Метод дифференциальных уравнений

Для понимания операторов может помочь осознание того, что при нахождении общей формы для Qⁿ_{ip ,} мы в действительности решаем разностное уравне­ние вида:

Уравнение (3.10) линейно, имеет постоянные коэффициенты и представляет совсем простой случай. Такие уравнения в самом общем видерассмотрены у Жордана (С. Jordan ) [9]), книгу которого читатель может посмотреть для более по­дробного ознакомления. Так как мы решили это уравнение с помощью индукции, вывод решения разностного уравне­ния здесь не приводится.

Другим подходом к этой проблеме является метод при­ближений с помощью дифференциальных уравнений. Если мы положим, где независи­мой переменной является n. При переходе от n к п +1при­ращением является Δn (которое в данном случае равно еди­нице). Наше рекурсивное соотношение может быть записано в виде

и, вычитая Qⁿ_ip из обеих частей, получим

Если будем считать п непрерывным, то можем аппроксимировать последнее уравнение, заменив отношениепроиз­водной. Таким путем получаем дифференциальное урав­нение которое имеет решение:

Эта формула даетприближение для Qⁿ_ipи имеет ту же форму, что и точная формула в равенстве (3.5). Там, где мы имели а^п_jтеперь имеем экспоненту. Если (1 —а_i) мало, мо­жемсчитать, что а^ являетсяприближениемэкспонентые^-1(1-ai)

Следовательно,решение дифференциального уравнения является разумной аппроксимацией точной формулы для Qⁿ_ip, если(1 —а_i) мало по сравнению с единицей. Аппроксими­рующая формула дает правильные значения при п = 0 и при п, стремящемся к бесконечности.

Мы включили только что рассмотренный подход с по­мощью дифференциального уравнения главным образом из-за того, что этот способ употребляется обычно в физиологиче­ской литературе (см., к примеру, [1], [10], [11]). Тем не менее мы нашли лучшим и более удобным решать прямо разностные уравнения, возникающие при рассмотрении ли­нейных проблем.

Рассмотрим понятие оператора с точки зрения обучающих систем.

Обучающая система представлена как система управ­ления сложным объектом — обучаемым с его моделью. Сформули­руем теперь задачу обучения конкретнее. Для этого формализуем

• цель обучения Z* (для чего учить);

-обучающую информацию (ОИ) (чему учить), которую не­обходимо воспринять обучаемому и под воздействием которой у него должны сформироваться определенные знания, умения, вы­работаться необходимые навыки, определяемые целью обучения:

• модель обучаемого (кого учить)*'

• алгоритм обучения — правило построения очередной порции ОИ в процессе обучения (как учить).

Процесс обучения представим в виде последовательности се­ансов (уроков), начинающихся в моменты времени t_0,t₁...t_n…,в общем случае не равноотстоящие. В начальный момент времени объект (обучаемый) находится в некотором состоянии Yо- Тре­буется построить последовательность обучающих воздействий {Un}, п=О, 1,..., которая переведет обучаемого в заранее задан­ное конечное состояние Y*. Причем процесс перевода обучаемого из состояния Y₀ в Y* должен быть, в определенном смысле, оп­тимальным. В задачах обучения лучшим следует считать тот ал­горитм обучения, который осуществляет данный перевод за крат­чайшее время.

Для определения эффективности обучения введем функцию ка­чества ф обучения, которая, очевидно, должна зависеть от состоя­ния объекта Y, и будем вычислять ее значения в дискретные мо­менты t_0,t₁...t_n…,

где Y_n — состояние объекта в момент начала л-го сеанса обучения Критерий t_n характеризует уровень обученности объекта в мо­мент и. Без ограничения общности можно считать, что

где уровень Q* будет соответствовать абсолютной обученности. Цель обучения Z*, таким образом, состоит 1в минимизации функции качества Q с помощью U:

где и U обучение, а μ — множество допустимых обучений, пере­водящих обучаемого из состояния Yо в состояние Y** — состояние абсолютной обученности.

Ввиду реальных свойств человеческой памяти состояние Y** и соответственно уровень абсолютной обученностиQ* практически не достижимы. Поэтому обучение следует заканчивать, когда кри­терий качества обучения Qп достигает заданного порога о:

Q_n≤δ (1.30)

где δ>Q* — величина, близкая к Q*. Таким образом, цель обу­чения Z* заключается в достижении уровня δ. При этом будем Го­ворить, что алгоритм обученияА₁лучше алгоритма A₂, если он обеспечивает достижение уровня δ за меньший промежуток вре­мени (или меньшее число сеансов обучения).

Итак, цель обучения формализуется следующим образом:

где Т(Y*) — время, или число сеансов обучения, за которое обу­чаемый достигает состояния Y*.

Формализуем ОИ. Будем рассматривать такие процессы обуче­ния, в которых ОИ можно представить в виде конечного множе­ства перенумерованных элементарных порций: U={ 1, 2,…N} Содержательный смысл их определяется областью обучения. Из этого множества номеров на каждом л-м сеансе с помощью алго­ритма обучения строится подмножество

содержащее М_п элементарных порций (элементов) ОИ с номерами и₁,...,и_Мп , которые составляют объем учебного материала для л-го сеанса обучения ().

Рассмотрим модель обучаемого. Состояние обучаемого на п-м .сеансе будем описывать вектором вероятностей незнания каждого I из элементов ОИ:

где P_iⁿ— вероятность незнания i-го элемента ОИ в n-й момент

времени Абсолютное знание обучаемым всех пор­ций ОИ

описывается нулевым вектором

Модель j-го обучаемого должна дать возможность определять, как изменяется его состояние при воздействии различных порций обучающей информации, т. е. должна иметь вид

где F_jоператор модели j-го обучаемого; Р_n^j — состояние обучаемого после изученияUn^j — п-й порции обучающей информации;

— параметры обучаемого перед тем, как он пройдет п-й/ сеанс обучения (Un^j)

Как видно, модель (1.35) представляет рекуррентную формулу перехода из одного состояния (Р_n-1) в другое (Рn) под воздей­ствием U_n при параметрах С_п-₁ Индекс обучаемого (j) для про­стоты снимаем, так как он лишь конкретизирует задачу. Все дальнейшие рассуждения имеют место для любого обучаемого. Поэтому вид оператора Р модели следует задать (или найти) таким обра­зом, чтобы он отвечал требованиям специфики человеческой па­мяти при обучении материалу заданной структуры и семантики. Вообще говоря, вид оператора Р может изменяться при изменении структуры обучающей информации и ее семантики.

Так как состояниеY_п=Р_п обучаемого непосредственно не на­блюдается, необходимо иметь измерительные средства для оценки этого состояния. Таким средством являются тесты, т. е. вопросы, ответы на которые несут информацию о состоянии обучаемого.

Будем рассматривать простейший тест в виде проверки знания обучающей порции U_n. Реакция обучаемогоY'_n=R_n имеет вид

Y'_n=R_n=F⁰(U_n) (1.37)

(1.38)

где F⁰ — оператор обучаемого, а R_n — его ответ на тест U_n

Здесь

Эта информация является исходной для адаптации параметров Смодели:

С_п=х(Сп-₁,Rn), (1.40)

где к — алгоритм адаптации, и для оценки состояния обучаемого

(1.41)

Здесь X — алгоритм оценки состояния обучаемого по результатам предыдущего такта обучения <U_n, R_n> и предыдущего состояния Рп-1. Алгоритм обучения, позволяющий определить очередную пор­цию U_n+1, заключается в минимизации показателя на каждом шаге обучения. Для этого достаточно в формулу (1.28) подставить модель (1.36) и полученную зависимость Q(Un₊1) минимизировать, т. е. надо решить следующую оптимизационную задачу:

где Ф(R) — множество порций ОИ, удовлетворяющих ресурсу Дп — ресурс, выделенный на п-й сеанс обучения (например, пред­полагаемая длительность урока R, машинное время, доступное обучаемому, и т. д.); U_n+1 — локально-оптимальная порция ОИ, выдаваемая обучаемому нап+ 1-м сеансе обучения.

4. Оптимизация процесса обучения, методология разработки обучающей программы, этапы проектирования. Элементы интерфейса обучающих программ.

Модель исследуется применительно к задаче запоминания ино­странной лексики и на этой задаче сопоставляется с некоторыми известными моделями научения.

Рассматривается как параметрическая, так и структурная адап­тация модели обучаемого в процессе обучения. В последнем случае вид (структура) модели изменяется в процессе обучения.

Оптимизация процесса обучения будет рассмотрена после приведения алгоритма обучения с моделью обучаемого на основе вероятностного анализа алгоритма обучения.