Г.А. Постовалова, П.В. Ягодовский - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Контрольные работы по математике. Часть I

в) y = (arctg x)cos2 x.

2. Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной урав-

нением

ln(xy) + cos y + x2y2 = 0

3. Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифференциала приближенное¨ значение функции

f(x) = earcsin 3x

в точке x = 0,01. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите 0.

4. Вычислите эластичносить функции

f(x) = earcsin(3x−3)

вточке x = 1. Эластична ли функция f(x) в этой точке?

5.Найдите пределы, используя правило Лопиталя

6. Разложите в ряд Маклорена функцию

и постройте ее¨ график.

61

Контрольная работа 2

ВАРИАНТ 30

в) y = (1 + 3cos x)sin x.

2. Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной урав-

нением

ex/y + arcsin(xy) = 0

3. Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифференциала приближенное¨ значение функции

p

f(x) = 3 x3 − x2 + 4 x − 4

в точке x = 1,98. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите 2.

4. Вычислите эластичносить функции

p

f(x) = 3 (x3 − x2 + 4 x − 4)2

вточке x = 2. Эластична ли функция f(x) в этой точке?

5.Найдите пределы, используя правило Лопиталя

6. Разложите в ряд Маклорена функцию

f(x) = cos(x + sin x)

сточностью до o(x3).

7.Проведите полное исследование функции

√

f(x) = 3 x2 · e−2 x/3

и постройте ее¨ график.

62

Контрольная работа 1

РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА 30

1. a) Число a = 1/5 является пределом данной последовательности {xn}, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε можно указать такой номер N, зависящий от ε, что для всех n > N выполняется неравенство |xn − 1/5| < ε. Найдем¨ N.

Заметим, что

Для n > 4 будет выполнено неравенство |xn − 1/5| < 0,01.

2.Найдем¨ пределы числовых последовательностей.

a)lim 5 n2 + 3 − 5 n = lim 5 n2 + 3 − 5 n2 + 10 n = n − 2 n→∞ n − 2

63

64

4. Вначале рассмотрим функцию g(x) = xx ++ 32 . Преобразуем за-

дающее эту функцию выражение: g(x) = 1 + x +1 2 . Отсюда видно,

что график функции g(x) может быть получен из обычного графика гиперболы y = 1/x сдвигами на 1 вверх и на 2 влево.

при |x + 3| = x + 3, т. е. при x ≥ −3, и симметричны друг другу относительно оси OY в противном случае, т. е. при x ≤ −3. Таким

65

образом, получается следующая картинка.

5. Легко видеть, что точки разрыва данной функции — суть нули знаменателя. Их нетрудно найти — это точки 0, 1 и 13.

Изучим поведение функции вблизи этих точек. Для этого вычислим следующие пределы.

Из того, что эти два предела определены, конечны и равны друг другу, следует, что x = 0 — точка устранимого разрыва I рода.

Напомним, что это означает. Если доопределить функцию так, чтобы в точке устранимого разрыва ее¨ значение совпадало с соответствующими односторонними пределами, то получится непрерывная в этой точке функция, т. е. точка разрыва будет устранена. В нашем случае непрерывной в точке x = 0 будет новая функция

66

(т. к. при x > 1 имеем |x − 1| = x − 1). Из того, что эти два предела определены, конечны и не равны друг другу, следует, что x = 1 — точка неустранимого разрыва I рода.

Из того, что эти два предела не конечны, следует, x = 13 — точка разрыва II рода.

Впрочем, эта точка была бы точкой разрыва II рода, даже если хотя бы один из этих пределов был не определен¨ или не конечен.

67

Контрольная работа 2

Решение варианта 30

б) Первый способ ("в лоб"):

Второй способ (с использованием логарифмической производной). Прологарифмируем данную функцию:

68

" (x + 1)10 · sin9 x 1/2# ln y = ln =

ln2(cos x)

=12 ln (x + 1)10 + ln sin9 x − ln ln2 cos x =

=12 (10 ln(x + 1) + 9 ln(sin x) − 2 ln[ln(cos x)]) =

=5 ln(x + 1) + (9/2) ln(sin x) − ln[ln(cos x)].

Найдем¨ производную:

Обязательно проверьте, что два выражения для производной, полученные первым и вторым способами, хотя и отличаются внешне, на самом деле эквивалентны.

в) Данная в этом задании функция — показательно-степенная. Для нахождения ее¨ производной воспользуемся методом логарифмического дифференцирования:

ln y = ln (1 + 3cos x)sin x = sin x · ln(1 + 3cos x),

(ln y)0 = (sin x · ln(1 + 3cos x))0 =

= cos x · ln(1 + 3cos x) + sin x · 3cos x · ln 3 · (−sin x) = 1 + 3cos x

= cos x · ln(1 + 3cos x) − sin2 x · 3cos x · ln 3 , 1 + 3cos x

69

и, поскольку (ln y)0 = y0/y, то

y0 = y · (ln y)0 =

= (1 + 3cos x)sin x · cos x · ln(1 + 3cos x) − sin2 x · 3cos x · ln 3 .

1 + 3cos x

2. Воспользуемся правилом дифференцирования неявно заданной функции. Продифференцируем обе части данного уравнения по x: