Министерство образования Российской Федерации
Филиал Томского политехнического университета в г. Юрге
Кафедра информационных систем
Экономико-математическое моделирование
(конспект лекций)
Составитель: cт. преподаватель кафедры ИС
Маслов Анатолий Викторович
Юрга 2003
Содержание
Тема 1: Предмет экономико-математического моделирования……..… 3
Тема 2: Системный подход к изучению экономических явлений……. 21
Тема 3: Математические методы и основные классы задач оптимизации………………………………………………………………………… 32
Тема 4: Линейное программирование………………………………….. 38
Тема 5: Целочисленное программирование……………………………. 73
Тема 6: Транспортная задача……………………………………………. 81
Тема 7: Нелинейное программирование……………………………….. 98
Тема 8: Регрессионный анализ………………………………………… 112
Тема 9: Игровые методы обоснования решений……………………... 130
Тема 10: Основы сетевого планирования и управления……………….
Тема 11: Задачи управления запасами. Задачи замены оборудования..
Тема 12: Задачи массового обслуживания………………………………
Тема 13: Балансовые методы согласования ресурсов и потребностей..
Рекомендуемая литература по курсу…………………………………….
Тема 1 Предмет экономико-математического моделирования
Роль дисциплины "Экономико-математическое моделирование" в системе экономических дисциплин трудно переоценить. Эта дисциплина должна быть в центре этих экономических наук, т.к. она является своеобразным "сплавом" экономики и математики.
Цель данной дисциплины - дать комплексное изложение теоретико-методологических принципов и конкретных подходов к постановке, решению и анализу экономических задач с помощью математики. В настоящее время в этой сфере существует огромное количество теоретических и прикладных моделей и методов. При изучении материала основное внимание уделяется моделям и методам, прошедшим проверку практикой. Больший упор будет делаться на таких экономико-математических моделях и методах, которые могут найти применение на предприятиях машиностроительной отрасли. В числе основных задач дисциплины не только ознакомление с теорией, но и практическое решение на основе теории различных экономических задач.
Известно, что любая наука только тогда достигает совершенства, когда ей удаётся воспользоваться математикой. Это хорошо видно на примере химии. Её бурное развитие произошло после того, как был открыт периодический закон Менделеевым на основе чисто математических выкладок зависимости свойств элементов от их атомных весов.
Развитие современного общества характеризуется повышением технического уровня, усложнением организационной структуры производства, углублением общественного разделения труда, предъявлением высоких требований к методам хозяйствования.
Одним из необходимых условий дальнейшего развития экономической науки является применение точных методов количественного анализа, широкое использование математики. В экономических науках долгое время преобладали описательный подход и чисто качественный анализ экономических явлений. Это относится и к конкретным экономическим наукам. Так, в области организации и управления машиностроительным производством применяется в основном лишь элементарный математический аппарат, требующий знаний математики в объёме средней школы. Использование элементов высшей математики весьма ограниченно. В редких случаях решаются задачи на нахождение максимума или минимума, используется теория вероятности при рассмотрении некоторых задач (например, для статистических методов контроля). Ещё в меньшей степени использовался математический аппарат в экономике предприятия.
Использование в экономике математических методов позволяет достигнуть единства качественного анализа с количественным.
Но необходимо всегда помнить, что без качественного анализа, без правильных методологических исходных положений количественный анализ не может дать правильных решений, хороших результатов.
По известному сравнению Т.Г. Гексли, математика, подобно жёрнову перемалывает всё, что под него засыпано. Поэтому должно быть диалектическое единство качественного и количественного анализов экономических явлений. Качественный анализ должен предшествовать количественному. С другой стороны, количественный анализ открывает более широкие возможности для качественного анализа, для более глубокого познания экономических явлений и для установления более точных зависимостей между ними.
Широкое применение математики в экономических науках долгое время сдерживалось вследствие большой сложности экономических задач и отсутствия соответственных математических методов их решения. Сама природа экономических задач как бы "противилась" математизации их решения. Это и трудности формализуемости экономических задач, элементы неопределённости, случайности, всегда присутствующие в них, динамическая суть этих процессов, т.е. все явления в них должны рассматриваться изменяющимися во времени, когда результаты данного периода оказывают влияние на решение задачи для следующего периода.
При решении экономических задач в машиностроительной отрасли, например, приходится иметь дело с огромным числом исходных данных, т.е. с большим количеством предприятий, цехов, участков, оборудования, рабочих мест, различных видов продукции, потребляемого сырья, материалов, топлива, энергии, инструментов; с большой численностью рабочих, инженерно – технических работников, служащих и других категорий работников.
Между этими исходными данными и экономическими показателями существует сложная зависимость, которая должна быть установлена и количественно оценена.
Особенно велико число таких исходных данных и сложна связь их с экономическими показателями, как было уже указано, в машиностроении.
При наличии такого большого числа взаимосвязанных факторов необходимо так организовать процесс производства, чтобы были своевременно обработаны все детали, собраны все узлы и выпущены все изделия в установленные сроки. Одновременно при этом должны быть достигнуты наиболее рациональная и полная во времени загрузка каждого рабочего, наиболее эффективное использование оборудования и других видов основных фондов, а также материалов, топлива, энергии, инструмента, ускорена оборачиваемость оборотных средств.
Даже в масштабе одного завода такая задача представляется чрезвычайно сложной. В масштабе же всего машиностроения страны необходимо, кроме того, решать задачи о наиболее правильном распределении выпуска изделий по предприятиям, т.е. устанавливать оптимальные производственные программы предприятиям и одновременно определять степень концентрации производства и размещения предприятий, решать вопросы специализации и кооперирования между предприятиями, как по основным, так и по вспомогательным производствам. Причём эти задачи необходимо решать с учётом достижения максимальной экономической эффективности капиталовложений.
Всё это может быть достигнуто лишь на основе комплексного подхода, при которой максимальная эффективность достигается не на каком-то одном или нескольких участках, а в целом – при выполнении всей производственной программы и достижении всех целей, которые поставлены перед предприятием, отраслью. Эта проблема может быть решена лишь с привлечением широкого числа современных методов обоснования производственно-хозяиственных решений.
Система принятия решений, одним из элементов которой являются экономико-математические методы, должна охватывать полный цикл хоз. проблем, причем не только повторяющихся и рутинных, но и нестандартных, требующих творческого подхода. Процесс принятия решений (ППР) включает 6 фаз (см. рис. 1 на с. 6).
В него входит не только отыскивание проблем (фаза 3), т.е. анализ, оценка и выбор альтернатив на основе технико-экономических расчетов, но и выявление возникающих хозяйственных проблем (фаза 1), а также постановка проблемы (фаза 2), включающая конструирование возможных действий, подлежащих анализу. Большое значение имеют в полном цикле решение проблем и последующие фазы - принятие решений ответственными руководителями (фаза 4), выполнение полученных решений (фаза 5) и оценка результатов (фаза 6). Обратная связь (от фазы 6 к фазе 3) стимулирует поиск новых решений, если результаты практического опробования ранее принятого плана не приводят к решению искомой проблемы.
Слабоструктури-зованная
Поиск решения проблемы
Рис. 1 Процесс принятия решений
Экономико-математические методы, которые находят успешное применение в решении отдельных экономических задач, расширяются за счет различного рода экспертно – эвристических, игровых, имитационных и других процедур, включаемых обычно в арсенал методов системного анализа. Понятна их большая роль в совершенствовании хозяйственной деятельности предприятия или любой другой организационной экономической системы.
С точки зрения внедрения научных методов и современных технических средств в процессе принятия решений наиболее важное значение имеет фаза 3 – отыскивание оптимального или приближённого к нему решения данной проблемы. В качестве инструмента оптимизации решений наиболее часто используют арсенал методов исследования операций. Однако в настоящее время эти методы ещё недостаточно хорошо справляются с учетом фактора неопределённости, объективно присущего многим проблемам, возникающим в деятельности любой организации. И хотя в ответ на запросы практики математические методы постоянно совершенствуются, всегда остается некоторая (постоянно меняющаяся) доля нематематизируемых в данное время проблем.
Таким образом, для каждого класса проблем необходимо применять соответствующие методы нахождения решений, которые в наибольшей степени будут способствовать принятию решений, максимально приближающихся к оптимальным.
Укрупненная классификация методов нахождения решений также представлена на рис. 1. В основу этой классификации положено понятие структуризации проблемы.
Структура любой проблемы определяется пятью основными логическими элементами:
цель или ряд целей, достижение которой будет означать, что проблема решена;
альтернативные средства, т.е. программы действий, с помощью которых может быть достигнута цель;
затраты ресурсов, требующихся для каждой программы действий;
модель или модели, в которых с помощью некоторого формального языка (в т.ч. математики, формальной логики, обычного словесного, графического или машинного описания и т.п.) отображаются связи между целями, альтернативами и затратами;
критерий, с помощью которого сопоставляются в каждом конкретном случае цели и затраты и отыскивается наиболее предпочтительное решение.
Степень структуризации проблемы определяется тем, насколько хорошо выделены и осознаны указанные пять логических элементов проблемы. Именно от этого зависит возможность применения того или иного метода для её решения. С этой точки зрения проблемы могут быть разделены на четыре типа: стандартные, хорошо структуризованные, слабоструктуризованные, неструктуризованные. В соответствии с этим могут быть использованы 4 класса методов решения проблем:
стандартные процедуры и правила расчёта и выбора решений;
экономико-математические методы поиска оптимальных планов;
системный анализ для построения рациональных хозяйственных альтернатив;
экспертно-эвристические методы принятия хозяйственных решений.
Стандартные проблемы, отличающиеся полной ясностью и однозначностью не только целей, альтернатив и затрат, но и самих решений, решаются на основе заранее выработанных процедур и правил. В частности, решение такой проблемы может быть однозначно получено на основе чётко определённой методики.
К стандартным проблемам в машиностроении можно отнести, например, расчёт потребности в оборудовании, материалах, рабочей силе исходя из заданной производственной программы.
Такого рода расчёт, при определённых условиях рассматриваемый как одновариантный, осуществлялся ранее, например, с помощью балансовой матричной модели техпромфинплана предприятия на основе заданных нормативов-коэффициентов полных или прямых затрат.
Хорошо структурированные проблемы многовариантны по своему существу, но все их элементы и связи могут быть выражены количественно. В этом случае наилучший из всех возможных вариантов решения может быть найден с помощью методов исследования операций и экономико-математического моделирования.
В экономике и организации машиностроения имеется множество хорошо структурированных проблем – от выбора оптимального варианта развития и реконструкции предприятий до выбора вариантов наилучшей загрузки производственных мощностей и поиска оптимальных режимов технологии производства. Примерами таких задач являются ставшие уже классическими для линейного программирования так называемые станковые задачи, раскройная задача и задача о смесях.
Слабоструктуризованные проблемы, как правило, связаны с выработкой долгосрочных программ действий, каждая из которых затрагивает многие аспекты деятельности отрасли или предприятия, и реализуются поэтапно. Процесс решения этих проблем содержит наряду с хорошо изученными, количественно формализуемыми элементами также неизвестные и неизменяемые компоненты, испытывающие сильное влияние фактора неопределённости. Также проблемы решаются с помощью количественно-качественной методологии системного анализа, сочетающей математические расчёты с качественными соображениями.
К слабоструктуризованным можно отнести такие проблемы, как создание новых производственных комплексов, определение стратегии технического перевооружения производства, совершенствование организации управления отраслью или предприятием и многие другие.
Неструктуризованные проблемы отличаются значительной неопределённостью и неформализуемостью как самих целей деятельности, так и возможных программ действий. При решении этих проблем суждения, опыт, интуиция руководителей, квалификация специалистов, членов трудового коллектива приобретают решающее значение. Научные методы решения таких проблем состоят в использовании общих идей системного подхода в процессе систематизации мыслительной деятельности при рассмотрении проблем, а также в правильной организации экспертных опросов и квалификационной обработке данных.
Эвристика (от греческого heuriskö – отыскиваю, открываю) – совокупность знаний, опыта, интуиции, интеллекта, используемых для получения решений с помощью неформальных правил и "здравого смысла".
К неструктурированным проблемам можно, например, отнести проблему формирования долгосрочных и среднесрочных планов научно – исследовательских и опытно – конструкторских работ, построение планов социального развития коллектива и т. п. В этих сферах какая бы то ни было формализация выбора наилучших программ действий наименее оправдана, хотя использование количественной информации и проведение вспомогательных расчётов также может быть весьма полезны.
Важно подчеркнуть, что отнесение той или иной проблемы к одному из названных классов не носит постоянного характера. В процессе всё более глубокого изучения, осмысления и анализа проблемы она из неструктуризованной может превратиться в слабоструктурированную (при повышении удельного веса формально-логического и математического описания проблемы и её элементов), затем в хорошо структуризованную, а в ряде случаев и в стандартную (сводимую к тривиальному ППР или к выполнению рутинных, полностью автоматизируемых операций).
Часто решения стандартных и хорошо структуризованных проблем называются программируемыми, а слабоструктуризованных и неструктуризованных – непрограммируемыми.
Методы решения хорошо структурированных проблем основаны на применении математических моделей так называемого оптимизационного программирования.
Остановимся на понятии модели, экономико-математической модели, их классификации.