Г.А. Постовалова, П.В. Ягодовский - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Контрольные работы по математике. Часть I

Контрольная работа 2

ВАРИАНТ 9

1. Найдите производные следующих функций:

а) y = 5arctg √x2+1; б) y = (x − 3)2 ctg x 1/5; 3cos x

в) y = (2x2 + 1)arccos(x).

2. Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной урав-

нением

ey2 · sin x − y3 x = 0

3. Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифференциала приближенное¨ значение функции

f(x) = earctg 2x

в точке x = −0,02. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите 0.

4. Вычислите эластичносить функции

f(x) = earctg 2x−π/4

в точке x = 1/2. Эластична ли функция f(x) в этой точке? 5. Найдите пределы, используя правило Лопиталя

6. Разложите в ряд Маклорена функцию

f(x) = arcsin 2x

сточностью до o(x3).

7.Проведите полное исследование функции

√

f(x) = − 3 x + 2 · 2−x/(3 ln 2)

и постройте ее¨ график.

41

Контрольная работа 2

в) y = (ln x)arctg x.

2. Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной урав-

нением

ecos(y2) − ey · x2 = 0

3. Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифференциала приближенное¨ значение функции

p

f(x) = 3 4 − x2 + 5 x

в точке x = 0,8. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите 1.

4. Вычислите эластичносить функции

p

f(x) = 3 4 − x2 + 5 x

вточке x = 1. Эластична ли функция f(x) в этой точке?

5.Найдите пределы, используя правило Лопиталя

6. Разложите в ряд Маклорена функцию

f(x) = π − arccos(3x)

сточностью до o(x3).

7.Проведите полное исследование функции

p

f(x) = 3 x3 − 6 x2 + 9 x

и постройте ее¨ график.

42

Контрольная работа 2

ВАРИАНТ 11

1. Найдите производные следующих функций:

а) y = 5cos x · √x2 + 1; б) y = ctg2 x · 3x2 · arcsin(x2); в) y = (arctg x)1/x.

2. Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной урав-

нением

exy + sin y − x2y = 0

3. Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифференциала приближенное¨ значение функции

p

f(x) = 9 − ln(1 − x2 + x)

в точке x = 1,05. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите 1.

4. Вычислите эластичносить функции

p

f(x) = 9 − ln(1 − x2 + x)

вточке x = 1. Эластична ли функция f(x) в этой точке?

5.Найдите пределы, используя правило Лопиталя

6. Разложите в ряд Маклорена функцию

f(x) = −arctg(x2)

сточностью до o(x3).

7.Проведите полное исследование функции

f(x) =

x3

3 − x2

и постройте ее¨ график.

43

Контрольная работа 2

ВАРИАНТ 12

1. Найдите производные следующих функций:

√ p

а) y = ln 1 + cos2 x; б) y = sin3 x · 5tg x · 3 (x + 3)2;

в) y = (sin x)ctg x.

2. Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной урав-

нением

esin x + arctg(y/x) = 0

3. Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифференциала приближенное¨ значение функции

f(x) = ln(3 sin x + ex)

в точке x = −0,01. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите 0.

4. Вычислите эластичносить функции

f(x) = 3 sin(πx2)

вточке x = 1/2. Эластична ли функция f(x) в этой точке?

5.Найдите пределы, используя правило Лопиталя

6. Разложите в ряд Маклорена функцию

f(x) = arcctg(3 x − 1)

сточностью до o(x3).

7.Проведите полное исследование функции

p

f(x) = 7 (1 − x)5 (ln(x2 − 2 x + 1) − 14/5)

и постройте ее¨ график.

44

Контрольная работа 2

в) y = (x2 + 3)5 .

2. Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной уравнением

x2y + arctg(y/x) = 0

3. Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифференциала приближенное¨ значение функции

q

f(x) = 5 − e−x2+x

в точке x = 1,2. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите 1.

4. Вычислите эластичносить функции

q

f(x) = 5 − e−x2+x

вточке x = 1. Эластична ли функция f(x) в этой точке?

5.Найдите пределы, используя правило Лопиталя

6. Разложите в ряд Маклорена функцию

f(x) = ex(x+1)

сточностью до o(x3).

7.Проведите полное исследование функции

f(x) =

2 x3

x2 − 1

и постройте ее¨ график.

45

Контрольная работа 2

ВАРИАНТ 14

1. Найдите производные следующих функций:

а) y = arcsin ex2 ; б) y = 3sin2 x · arccos2 x · ln3(x2 + 1); в) y = (1 + ln x)sin2 x.

2. Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной урав-

нением

ln(x/y) + y3 + x y = 0

3. Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифференциала приближенное¨ значение функции

f(x) = tg π4 (sin (x/π) + 1)

в точке x = 0,12. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите 0.

4. Вычислите эластичносить функции

в точке x = 1. Эластична ли функция f(x) в этой точке? 5. Найдите пределы, используя правило Лопиталя

6. Разложите в ряд Маклорена функцию

f(x) = arctg(cos x)

сточностью до o(x3).

7.Проведите полное исследование функции

p

f(x) = 5 −x2 − 2 x − 1 · 3−2x/(5 ln 3)

и постройте ее¨ график.

46

в) y = (ln(cos x))x3 .

2. Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной урав-

нением

y2 + 2 ln y − x4 = 0

3. Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифференциала приближенное¨ значение функции

в точке x = 0,21. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите 0.

4. Вычислите эластичносить функции

π √

f(x) = cos 3 e 3(x−1)/(2π)

вточке x = 1. Эластична ли функция f(x) в этой точке?

5.Найдите пределы, используя правило Лопиталя

6. Разложите в ряд Маклорена функцию

p

f(x) = 3 8 + x2

сточностью до o(x3).

7.Проведите полное исследование функции

p

f(x) = 3 −x3 + x2 + 9 x − 9

и постройте ее¨ график.

47

Контрольная работа 2

ВАРИАНТ 16

1. Найдите производные следующих функций:

а) y = arctg(2x); б) y = ex2 · tg3 x · arcsin x;

в) y = (x2 + 1)ln2 x.

2. Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной урав-

нением

ex sin y + x2y = 0

3. Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифференциала приближенное¨ значение функции

p

f(x) = 3 (arcsin x + cos x)4

в точке x = −0,01. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите 0.

4. Вычислите эластичносить функции

p

f(x) = 3 (arcsin(x + 1) + cos πx)4

вточке x = −1. Эластична ли функция f(x) в этой точке?

5.Найдите пределы, используя правило Лопиталя

6. Разложите в ряд Маклорена функцию

f(x) = sin(π/(x + 1))

сточностью до o(x3).

7.Проведите полное исследование функции

f(x) =

4 x2

x3 − 4

и постройте ее¨ график.

48

Контрольная работа 2

ВАРИАНТ 17

1. Найдите производные следующих функций:

в) y = √1 + 3x x2 .

2. Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной урав-

нением

e−y cos x + exy = 0

3. Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифференциала приближенное¨ значение функции

f(x) = e5 arcsin(ln x)

в точке x = 0,99. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите 1.

4. Вычислите эластичносить функции

f(x) = earcsin(ln x)/2

вточке x = 1. Эластична ли функция f(x) в этой точке?

5.Найдите пределы, используя правило Лопиталя

6. Разложите в ряд Маклорена функцию

49

Контрольная работа 2

ВАРИАНТ 18

1. Найдите производные следующих функций:

2. Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной урав-

нением

exy − x2 + y2 = 0

3. Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифференциала приближенное¨ значение функции

в точке x = −0,52. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите −0.5.

4. Вычислите эластичносить функции

p

f(x) = arccos 1 − x2

вточке x = −1/2. Эластична ли функция f(x) в этой точке?

5.Найдите пределы, используя правило Лопиталя

6. Разложите в ряд Маклорена функцию

f(x) = tg(3 x + π/4)

сточностью до o(x3).

7.Проведите полное исследование функции

x3

f(x) = e 2−x3

и постройте ее¨ график.

50