Г.А. Постовалова, П.В. Ягодовский - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Контрольные работы по математике. Часть I

те, что lim xn =

lim

2n + (−1)n

= 1.

2n

n→∞

n→∞

нено неравенство |xn

− a| < 0,001, где a = nlim xn.

→∞

2.

Найдите пределы числовых последовательностей:

3 + 7 n2

n→∞

n→∞ n − pn

2 n2 + 1

а)

lim

;

б) lim

2 + 2 n ;

в)

lim

1 + 3 + . . . + (2 n − 1)

.

n→∞

3 n2

3.

Найдите пределы функций:

f(x) =

x

.

x

2

−

те, что lim xn =

lim

2 n − 1

=

2

.

9

n→∞

n→∞

9 n

б) Найдите такое N, чтобы для всех значений n > N было выпол-

нено неравенство |xn − a| < 0,01, где a = nlim xn.

→∞

2.

Найдите пределы числовых последовательностей:

√

9 n2 − n + 6

а)

lim

;

б)

lim

3 n

9 n2 + 2

;

n→∞

n + 2

n→∞

− p

в)

lim

3 + 7 + . . . + (4 n − 1)

.

n→∞

2 n2 + 3

3.

Найдите пределы функций:

а)

lim

sin ax

;

б) lim (cos πx)1/(x sin πx);

x→0 ln(1 + b x)

x→0

lg x − 1

в)

lim

2 e(x

−

1)

−

1

1/(x−1)

;

г)

lim

.

x→1

x→10

√x − 9 − 1

4.

С помощью простейших преобразований (растяжение, сжатие,

сдвиг, отражение и т. д.) постройте график функции

f(x) = 2 sin

1

π x +

1

π .

6

6

5.

Найдите точки разрыва функции

f(x) =

(x + 11) cos πx

.

(x2 − (1/2) x) |x + 11|

нено неравенство |xn − a| < 0,001, где a = nlim xn.

→∞

2.

Найдите пределы числовых последовательностей:

1 + 2 n2

3 n4

n→∞

n→∞

p4 n

+ n − 2 n

6 n4 + n−2 − 5

а)

lim

;

б)

lim

2

;

в)

lim

−1 − 2 − . . . − n

.

n→∞

n2

3.

Найдите пределы функций:

x→3 p

x→∞

− −

−

−

sin πx

3

(5 + x)

2

p

p

2 x

а)

lim x x (x

2)

x2

3 ;

б) lim

;

в)

lim

1 + sin2 3x

1/ ln(cos x);

г)

lim

6

− 1

.

x→0

x→0

sin 3 x

те, что

lim xn =

lim

(−1)n + 4n

= 1.

n→∞

n→∞

4n

б) Найдите такое N, чтобы для всех значений n > N было выпол-

нено неравенство |xn − a| < 0,001, где a = nlim xn.

→∞

2.

Найдите пределы числовых последовательностей:

√

4 n2 + 3 n

2

n→∞

n→∞ 3 n − p9 n

3 n + 1

−

а)

lim

;

б) lim

2 + 2 n ;

в)

lim

−2 − 4 − . . . − 2 n

.

n→∞

3 n2

3.

Найдите пределы функций:

а)

lim

2x − 2

;

б)

lim (1

−

x)1/ tg x;

x

1

ln x

x 0

→

→

в)

lim

cos(1/x) tg x − 1

;

г)

lim (

−

sin x)1/(2 x−3 π)2 .

x

→

0

ln(x + 2)

x

3π/2

→

те, что lim xn =

lim

6 n − 5

= 3.

2 n

n→∞

n→∞

нено неравенство |xn − a| < 0,01, где a = nlim xn.

→∞

2.

Найдите пределы числовых последовательностей:

5 n + 6

n→∞

n→∞ pn

+ 1 − n

√4 n2 − n + 1

а)

lim

;

б) lim

2

;

в)

lim

−1 − 3 − . . . − (2 n − 1)

.

n→∞

2 n2

3.

Найдите пределы функций:

lim

− p

;

б) lim

ex − 1

а)

x

x (x

−

1)

;

x→∞

x→0 sin(x/2)

в)

lim(cos x)1/(x ln(1+x));

г) lim ln(2 + sin(1/x) arctg x).

x→0

x→0

1

f(x) = −4 sin

1

π x +

π + 1.

2

3

1. а) Пользуясь определением предела последовательности, докажи-

1 − 5

√

те, что

lim x =

lim

n

=

5.

n→∞

n

n→∞

√n

−

б) Найдите такое N, чтобы для всех значений n > N было выпол-

нено неравенство |xn − a| < 0.1, где a = nlim xn.

→∞

2. Найдите пределы числовых последовательностей:

1

2 n

n→∞

n − p4 n + n

n→∞ √9 n2−+ n − 5

а)

lim

;

б)

lim

2

;

2 n2 + 1

в)

lim

.

n→∞ 1 + 2 + . . . + n

3. Найдите пределы функций:

а)

lim

1 − 2 cos x

;

б) lim

1

(7−2 x

−

1);

x

π/3

sin 3x

x

→

0 x

→

в)

lim(1

−

x2)1/(x tg x);

г)

lim

(sin x)2/(2 x−π).

x

→

0

x

→

π/2

те, что lim x

n

= lim

10 − 3n

=

−

1.

3n

n→∞

n→∞

x→π/4

ln(tg x)

x→0

− cos x

ctg2 x

в) lim

sin x − cos x

;

г) lim

6

5

.

те, что lim xn = lim

n

=

1

.

2

n→∞

n→∞ 2 n + 1

б) Найдите такое N, чтобы для всех значений n > N было выпол-

нено неравенство |xn − a| < 0,01, где a = nlim xn.

→∞

2.

Найдите пределы числовых последовательностей:

4 − n2

n2 + 1

а)

lim

+

;

б) lim

9 n2

+ 7 n

−

3 n ;

n→∞ n + 1

n − 1

n→∞

p

в)

lim

2 n2

+ 3

.

n→∞ 1 + 3 + . . . + (2 n + 1)

3.

Найдите пределы функций:

f(x) =

x

− 1 .

x

−

2

те, что lim x

= lim

3 − 8 n

=

−

4.

2 n

n→∞

n

n→∞

б) Найдите такое N, чтобы для всех значений n > N было выпол-

нено неравенство |xn − a| < 0,01, где a = nlim xn.

→∞

2.

Найдите пределы числовых последовательностей:

2 − n2

n2 + 2

а)

lim

+

;

б) lim

2 n

4 n2

+ 3 n ;

n→∞ n + 2

n − 2

n→∞

− p

lim

1 + 3 n2

в)

.

n→∞ 2 + 4 + . . . + 2 n

3.

Найдите пределы функций:

а)

lim

ln(5 − 2 x)

;

б) lim (1 + tg2 x)1/ln(1+3 x2);

→

10 − 3 x − 2

x

→

x 2 √

0

в)

lim (cos x)2/(x−4 π)2 ;

г)

lim ln(2 + sin(1/x) arctg x).

x→4 π

x→0

те, что lim xn = lim

5 n − 1

=

5

.

3

n→∞

n→∞

3 n

б) Найдите такое N, чтобы для всех значений n > N было выпол-

нено неравенство |xn − a| < 0,01, где a = nlim xn.

→∞

2.

Найдите пределы числовых последовательностей:

3 − n2

n2 + 3

а)

lim

+

;

б)

lim

9 n2 + 5 n

−

3 n ;

n→∞ n + 3

n − 3

n→∞ p

в)

lim

1 + 2 + . . . + n

.

n→∞

2 n2 − 1

3.

Найдите пределы функций:

а)

lim

35 x−3 − 32 x2

;

б) lim (1

−

ln(cos x))1/tg2 x;

x 1

tg πx

x

→

0

→

1 −

√3

в)

lim(2

−

x/3)1/(x

−

3);

г) lim

.

x

x→3

x→0

· cos(1/x)

4.

С помощью простейших преобразований (растяжение, сжатие,

сдвиг, отражение и т. д.) постройте график функции

f(x) =

−x2 + 2 |x|

− 8 .