Тема 11 Задачи упорядочения. Задачи управления запасами. Задачи замены оборудования

Задачи упорядочения – это задачи определения оптимальной последовательности обработки изделий, массивов информации, определения наилучших маршрутов движения и т д.

циальное название – сетевое планирование и управление.

Классификация задач упорядочения

По наличию того или иного признака задачи упорядочения можно подразделить следующим образом:

1) По характеру обслуживания требований на детерминированные и вероятностные (стохастические). Если продолжительность операций предполагается точно известной и неизвестной, то имеем детерминированную задачу упорядочения, в противном случае – вероятностную (стохастическую).

2. По характеру учёта времени на динамические и статические. Если процесс упорядочения с течением времени меняет свой характер, то имеем динамическую задачу упорядочения, в противном случае – статическую.

Детерминированная задача упорядочения

Постановка задачи и выбор критерия оптимизации.

Пусть имеется несколько изделий, каждое из которых должно быть обработано на двух машинах. Допустим, что известны время обработки и последовательность обработки каждого изделия на каждой машине (табл. 11.1).

Таблица 11.1

Номер изделия		1	2	3	4	5	6
Время обработки на 1-й машине		6	4	6	5	7	4
Время обработки на 2-й машине					6	6	7
Номер цикла		4	1	2	4	5	3

Требуется выбрать такой порядок обработки изделий, при котором суммарное время обработки изделий будет минимальным (или суммарное время ожидания обработки изделий на 2-й машине).

Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей.

Перечислим основные ограничения задачи:

1. время перехода изделия от одной машины к другой незначительно и им можно пренебречь;

2. каждое изделие обрабатывается в определённом технологическом порядке;

3. каждое обслуживание должно быть завершено прежде, чем начнётся следующее.

Обозначим: - время обработкиj-го изделия на первой машине; - время обработкиj-го изделия на второй машине.

Изобразим процесс обработки изделий на двух машинах графически:

Время обработки

на машине 1

Время обработки

на машине 2

Время простоя

машины 2

Рис. 11.1 Процесс обработки изделий на двух машинах (Гантт – карта)

На рис.11.1 - полное время, которое пройдет от начала обработки первого изделия на первой машине до конца обработки последнего изделия на второй машине.

Построение математической модели.

Пусть время простоя второй машины между концом выполнения работы по обработке (j-1)-го изделия на второй машине и началом обработки j-го изделия на той же самой машине.

Тогда суммарное время обработки изделий составит:

, а т.к. сумма постоянна, то подлежит минимизации(в нашем случае).

Исследование математической модели.

Известен весьма простой алгоритм для нахождения оптимальной последовательности порядка обслуживания m требований на двух пунктах обслуживания (алгоритм Джонсона).

При этом каждое из требований должно пройти сначала обслуживание на первом пункте, а затем на втором. Продолжительности обслуживания требований различные. Если использовать метод прямого перебора, то при наличии m требований (изделий) и двух пунктов обслуживания (машин) и при условии, что все виды требований обрабатываются в одинаковом порядке, существует m! возможных вариантов (последовательностей). Для нашего примера имеется 720 вариантов.

Алгоритм Джонсона включает следующие основные этапы:

1. поиск наименьшего элемента.

Ищем в таблице наименьший элемент (равен 2, относится ко второй машине) и отмечаем точкой;

2) перестановка изделий.

Определяется местонахождение элемента. Если этот элемент относится к первой машине, то столбец с точкой поставить на первое место, если ко второй, то поставить на последнее место календарного плана. При наличии равных минимальных элементов в обеих строках изделие с минимальным временем обработки на первой машине ставится на первое место, а на второй машине – на последнее место. Если же одинаковые минимальные элементы оказываются в первой (второй) строке, то на первое (последнее) место ставится изделие, которому соответствует меньший элемент второй (первой) строки.

Таблица 11.2

Номер изделия		6	4	5	1	3	2
Время обработки на 1-ой машине		4	5	7	6	6	4
Время обработки на 2-ой машине		7	6	6	5	3	2

3. вычёркивание из таблицы столбца, отмеченного точкой, и возвращение к пункту 1 и т. д., пока не будет исчерпан список всех изделий.

В результате получим оптимальную последовательность обработки изделий на двух машинах. Последняя графа таблицы 11.1 (номер цикла) показывает последовательность вычёркивания столбцов для данного примера.

После определения оптимального порядка обработки изделия на машинах графически определяется время простоя и работы второй машины, которое является минимальным из всех возможных.

Время обработки на

машине 1

Время обработки на

машине 2

Время простоя

машины 2

Рис. 11.2 Процесс оптимальной обработки изделий на двух машинах

В некоторых частных случаях алгоритм Джонсона применяется и для решения задач упорядочения, требующих трехэтапного обслуживания. Это можно сделать, когда соблюдается одна из следующих систем неравенств:

минимальное время обработки изделия на первой машине больше или равно максимальному времени обработки изделия на второй машине:

;

минимальное время обработки изделий на третьей машине больше или равно максимальному времени обработки на второй машине:

.

После этого составляется новая таблица для суммы вместоиливместо, и к ней применяется алгоритм Джонсона.

Класс задач, к которым применим алгоритм Джонсона, ограничен. Решение же методом прямого перебора всех возможных вариантов уже при десяти изделиях требует более 3 млн. переборов. В некоторых задачах упорядочения для решения можно использовать методы линейного и динамического программирования.