27.Основна теорема Коші і наслідки з неї.

Теорема Коші

Нехай функція f(z) –аналіт в однозв’язн області D. Тоді для довільної замкненої кривої L, що цілком лежить в D , викон

Доказ. Припустимо, що f(z) має неперервні похідні в області D

f(z) – анал. Отже викон умова Коші – Рімора

Тоді за формулою Гріна інтеграли в правій наст. Дор. 0 , отже

Доказано.

Наслідок 1 : якщо область D обмежена складним додатньо орієнтованим контуром

L=L₀+L₁…+L_n, т.б при обході по контуру точки області D лежать зліва , то при умові аналітичності функції f(z).

Наслідок 2 : Якщо обл. D обмежена зовнішнім контуром L а всередині контуром L_1..Ln, що орієнтована протягом годинникової стрілки, і f(z)-анал., то ;

Наслідок 3: якщо f(z) аналіт в однорідній області D, то інтеграл по кривій АВ не задежить від контуру інтегрування , а залежить лише від початка і кінця т-к інтегрування

Доказ: З’єднаємо точки А і В 2-ма довільними кривими отримаємо

доказ закінченно

Має сенс запис ; якщо-зафікс, то (=F(z)

Можна довести, що якщо f(z)- аналітична, то F(z) – також аналітична

Функція F(z) називається первісною для f(z)

Множина всіх первісних F(z)+C називається невизначеним інтегралом функції

Нех. F(z)-первісна =F(z)+C.

Підставимо замість z точку z₀ отримаємо F(z₀)+C=0 випливає F(z₀)=C. Отже

–формула Ньютона – Лейбніца

28.Первісна і невизначений інтеграл від функції комплексної змінної. Формула Ньютона-Лейбніца.

З 3-ого наслідку теореми Коші:

Якщо f(z) аналітична в однорідній області D, то інтеграл по кривій АВ не задежить від контуру інтегрування , а залежить лише від початка і кінця т-к інтегрування

Доказ: З’єднаємо точки А і В 2-ма довільними кривими отримаємо

доказ закінченно

Має сенс запис ; якщо-зафікс, то (=F(z)

Можна довести, що якщо f(z)- аналітична, то F(z) – також аналітична

Функція F(z) називається первісною для f(z)

Множина всіх первісних F(z)+C називається невизначеним інтегралом функції

Нех. F(z)-первісна =F(z)+C.

Підставимо замість z точку z₀ отримаємо F(z₀)+C=0 випливає F(z₀)=C. Отже

–формула Ньютона – Лейбніца

29.Інтегральна формула Коші і наслідки з неї.

Теорема: Нехай функція f(z) – аналітична в однов’язній замкн області Д і область Д обмеж контуром L. Тоді має місце інтегральна формула Коші. в додатному напрямі(проти годинникової стрілки).

Доведення:Виберемо деякий окіл т. z0, який повністю лежить в Д, позначимо його . Тоді за наслідком 2 з основної теореми Коші: Оскільки f(z) – аналітична в області Д, то вона неперервна в Д, а отже і непер в z0. За означ непер маємо довільна Існує

Права частина ԑ як завгодно мала, а ліва не залежить від ԑ

Наслідок1: Якщо функт f(z) має неперервні похідні в області Д, то має місце формула

Наслідок2: Якщо функт f(z) диферент в околі точки , то її можна представити у вигляді збіжного ряду (ряду Тейлора)Ряд Тейлора для функції компл змін збіж і збігається до цієї ж функціїf(z).

30.Числові ряди в комплексній площині. Необхідна умова збіжності та теорема про абсолютну збіжність таких рядів.

Числовим рядом в комплексній площині назив ряд вигляду

деU1,…,Un– комплексні числа. Якщо , то ряд запишемо у виглядіn-тою частиною сумою ряду назив Якщо існує скінченна границяSn, то ряд наз збіжним і його сума Якщо границя не є нескінченною, то ряд наз збіжним. Ряд буде збіжним коли збіжні ряди

Теорема: Якщо ряд збігається, то збіжний

Доведення: ряд збіжнийзбіж. Мають місце наступні оцінки За ознак порівняння

абсолютно збіжні , то абсолютно збіжний.