать спрос с момента поступления запаса до момента его пополнения, то имеем вероятностную задачу управления запасами, в противном случае – детерминированную. Так, если неизвестен маршрут движения автомашины (состояние дороги, уклоны, подъёмы, …), то практически невозможно точно предсказать расход горючего.

4. По количеству типов ресурсов на однопродуктовые и многопродуктовые. Если запас включает несколько видов продукции, то имеем многопродуктовую задачу управления запасами, в противном случае – однопродуктовую. Так, если для автомашины кроме бензина будем учитывать расход масла, то это уже будет многопродуктовая задача управления запасами.

5. По виду целевой функции на задачи с пропорциональными и непропорциональными затратами. Если издержки производства на единицу продукции постоянны, и весь объём спроса в конечном счете удовлетворяется, то мы имеем дело с пропорциональными затратами, в противном случае – с непропорциональными. Так, затраты на 1 км пробега автомашины могут быть постоянными, а могут быть переменными (например, зависят от дальности ездки).

Однопродуктовая детерминированная задача управления запасами

Постановка задачи и выбор критерия оптимизации

Пусть месячная потребность предприятия в какой – либо материале (песок, щебень, цемент,…) составляет Q условных единиц. Расход этого материала во времени происходит равномерно. Необходимо определить, каков должен быть размер поставки материала, чтобы суммарные затраты на создание и хранение запаса были минимальны.

Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей

Обозначим затраты на хранение единицы запаса в единицу времени, азатраты на доставку партии материалов. Пусть затратыне зависят от количества материалов в поставленной партии. Предполагается, что все партии состоят из одинакового числа единиц материала,величина поставок. Изобразим графически движение запасов в течение времени (месяца). Обозначимпромежуток времени (период) от момента поставок партии материала до момента её израсходования. Количество необходимых поставок для удовлетворения месячной потребности в материале:

.

Рис. 11.3 Движение запасов с мгновенным временем их пополнения

Построение математической модели

Суммарные месячные расходы на хранение материала и доставку за период :

.

Исследование математической модели

Продифференцировав целевую функцию относительно S и приравняв производную к нулю, получим

,

откуда

.

Это выражение носит название формулы Вильсона (Уилсона), из которой можно установить оптимальный размер поставок. С помощью этой формулы можно определить и оптимальные моменты времени пополнения запасов.

Теперь усложним задачу, будет учитывать убытки, если спрос не удовлетворён.

Задача управления запасами с учётом убытков

из-за неудовлетворённого спроса

Постановка задачи

Пусть на предприятии вследствие неудовлетворённого спроса возникают убытки, характеризующиеся величиной на единицу ресурса в единицу времени. В течение временикаждого периодауровень запаса достаточен для удовлетворения спроса, а затем в течение интервалазапас отсутствует, причем неудовлетворённый спрос покрывается из следующей партии с момента поступления на склад. Пусть потребность в материале составляетединиц в период.

Определить, какими должны быть поставляемая S и потребная V партии, чтобы затраты на доставку и хранение с учётом неудовлетворённого спроса были минимальными.

Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей

Обозначения те же, что и ранее. Графически движение запасов при неполном удовлетворении спроса представлено на рис. 11.4.

Рис. 11.4 Движение запасов с учётом убытков из-за неудовлетворённого спроса

По графику легко составить следующие закономерности:

.

Построение математической модели

Суммарные затраты на хранение, доставку и потери из-за неудовлетворённого спроса за период T:

.

Исследование математической модели

Чтобы определить минимум функции, находим частные производные от Y по S и V и приравняем их к нулю:

Решив систему уравнений, получим:

.

Общая детерминированная многопериодная

задача управления запасами

Постановка задачи и выбор критерия оптимизации

Пусть месячная потребность предприятия в каком – либо материале составляет Q условных единиц. Расходуется материал равномерно. При неудовлетворении спроса на предприятии возникают убытки, измеряемые величиной на единицу материала в единицу времени. Затраты на хранение единицы материала в единицу времени составляют. Затраты на поставку партии материала -. В течение периодовпроисходит поставка материала предприятию. Определить оптимальные размеры поставляемой и потребной партии материала, минимизирующие затраты на доставку и хранение.

Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей

Представим графически движение запасов при неполном удовлетворении спроса и с задержкой пополнения запасов.

Рис. 11.5 Движение запасов с учётом убытков из-за неудовлетворённого спроса и с задержкой их пополнения

Из графика можно установить следующие соотношения:

Построение математической модели

Суммарные затраты на хранение, доставку и потери из-за неудовлетворённого спроса за период T.

Исследование математической модели

Продифференцировав целевую функцию Y относительно V и S и прировняв полученные при этом частные производные ик нулю, получим систему уравнений:

или

Решив систему уравнений, находим:

Одновременно с определением оптимальной величины потребной и поставленнойпартий можно определить оптимальный интервал времени между двумя поставками:

.

После соответствующих преобразований получим

.

Задачу управления запасами при случайном спросе не будем рассматривать.

Задачи замены оборудования

Технические характеристики любой машины и оборудования вследствие старения, износа и других причин со временем ухудшаются. Это приводит к необходимости замены оборудования с целью как уменьшения суммарных затрат на эксплуатацию оборудования, так и предупреждения его полного выхода из строя (отказа). Кроме того, это приводит к необходимости рационально организовать профилактическое обслуживание.

Классификация задач замены оборудования

Задачи замены оборудования по наличию того или иного признака можно разделить следующим образом.

1. По характеру замены оборудования на 3 типа:

1. по замене оборудования длительного использования из-за неуклонно возрастающих с увеличением срока службы эксплуатационных затрат. В этих задачах определяется оптимальный срок службы оборудования, минимизирующий эксплуатационные затраты;

2. по замене оборудования с целью предупреждения отказов (поломки).

Требуется найти такое время замены, чтобы суммарные издержки были минимальны;

3. по выбору оптимального плана предупредительного ремонта и профилактического обслуживания оборудования для уменьшения вероятности отказа.

2. По характеру учёта затрат на оборудование на дискретные и непрерывные. Если расходы по ремонту и уходу за оборудованием производятся через некоторые интервалы времени, то задача дискретная, в противном случае – непрерывная.

3. По выходу из строя оборудования на детерминированные и случайные. Если расходы по ремонту и уходу за оборудованием являются постоянными или известными функциями от времени, то мы имеем детерминированную задачу замены оборудования.

4. По стратегии замены оборудования на плановые (по мере выхода из строя) и смешанные. Если замена оборудования производится строго по плану с учетом соотношения затрат на ремонт и уход за оборудованием и эффекта, получаемого от эксплуатации оборудования, то имеем задачу с плановой стратегией замены оборудования. Смешанные задачи замены оборудования – это задачи, в которых придерживаются плановой стратегии замены оборудования, но если оборудование вышло из строя раньше запланированного времени, то оно заменяется.

5. По времени учёта затрат на оборудование с приведением и без приведения. Если затраты на эксплуатацию оборудования осуществляются в разные сроки или они изменяются во времени, то следует привести затраты более поздних лет к расчётному, в этом случае имеем задачу замены оборудования с приведением затрат, в противном случае – без приведения.

Рассмотрим далее в порядке возрастания сложности только некоторые типы задач замены оборудования.

Задача замены оборудования длительного пользования

Постановка задачи. Выбор критерия оптимизации

Пусть в эксплуатации находится некоторое оборудование. Покупная цена нового оборудования известна и равна S. Допустим, что известны затраты на эксплуатацию оборудования (уход за ним, ремонт и т д.), производимые в начале 1,2,…, t,…, n периодов. Предположим, что периоды равны, например, году. Обозначим затраты, производимые в t-й период, через . В результате старения балансовая цена оборудования непрерывно падает и зависит от периода списания, обозначим её. Требуется определить период списания оборудования.

Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей

Рассмотрим задачу, в которой известны эксплуатационные затраты в разные периоды (дискретную) (естественно, что), а также значения, и непрерывные задачи, в которых известны зависимости.

При этом ограничимся рассмотрением трёх случаев, когда:

1) илинейно зависят от:

2) иквадратично зависят от(по параболе):

3) иэкспоненциально зависят от:

.

Это связанно с заменой оборудования, подверженного износу. Все три случая можно представить графически.

Построение математической модели

Средние затраты равны: 0) – дискретный вариант.

0. 

1. 

2. 

3. 

Для всех случаевт.е..

1)

0

0

t

t

2)

t

t

0

0

3)

t

t

0

0

Рис. 11.6 Зависимость эксплутационных затрат и балансовой стоимости оборудования от времени

Исследование математической модели

Рассмотрим все указанные случаи. Чтобы затраты при замене оборудования через t периодов были наименьшими, естественно должно выполнится условие 0) или в развёрнутом виде

После соответствующих преобразований получим окончательно:

Это условия при любых соотношениях между величинами иявляется необходимым условием оптимальности стратегии, а т.к.и, то написанное условие является ещё и достаточным условием оптимальности;

1. Оптимального периода списания нет. Если функции илинейные, то средние издержки эксплуатации оборудования будет постоянны, поэтому, если хотим произвести замену в любое время, достаточно обеспечить линейность характеристики;

2. в этом случае средние издержки линейно зависят от периода эксплуатации;

3. . После соответствующих преобразований получим

Решая это уравнение (целесообразнее графическим способом и обозначив предварительно

), получим точку пересечения, которая и даст искомое время t, при котором необходимо произвести замену оборудования.

Задача замены оборудования с целью предупреждения отказа

Постановка задачи и выбор критерия оптимизации

Пусть в эксплуатации находится некоторое оборудование. Допустим, что известны затраты, связанные с отказом оборудования (брак готовой продукции, простой и т. д.), включая затраты на замену =100 тыс. руб., а также известны затраты на одну замену=50 тыс. руб. (предупредительную замену). Известно количество неотказавшего оборудованияn(t) ко времени t (табл. 11.ица). Требуется определить оптимальный интервал между последовательными заменами оборудования, при котором минимизируются средние затраты на единицу времени.

Таблица 11.3

Время работы	t	0	1	2	3	4	5	6	7
Количество не отказавшего оборудования ко времени t	n(t)	200	190	180	160	100	40	20	10

Вероятности отказа работы оборудования известны.