Г.А. Постовалова, П.В. Ягодовский - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Контрольные работы по математике. Часть I

Контрольная работа 1

ВАРИАНТ 19

1. а) Пользуясь определением предела последовательности, докажи-

те, что

lim xn = lim

n

= 1.

n→∞

n→∞ n + 1

б) Найдите такое N, чтобы для всех значений n > N было выпол-

нено неравенство |xn − a| < 0,01, где a = nlim xn.

→∞

2. Найдите пределы числовых последовательностей:

n2 + 4

− n

n→∞ 4 n − p16 n

+ 1

n→∞ n − 2

а)

lim

;

б)

lim

2

;

в)

lim

3 (1 + 2 + . . . + n)

.

n→∞

n2 + 1

3. Найдите пределы функций:

а)

lim

sin(x) − sin(7π/6)

;

б) lim

lg(1 + 10 x)

;

→

x

−

7π/6

x→0

x

x 7π/6

x→∞

1 + x

x;

x→∞

в)

lim

x − 1

г)

lim sin(x2) arctg(1/x2).

те, что lim xn

= lim

3 n − 1

=

3

.

2

n→∞

n→∞ 1 + 2 n

б) Найдите такое N, чтобы для всех значений n > N было выпол-

нено неравенство |xn − a| < 0,01, где a = nlim xn.

→∞

2.

Найдите пределы числовых последовательностей:

n2 + 9

√

+ 4

а)

lim

n ;

б) lim

n

;

n + 3 −

n→∞

n→∞ 5 √10 + n

в)

lim

2 (1 + 2 + . . . + (2 n − 1))

.

n→∞

8 n2 − 5

3.

Найдите пределы функций:

4

−

x − π

x→1

1 −

√x

x→π

а)

lim

cos(πx/2)

;

б) lim

tg

x

+ (x

π) cos

x

;

в)

lim(1 + 3 x)1/sin 2x;

г)

lim

6 − x

tg(πx/6).

x→0

x→3

3

те, что lim xn = lim

1 + 2 n

=

2

.

5

n→∞

n→∞ 5 n − 2

б) Найдите такое N, чтобы для всех значений n > N было выпол-

нено неравенство |xn − a| < 0,01, где a = nlim xn.

→∞

2.

Найдите пределы числовых последовательностей:

2 n2 + 9

− 2 n

n→∞

pn

+ 3 n − n

n→∞

n − 2

а)

lim

;

б)

lim

2

;

в)

lim

3 (2 + 4 + . . . + 2 n)

.

n→∞

1 − 5 n2

3.

Найдите пределы функций:

а)

lim

ln(2 x − 5)

;

б) lim (1

−

2 x2)1/(x tg x));

x→3

esin πx − 1

x→0

x→0

arctg x

x→1

−

−

в)

lim

1 −

7−x

;

г)

lim

sin(x

1) cos(1/(x

1)) .

f(x) =

.

3 − x

те, что lim xn =

lim

7 n − 10

=

7

.

2 n

n→∞

n→∞

2

б) Найдите такое N, чтобы для всех значений n > N было выпол-

нено неравенство |xn − a| < 0,01, где a = nlim xn.

→∞

2.

Найдите пределы числовых последовательностей:

3 n2 + 2

− 3 n

n→∞

n − pn

n→∞ n + 3

а)

lim

;

б) lim

2 + 3 n ;

в)

lim

3 − 7 n2

.

n→∞ 5 (1 + 3 + . . . + (2 n − 1))

3.

Найдите пределы функций:

а)

lim

ln(sin x)

;

б)

lim (1 + sin2 x)1/(1−cos x);

(2 x

x π/2

−

π)2

x→0

→

1/(x−1)

x→∞ 3 − arctg x2

x→1

2 x

1

x

x−

+ 1

в)

lim

;

г) lim

sin x .

нено неравенство |xn − a| < 0,01, где a = nlim xn.

→∞

2.

Найдите пределы числовых последовательностей:

9 − n2

n2 + 1

5 − √

;

а)

lim

+

;

б) lim

n

n + 2

n − 2

n→∞

n→∞ 2

√10 + n

в)

lim

1 + 2 + . . . + n

.

n→∞

5 n2

3.

Найдите пределы функций:

а)

lim

x sin 2x

; б)

lim

ln(2 + cos x)

;

(3sin x − 1)2

x→0 ln(cos 5x)

x→π

в)

lim(1 sin x)1/ln(1+2 x);

г)

lim (1 + x π/2)tg 3x.

x

→

0

−

→

−

x

π/2

те, что lim xn

= lim

6 n + 1

= 2.

n→∞

n→∞

3 n

б) Найдите такое N, чтобы для всех значений n > N было выпол-

нено неравенство |xn − a| < 0,01, где a = nlim xn.

→∞

2.

Найдите пределы числовых последовательностей:

2(n+1)

n→∞ 4 n − p

n→∞

2n − 3

3 n + 16 n

а)

lim

;

б) lim

2

;

в)

lim

1 + 3 + ··· + 3(n−1)

.

n→∞

3(n+1) + 1

3.

Найдите пределы функций:

−

x→∞

x

3

x + 2

x − 1

x→0

а)

lim

p3

3

p

3

p

3

;

б) lim (1+4 x)1/(3 tg x);

+ 8

в)

lim

(x − π ) cos 5x

;

г) lim (3

−

2 x)tg(πx/2).

x→π

esin 2x − 1

x→1

нено неравенство |xn − a| < 0.1, где a = nlim xn.

→∞

2.

Найдите пределы числовых последовательностей:

3(n−1)

√

а)

lim

;

б) lim

3 n2 − n + 7

;

n − 2

n→∞

5 − 3n

n→∞

lim

1 + 2 + . . . + 2n

в)

.

2n

n→∞

− 5

3.

Найдите пределы функций:

f(x) =

−x2

+ 4 |x|

− 5 .

те, что lim xn = lim

7 + 5 n

=

5

.

2

n→∞

n→∞ 1 + 2 n

б) Найдите такое N, чтобы для всех значений n > N было выпол-

нено неравенство |xn − a| < 0,01, где a = nlim xn.

→∞

2.

Найдите пределы числовых последовательностей:

а)

lim

9 n2 − 1

;

б) lim

√

√

;

n + 5

−

n

n→∞ sn2 − 2 n + 8

n→∞

в)

lim

n2 + 3 n − 2

.

n→∞ 1 + 2 + . . . + n

3.

Найдите пределы функций:

а)

lim

35x − 1

;

б) lim

eπ − ex

;

x→0 arcsin 2x

x→π sin 5x − sin 3x

в)

lim(1

3 x)1/ ln(1+2 x);

г) lim

3 sin x

x

.

−

x −

x→0

x→∞

Контрольная работа 1

ВАРИАНТ 27

1. а) Пользуясь определением предела последовательности, докажи-

те, что lim xn =

lim

1 − 6 n

= 3.

n→∞

n→∞ 5 − 2 n

б) Найдите такое N, чтобы для всех значений n > N было выпол-

нено неравенство |xn

− a| < 0,01, где a = nlim xn.

→∞

2. Найдите пределы числовых последовательностей:

√

√

√

;

а)

lim

3 n2 − n + 2

;

б) lim

1 + 2 n

−

2 n

n→∞

n − 1

n→∞

√

в)

lim

9 n2

+ n + 1

.

n→∞ 1 + 3 + . . . + (2 n − 1)

3. Найдите пределы функций:

lim

3x + 1

lim

1 + ctg x

а)

;

б)

;

x→±∞

3x − 1

x→−π/4 1/sin x + 1/cos x

5 + x

(x−1)

x→π/2

−

x→∞ x + 2

в)

lim

;

г) lim

(1 + cos x)

1/ cos x.

те, что lim xn =

lim

n − 1

=

1

.

4

n→∞

n→∞ 4 n + 5

нено неравенство |xn − a| < 0,01, где a = nlim xn.

→∞

2.

Найдите пределы числовых последовательностей:

n→∞

n→∞

√2 n + 3

−

а)

lim

√n − 5

;

б) lim

√3 n + 1

√3 n ;

lim

5 n2 + n + 2

в)

.

n→∞ −1 − 2 − . . .

− n

3.

Найдите пределы функций:

lim

√

− 3

;

2 · 5x − 3

а)

2 x + 3

б)

lim

;

x→3

3 − x

x→±∞ 9 · 5x + 4

x→∞

x

5

x

x→0 x2

sin2(2 x3)

x

− 2

arctg2(4 x2)

в)

lim

−

;

г) lim

.