Г.А. Постовалова, П.В. Ягодовский - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Контрольные работы по математике. Часть I
.pdf
Контрольная работа 1
ВАРИАНТ 29
1. а) Пользуясь определением предела последовательности, докажи-
1
те, что lim xn = lim 5n = 0.
n→∞ n→∞
б) Найдите такое N, чтобы для всех значений n > N было выпол-
нено неравенство |xn − a| < 0,01, где a = nlim xn. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
2. |
Найдите пределы числовых последовательностей: |
||||||||||||||||||||
а) |
lim |
|
|
n − 9 |
; |
|
б) |
lim |
|
√ |
|
|
|
√ |
|
; |
|||||
|
|
|
5 n + 1 |
|
5 n |
||||||||||||||||
|
n→∞ |
√16 n2 + 3 |
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
||||||
в) |
lim |
|
1 − n + 2 n2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n→∞ |
2 + 4 + . . . + 2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
Найдите пределы функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
а) |
lim |
8x − 6x |
; |
б) |
lim |
2 x − 1 |
|
x+3; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 + 2 x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→0 |
|
x |
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в) |
lim |
|
|
1 + sin 2x |
; |
|
г) lim |
ln2(1 + 2 x) |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→−π/4 sin x + cos x |
|
|
x→0 |
sin2 6x |
|
|
|
|
||||||||||||
4. С помощью простейших преобразований (растяжение, сжатие, сдвиг, отражение и т. д.) постройте график функции
f(x) = −x2 + 4 |x| − 3 .
5. Найдите точки разрыва функции
|x + 7/2|sin(x − 2) f(x) = x3 + (3/2) x2 − 7 x .
Определите род каждой точки разрыва.
31
Контрольная работа 1
ВАРИАНТ 30
1. а) Пользуясь определением предела последовательности, докажи-
те, что lim xn = lim |
|
1 − 2 n |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n→∞ |
n→∞ 3 − 10 n |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
б) Найдите такое N, чтобы для всех значений n > N было выпол- |
|||||||||||||||||||||||||||||
нено неравенство |xn − a| < 0,01, где a = nlim xn. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Найдите пределы числовых последовательностей: |
||||||||||||||||||||||||||||
а) |
lim |
5 n2 + 3 |
|
|
5 n |
; |
|
|
б) |
lim |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
; |
||||||
− |
|
|
7 n + 1 |
|
− |
7 n |
|||||||||||||||||||||||
n − 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
в) |
lim |
2 n2 − 3 n + 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n→∞ −2 − 4 − . . . − 2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. |
Найдите пределы функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) |
lim |
1 − tg x |
; |
|
б) |
lim |
|
7 · 4x − 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→π/4 sin x − cos x |
|
|
|
|
x→±∞ 2 · 4x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→∞ |
3 x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 ex − 1 · tg1/6x |
|
|
|
||||||||||||||||||
в) |
lim |
3 x − 7 |
|
|
x−2 |
; |
|
г) |
lim |
|
arcsin √x |
. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. С помощью простейших преобразований (растяжение, сжатие, сдвиг, отражение и т. д.) постройте график функции
f(x) = |xx ++ 32|.
5. Найдите точки разрыва функции
|x − 1|sin2x
f(x) = x2 (x2 − 14 x + 13) .
Определите род каждой точки разрыва.
32
Контрольная работа 2
ВАРИАНТ 1
1. Найдите производные следующих функций:
|
|
√3 |
|
|
|
|
cos2(√ |
|
|
) log2 x |
|
||
а) |
|
|
|
arcsin x; б) |
|
x |
; |
||||||
y = |
cos x · e− |
y = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
√3 x |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
в) y = x1/x.
2.Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной уравнением
x ln y + y ln x = 0
3.Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифференциала приближенное¨ значение функции
√
f(x) = 4 + ln x
в точке x = 1,2. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите 1.
4. Вычислите эластичносить функции
√
f(x) = 4 + ln x
вточке x = 1. Эластична ли функция f(x) в этой точке?
5.Найдите пределы, используя правило Лопиталя
а) lim |
ln2(2 x + 1) |
; |
б) lim (x + 2)ln(3)/ sin(x+1). |
|
x2 |
||||
x→0 |
|
x→−1 |
6. Разложите в ряд Маклорена функцию
f(x) = sin(x2 + π/4)
сточностью до o(x3).
7.Проведите полное исследование функции
f(x) = ex2/(1−x2)
и постройте ее¨ график.
33
Контрольная работа 2
ВАРИАНТ 2
1. Найдите производные следующих функций:
а) y = √ |
|
|
|
|
ecos x; |
б) y = |
e3x − e−3x |
; |
|
sin x |
· |
||||||||
e3x + e−3x |
|||||||||
√ |
|
|
|
|
|
||||
в) y = x ln x. |
|
|
|
|
|
||||
2.Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной уравнением
x y − arctg(x/y) = 0
3.Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифференциала приближенное¨ значение функции
f(x) = ln(cos x + 3 sin x)
в точке x = −0,02. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите 0.
4. Вычислите эластичносить функции
f(x) = cos(πx2)
вточке x = 1/2. Эластична ли функция f(x) в этой точке?
5.Найдите пределы, используя правило Лопиталя
а) lim |
e2x + e−2x − 2 |
; |
б) lim |
ln(ln(x2 − 3)) |
. |
x2 |
|
||||
x→0 |
|
x→2+0 |
ln(x − 2) |
||
6. Разложите в ряд Маклорена функцию
√
f(x) = 3 + cos x
сточностью до o(x3).
7.Проведите полное исследование функции
√
f(x) = 3 x + 1 · e−x/3
и постройте ее¨ график.
34
Контрольная работа 2
|
|
|
ВАРИАНТ 3 |
|
|
|||
1. Найдите производные следующих функций: |
|
|
||||||
а) y = |
√1 − e2x · cos(1 − π x); |
б) y = s |
|
|
|
|
||
|
ln(sin x) |
; |
||||||
|
|
|
|
|
ln(cos x) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) y = x−x · e−2x.
2. Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной уравнением
|
|
|
+ ln(x + 1) |
|
1 |
|
|
|
|
√ |
|
|
1/√ |
|
. |
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
||||||||
а) lim |
|
|
; |
б) lim |
|
|
|
|
x |
||||||
|
|
cos x + ln 2 |
|
x |
|||||||||||
|
|
x |
− |
|
· |
||||||||||
x→0 |
|
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
|||||||
6. Разложите в ряд Маклорена функцию
f(x) = sin(x2 + π/3)
сточностью до o(x3).
7.Проведите полное исследование функции
p
f(x) = 3 3 x2 − x3
и постройте ее¨ график.
35
Контрольная работа 2
ВАРИАНТ 4
1. Найдите производные следующих функций:
а) y = ln (log4(sin x)); |
б) y = |
ex arcsin x |
||
|
|
; |
||
x2 |
|
|||
|
|
− 1 |
||
в) y = (sin x)tg x.
2. Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной уравнением
arctg(x/y) − (1/2) ln(x2 + y2) = 0
3. Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифференциала приближенное¨ значение функции
f(x) = tg(3 ln x)
в точке x = 1,2. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите 1.
4. Вычислите эластичносить функции
f(x) = tg(ln x + π/6)
вточке x = 1. Эластична ли функция f(x) в этой точке?
5.Найдите пределы, используя правило Лопиталя
а) lim |
x2 |
; б) lim (1 |
− |
ex |
+ e) |
1/(x−1). |
|
||||||
x→∞ ln(1 + e2 x2 ) |
x→1 |
|
|
|||
6. Разложите в ряд Маклорена функцию
f(x) = −tg(x + π/6)
сточностью до o(x3).
7.Проведите полное исследование функции
√
f(x) = 5 x3 · (ln(x2) − 10/3)
и постройте ее¨ график.
36
Контрольная работа 2
|
|
ВАРИАНТ 5 |
|
|
||||
1. |
Найдите производные следующих функций: |
|
|
|||||
а) y = ln3(x2 − 2 ln x); |
б) y = r |
|
|
|
|
|||
|
e(1−2x) |
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
ln(tg(x3)) |
||
в) y = (tg 5 x)sin x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной урав- |
|||||||
нением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + 3y − 3(x+y) = 0 |
|
|
|||||
3. |
Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифферен- |
|||||||
циала приближенное¨ значение функции |
|
|
||||||
|
f(x) = sin(√ |
|
ln x + π/6) |
|
|
|||
|
3 |
|
|
|||||
в точке x = 1,09. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите 1.
4. Вычислите эластичносить функции
√
f(x) = sin( 3 ln x + π/6)
в точке x = 1. Эластична ли функция f(x) в этой точке?
5. |
Найдите пределы, используя правило Лопиталя |
|||||||||||||
|
|
e3x |
e2x |
|
x |
|
|
|
|
ln 13 |
|
x |
||
а) lim |
|
; |
б) lim |
1 + |
|
. |
||||||||
|
−x2 |
− |
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→0 |
|
|
x→∞ |
x + √x |
|
||||||||
6. |
Разложите в ряд Маклорена функцию |
|
|
|
|
|
||||||||
f(x) = ctg(x + π/4)
сточностью до o(x3).
7.Проведите полное исследование функции
p
f(x) = 4 x2 − 4 x + 4 · 2x/(4 ln 2)
и постройте ее¨ график.
37
Контрольная работа 2
ВАРИАНТ 6
1. Найдите производные следующих функций:
а) y = |
√cos x · ecos(x |
); |
б) y = s |
|
|
|
||
(xx |
2) arcsin x; |
|||||||
|
|
|
2 |
|
3 |
(x + 5)5 |
||
|
|
|
|
|
||||
−
в) y = (arctg x)x2 .
2. Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной урав-
нением
earccos(y2) + ln(y/x) = 0
3. Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифференциала приближенное¨ значение функции
√
f(x) = 6 3 x
в точке x = 8,15. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите 8.
4. Вычислите эластичносить функции
√
f(x) = 3 x
вточке x = 8. Эластична ли функция f(x) в этой точке?
5.Найдите пределы, используя правило Лопиталя
а) |
lim |
ln(−sin 3x) |
; |
б) |
lim (tg x)1/ sin 4x. |
||
ln(sin x) |
|||||||
x |
π/2 |
|
x |
→ |
π/4 |
||
|
→ |
|
|
|
|
||
6. Разложите в ряд Маклорена функцию
f(x) = ln(ex − 2 x2)
сточностью до o(x3).
7.Проведите полное исследование функции
p
f(x) = 3 x3 − 3 x
и постройте ее¨ график.
38
Контрольная работа 2
ВАРИАНТ 7
1. Найдите производные следующих функций:
ln x |
; б) y = 3sin x · (x − 5)9 · arccos3 x; |
а) y = √x2 + 1 |
в) y = (x2 + 1)cos x.
2. Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной уравнением
arcsin(y/x) + x2 y + y3 = 0
3. Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифференциала приближенное¨ значение функции
√
f(x) = 4 e 3(sin(7πx/6)+1/2)/π
в точке x = 1,05. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите 1.
4. Вычислите эластичносить функции
√
f(x) = e 3(sin(7πx/6)+1/2)/π
вточке x = 1. Эластична ли функция f(x) в этой точке?
5.Найдите пределы, используя правило Лопиталя
а) lim |
1 − esin x |
; |
б) lim arcsin x |
· |
ctg(2 x). |
|||
x |
||||||||
x 0 |
|
x |
→ |
0 |
|
|||
→ |
|
|
|
|
|
|
||
6. Разложите в ряд Маклорена функцию
f(x) = esin x
сточностью до o(x3).
7.Проведите полное исследование функции
√
f(x) = 3 x2 (ln(x2) − 3)
и постройте ее¨ график.
39
Контрольная работа 2
ВАРИАНТ 8
1. Найдите производные следующих функций:
|
2 |
|
3 |
+ 1)2 |
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) y = ex |
|
· ln(arcsin x); |
б) y = |
p(x arctg |
·x |
; |
|
в) y = (x2 + 1)tg x.
2. Найдите производную функции y = f(x), неявно заданной урав-
нением
esin(xy) − ex y2 = 0
3. Не пользуясь калькулятором, вычислите с помощью дифференциала приближенное¨ значение функции
f(x) = arcsin(3 ln x)
в точке x = 1,05. Ответ представьте в виде десятичной дроби с точностью до 3-го знака после запятой. Указание: в качестве x0 возьмите 1.
4. Вычислите эластичносить функции
f(x) = sin(e(x+1) · π/6)
вточке x = −1. Эластична ли функция f(x) в этой точке?
5.Найдите пределы, используя правило Лопиталя
а) lim |
ex − e−x |
; |
б) lim |
|
1 |
|
|
1 |
. |
3 x + sin x |
sin x |
|
|||||||
x→0 |
|
x→0 |
− x |
||||||
6. Разложите в ряд Маклорена функцию
f(x) = ln(1 + sin x)
сточностью до o(x3).
7.Проведите полное исследование функции
p
f(x) = 3 (x − 1)2 · e(x+1)/3
и постройте ее¨ график.
40