Тема 4 Линейное программирование

Общую задачу линейного программирования с ограничением в форме уравнений и неравенств мы уже рассматривали. Но рассмотрим её ещё раз.

Под линейным программированием понимается отыскание оптимального решения в задачах следующего вида:

Требуется найти экстремальное (максимальное или минимальное) значение функции

(4.1)

при следующих линейных ограничениях:

(4.2)

(4.3)

Линейная функция L называется целевой функцией. В выражениях (4.1) – (4.3) х₁,х₂,…,х_n – искомые (неизвестные) величины. Ими могут быть, в зависимости от вида задачи, количество изделий первого, второго и т.д. типоразмера, количество материала соответствующей марки, количество оборудования какой-либо группы и т.п.

Коэффициенты при неизвестных в целевой функции (4.1) с₁, с₂,…,с_n – заданные постоянные величины. Их смысл также зависят от решаемой задачи и могут представлять собой себестоимость, цену или прибыль от одного изделия соответствующего типоразмера, цену оборудования, материалов, недогрузку оборудования во времени (в часах) или отходы материала при раскрое и т.п. Проблема выбора показателей, определяющих значения с₁, с₂,…,с_n в целевой функции (4.1), зависит от выбора критерия и показателя оптимальности решаемых экономических задач.

Коэффициентами при неизвестных в линейных уравнениях (4.2) являются числа a_ij, где i – номер уравнения или строки, в котором находится данный коэффициент (i=1,2,…,m), j – номер неизвестной, при которой стоит этот коэффициент (j=1,2,…,n)(номер столбца).

Коэффициенты a_ij являются заданными постоянными числами и выражают те или иные затраты: времени на изготовление одного изделия по одной группе оборудования, материала на изготовление одного изделия и т.д.

Свободные члены в линейных неравенствах (4.2) b_i (i=1, 2,…,m) обозначают, например, величину тех или иных ресурсов, которыми располагают или могут располагать предприятия, экономический район или народное хозяйство страны в целом. Ими может быть оборудование или время его работы, запасы материалов, численность рабочих, продолжительность рабочего времени и др. Выражение (4.3) означает, что искомые переменные величины x_ij не могут быть отрицательными.

Каждое из решений системы (4.2) и (4.3) принято называть возможным или допустимым планом.

Всё множество решений или допустимых планов называется областью определения целевой функции. Она может оказаться пустой, если условия (4.2) и (4.3) несовместны.

Из множества решений, удовлетворяющих условиям (4.2) и (4.3), необходимо найти такое, при котором целевая функция (4.1) принимала бы максимальное (или минимальное) значение.

Нахождение экстремума целевой функции (4.1) при условии, что переменные удовлетворяют линейным ограничениям (4.2) и (4.3), и составляет предмет линейного программирования.

При решении задач методом линейного программирования может быть 3 случая:

1. условия задач (4.2) и (4.3) противоречивы, т.е. не существует набора чисел х₁, х₂,…,х_n, удовлетворяющих всем условиям задачи;

2. условия (4.2) и (4.3) непротиворечивы, но целевая функция не ограничена;

3. система условий (4.2) и (4.3) совместна, и экстремум целевой функции существует, т.е. значение максимума или минимума целевой функции (4.1) конечно.

Для большинства правильно поставленных практических задач будет иметь место третий случай.

Область применения линейного программирования довольно широка – это и задачи составления рациона для кормления животных (сельское хозяйство), задача использования сырья в топливно-энергетической сфере хозяйства. Но нас будут в основном интересовать задачи экономики и машиностроительного производства, решаемые методом линейного и вообще математического программирования.

Данные задачи могут быть подразделены на две основные группы. Первая группа – задачи, область применения которых ограничивается отдельным предприятием. К ним относятся задачи, связанные:

1. с технологией производства или технологическим планированием;

2. с оперативно-производственным планированием;

3. с технико-экономическим планированием.

В первую подгруппу входят задачи, получившие в литературе по линейному программированию названия: станковая, раскройная и о смесях. Это были первые задачи, решенные методом линейного программирования в 1939 г. в известной работе Канторовича.

Станковая задача может быть отнесена и к задачам оперативно-производственного планирования. Но, учитывая, что на машиностроительных заводах она может применяться главным образом для выбора оптимального варианта технологического процесса, её целесообразнее рассматривать в первой подгруппе.

К задачам, связанным с оперативно-производственным программированием (вторая подгруппа), относятся задачи по оптимальному закреплению деталеопераций на рабочих местах.

В третью подгруппу включаются задачи по установлению оптимальных годовых производственных программ (производственных мощностей) предприятия, цеха, участка и оптимальному распределению установленных программ по более коротким отрезкам времени –кварталам и месяцам. Задачи этой подгруппы связаны также и с оперативно-производственным планированием, главным образом при определении оптимальной производственной мощности (в натуральных единицах измерения) предприятия в целом и отдельных цехов, а также производственной программы выпуска изделий по месяцам и кварталам года.

Во вторую группу входят задачи, охватывающие отдельную отрасль или народное хозяйство страны. К ним относятся задачи типа транспортных, задачи по размещению и концентрации производства и определению экономической эффективности капитальных вложений и новой техники. К задачам этой группы примыкают и вопросы составления межотраслевых балансов.

Рассмотрим станковую задачу кратко. Эту задачу впервые поставил и решил методом разрешающих множителей Л. В. Канторович на примере задачи фанерного треста.

Таблица 4.1