Г.А. Постовалова, П.В. Ягодовский - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Контрольные работы по математике. Часть I

Затем вычислим значения функции f(x) и ее¨ производной в точке x0 = 2:

√

f(x0) = f(2) = 3 8 − 4 + 8 − 4 = 2,

И наконец получим приближенное¨ значение функции f(x) в точке x = 1,98:

f(x) = f(1,98) ≈ f(x0) + f0(x0) · (x − x0) =

=f(2) + f0(2) · (1,98 − 2) = 2 + 1 · (−0,02) = 1,980.

4.Найдем¨ производную функции y = f(x):

Функция является эластичной в точке x0 тогда и только тогда, когда

|Ey,x(x0) > 1|.

Таким образом, данная в этом задании функция в точке x = 2 эластична.

71

6. Найдем¨ первые три производные функции f(x):

f0(x) = (cos(sin x + x))0 = −sin(sin x + x) · (cos x + 1),

f00(x) = −cos(sin x + x) · (cos x + 1)2 + sin(sin x + x) · sin x,

f000(x) = sin(sin x + x) · (cos x + 1)3+

+ 3 cos(sin x + x) · (cos x + 1) sin x + sin(sin x + x) cos x.

Затем вычислим их значения, а также значение исходной функции в точке x = 0:

Подставим полученные численные значения в формулу Маклорена:

f(x) ≈ f(0) + f0(0) x + f00(0) x2 + f000(0) x3 + o(x3) = 2 6

= 1 − 2 x2 + o(x3).

7. Проведем¨ полное исследование данной функции по обычной схеме.

Область определения исследуемой функции: x (−∞, ∞). Выясним, есть ли у нее¨ наклонные ассимптоты.

72

Напомним, что если прямая y = a x+ b является наклонной ассимптотой функции при x → +∞ или при x → −∞, то

a = lim f(xx) , b = lim(f(x) − a x),

где пределы берутся при x → ∞ или x → −∞ соответственно. Иногда наклонные ассимптоты на −∞ и +∞ совпадают. Если a = 0, то ассимптота называется горизонтальной.

В нашем случае при x → +∞:

(При вычислении второго предела было использовано правило Лопиталя.)

Таким образом, при x → +∞ у исследуемой функции имеется горизонтальная ассимптота y = 0.

Далее, при x → −∞:

(Тут опять использовано правило Лопиталя.)

Такой результат означает, что при x → −∞ у исследуемой функции наклонной ассимптоты нет.

Найдем¨ точки пересечения с осями координат. Несложно убедиться, что такая точка лишь одна с координатами (0, 0).

Исследуемая функция не четная¨ (f(x) 6= f(−x)) и не нечетная¨ (f(x) 6= −f(−x)). Кроме того, она не периодическая.

73

Вычислим производную функции:

Она обращается в ноль в точке x = 1 и не определена в точке x = 0. Определив знаки производной на получившихся промежутках, получаем следующую схему.

Из этой схемы видно, что в точке x = 0 имеется локальный минимум,

а в точке x = 1 — локальный максимум. В точке x = 1 функция равна e−2/3 ≈ 0,51.

√

Она обращается в ноль в точках x = 1 ± 6/2 и не определена в точке x = 0. Определив знаки второй производной на получившихся проме-

74

жутках, получаем следующую схему.

Из этой схемы видно, что функция имеет две точки перегиба:

√ √

x = 1 − 6/2 ≈ −0,22 и x = 1 + 6/2 ≈ 2,22.

Функция в этих точках принимает значения

Точка x = 0 у исследуемой функции является точкой локального минимума. Но в этой точке у функции не определены ее¨ производные, кроме того справа и слева от этой точки функция является вогнутой. Это означает, что в этой точке график имеет вид острого "клювика", направленного вниз. В самой точке x = 0 касательная к графику вертикальна.

Наконец, используя всю полученную информацию, построим график.

75