Г.А. Постовалова, П.В. Ягодовский - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Контрольные работы по математике. Часть I

Контрольная работа 2

ВАРИАНТ 19

1. Найдите производные следующих функций:

а) y = arccos (1 − 2 x)2 ; б) y = esin x · cos5 x · (2 x + 10)10;

в) y = (1 + cos2 x)ln x.

2. Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной уравнением

x2y + arcsin(x/y) = 0

3. Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифференциала приближенное¨ значение функции

f(x) = e3 tg(ln x))

в точке x = 1,05. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите 1.

4. Вычислите эластичносить функции

f(x) = etg(ln x)/3

вточке x = 1. Эластична ли функция f(x) в этой точке?

5.Найдите пределы, используя правило Лопиталя

6. Разложите в ряд Маклорена функцию

f(x) = ctg(2 x + π/6h)

сточностью до o(x3).

7.Проведите полное исследование функции

f(x) =

x4

x3 − 2

и постройте ее¨ график.

51

Контрольная работа 2

ВАРИАНТ 20

1. Найдите производные следующих функций:

в) y = (x2 + 1)sin x.

2. Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной урав-

нением

x3y2 + x y + ln x − 1 = 0

3. Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифференциала приближенное¨ значение функции

p

f(x) = x3 − 3 x2 + 5 x − 2 + ln(x − 1)

в точке x = 2,2. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите 2.

4. Вычислите эластичносить функции

p

f(x) = x3 − 3 x2 + 5 x − 2 + ln(x − 1)

вточке x = 2. Эластична ли функция f(x) в этой точке?

5.Найдите пределы, используя правило Лопиталя

6. Разложите в ряд Маклорена функцию

f(x) = ln(ex + e2x − 1)

сточностью до o(x3).

7.Проведите полное исследование функции

p

f(x) = 3 x2 + 2 x + 1 · e−x/3

и постройте ее¨ график.

52

Контрольная работа 2

ВАРИАНТ 21

1. Найдите производные следующих функций:

r

а) y = 14 tg4 x − ln(cos x); в) y = (sin x)arctg x.

2. Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной урав-

нением

exy + x2y2 − 13 = 0

3. Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифференциала приближенное¨ значение функции

√

f(x) = 5 sin x + ex

в точке x = 0,2. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите 0.

4. Вычислите эластичносить функции

p

f(x) = 5 sin(πx) + ex−1

в точке x = 1. Эластична ли функция f(x) в этой точке? 5. Найдите пределы, используя правило Лопиталя

6. Разложите в ряд Маклорена функцию

f(x) = arcsin(x/π)

сточностью до o(x3).

7.Проведите полное исследование функции

√

f(x) = 5 x + 2 · e(1−x)/5

и постройте ее¨ график.

53

Контрольная работа 2

в) y = (x3 + 3)tg x.

2. Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной уравнением

arcsin(xy) + x2 + y2 = 0

3. Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифференциала приближенное¨ значение функции

f(x) = ln(arctg 2x + cos 3x)

в точке x = 0,01. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите 0.

4. Вычислите эластичносить функции

f(x) = cos(πx2)

вточке x = 1/2. Эластична ли функция f(x) в этой точке?

5.Найдите пределы, используя правило Лопиталя

6. Разложите в ряд Маклорена функцию

f(x) = arccos(3x/π)

сточностью до o(x3).

7.Проведите полное исследование функции

p

f(x) = 3 x3 + 4 x2 + 4 x

и постройте ее¨ график.

54

Контрольная работа 2

ВАРИАНТ 23

1. Найдите производные следующих функций:

2. Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной уравнением

p

earctg(y/x) − x2 + y2 = 0

3. Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифференциала приближенное¨ значение функции

p

f(x) = 3 ex + cos x + tg 3x

в точке x = 0,1. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите 0.

4.Вычислите эластичносить функции

√√

f(x) = 3 ex−1

вточке x = 1. Эластична ли функция f(x) в этой точке?

5.Найдите пределы, используя правило Лопиталя

6. Разложите в ряд Маклорена функцию

f(x) = sin(sin x)

сточностью до o(x3).

7.Проведите полное исследование функции

f(x) =

7 x − 6

5 x2 − 15 x + 10

и постройте ее¨ график.

55

Контрольная работа 2

ВАРИАНТ 24

1. Найдите производные следующих функций:

а) y = ln(1 + arctg(x2)); б) y = 2tg(1/x) · (x + 3)10 · √1 + cos2 x;

в) y = (1 + ex2 )arcsin x.

2. Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной уравнением

arctg(y/x) − 12 ln(x2 + y2) = 0

3. Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифференциала приближенное¨ значение функции

f(x) = tg(5 arctg x)

в точке x = 1,02. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите 1.

4. Вычислите эластичносить функции

f(x) = tg( 23 arctg x)

вточке x = 1. Эластична ли функция f(x) в этой точке?

5.Найдите пределы, используя правило Лопиталя

6. Разложите в ряд Маклорена функцию

f(x) = −arctg(x2 − 1)

сточностью до o(x3).

7.Проведите полное исследование функции

f(x) = 12 √3 −x − 1 · (ln(x2 + 2 x + 1) − 6)

и постройте ее¨ график.

56

Контрольная работа 2

ВАРИАНТ 25

1. Найдите производные следующих функций:

а) y = ln(arcsin √1 − e2x); б) y = e−x2 · √3 x2 · (x + 5)7; в) y = (x2 + 10)3x .

2. Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной урав-

нением

3tg(1/y) + arcsin(x/y) = 0

3. Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифференциала приближенное¨ значение функции

f(x) = sin(−8 arccos(ln x) + ln x)

в точке x = 0,99. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите 1.

4. Вычислите эластичносить функции

f(x) = sin(π(ln x + 1/6))

вточке x = 1. Эластична ли функция f(x) в этой точке?

5.Найдите пределы, используя правило Лопиталя

6. Разложите в ряд Маклорена функцию

f(x) = arcctg(x2 + 1)

сточностью до o(x3).

7.Проведите полное исследование функции

f(x) =

(x + 1)3

−2 + x2 + 2 x

и постройте ее¨ график.

57

Контрольная работа 2

ВАРИАНТ 26

1. Найдите производные следующих функций:

в) y = (sin x)ex2 .

2. Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной уравнением

arcsin(x/y) + y2x = 0

3. Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифференциала приближенное¨ значение функции

p

f(x) = 3 1 + ex−2 + x2 + x

в точке x = 1,98. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите 2.

4. Вычислите эластичносить функции

p

f(x) = 3 1 + ex−2 + x2 + x

вточке x = 2. Эластична ли функция f(x) в этой точке?

5.Найдите пределы, используя правило Лопиталя

6. Разложите в ряд Маклорена функцию

f(x) = ex+x3

сточностью до o(x3).

7.Проведите полное исследование функции

√

f(x) = 5 x2 · 52(x+2)/(5 ln 5)

и постройте ее¨ график.

58

Контрольная работа 2

ВАРИАНТ 27

1. Найдите производные следующих функций:

в) y = (x2 + 3)arctg x.

2. Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной урав-

нением

x2y + y2x + sin(y2) = 0

3. Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифференциала приближенное¨ значение функции

f(x) = ex2+4 x−5

в точке x = −5,02. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите −5.

4. Вычислите эластичносить функции

f(x) = ex2+4 x−5

вточке x = −5. Эластична ли функция f(x) в этой точке?

5.Найдите пределы, используя правило Лопиталя

6. Разложите в ряд Маклорена функцию

p

f(x) = 4 16 + x2

сточностью до o(x3).

7.Проведите полное исследование функции

p

f(x) = 3 −x3 − 4 x2 − 3 x

и постройте ее¨ график.

59

Контрольная работа 2

ВАРИАНТ 28

1. Найдите производные следующих функций:

в) y = (x2 + 1)1/cos x.

2. Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной урав-

нением

cos(xy) + y3x + x2y = 0

3. Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифференциала приближенное¨ значение функции

f(x) = arcsin(e3x − 1)

в точке x = −0,02. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите 0.

4. Вычислите эластичносить функции

f(x) = arccos(e3x−6 − 1)

в точке x = 2. Эластична ли функция f(x) в этой точке? 5. Найдите пределы, используя правило Лопиталя

6. Разложите в ряд Маклорена функцию

f(x) = sin(π cos x + x)

сточностью до o(x3).

7.Проведите полное исследование функции

f(x) =

x3

−x2 + 4

и постройте ее¨ график.

60