1.Числові ряди. Основні властивості та дослідження ряду геометричної прогресії.

О.1: Числовим рядом називається вираз вигляду:

∑^∞_n=1 U_m = U₁ + U₂ + … + U_m + …

(1.1)

Де U₁, U₂, … – дійсні бо комплексні числа.

U_m – загальний член ряду.

Ряд 1.1 вважається заданим, якщо відомий член ряду.

U_m = f(n)

О.2: Сума перших n членів ряду називається n-тою частинною сумою ряд у 1.1 і позначається

Sn = U1 + U2 + … + Un = ∑^∞_n=1 Un

О.3: Якщо існує скінченна границя послідовності частинних сум Sn, тобто

То ця границя називається сумою ряду 1.1. При цьому ряд 1.1 називається збіжним.

Якщо не існує або, то ряд називається збіжним.

О.4: Геометричний ряд

a + aq + aq² + aq³ + … + aq^n-1 + …

(1.2)

Sn = a + aq + … + aq^n-1

qS_n = aq + aq² + … aqⁿ

Sn – qSn = a - qⁿ

Sn =

1. |q| < 1 => qⁿ -> 0, n->;тоді , отже ряд збіжний і

2. |q| > 1 => qⁿ -> ∞, n->;тоді, розбіжний

3. |q| = 1,

Нех q = 1, тоді ряд 1.2 набуде вигляду:

a + a + .. + a + …

ряд розбіжний бо Sn=an,

Нех q = -1;

a – a + a - … + a – a + … -

Ряд розбіжний.

Отже ряд збіжний при |q|<1 і його сума S =

2.Основні властивості числових рядів.

1. Якщо ряд 1.1 збіжний і має суму S, то збігається також ряд C = const, і сума цього ряду буде cS

Доказ: запишемо

2. Нехай ряди ∑^∞_n=1 Un i ∑^∞_n=1 Vn збіжні і мають єдину s і S` відповідно. Тоді будуть збіжні ряди

причому їх суми будуть

Доказ: _­

3. Якщо ряд 1.1 збігається, то збігається і ряд, утворений відкиданням довільного скінченного числа членів цього ряду.

Доказ:

Відкинемо всі члени після Uk.

, де - сума членів ряду, що містяться вSn, але не містяться в Sk.

Sk – число,

Отже ряд збіжний.

Наслідки: для того, щоб ряд 1.1 був збіжний (розбіжний) треба щоб був збіжний (розбіжний) довільний його залишок.

4.(Необхідні умови збіжності ряду).

Якщо ряд ∑^∞_n=1 Un збігається, то lim Un = 0

Доказ:

Sn-S_n-1 = Un

5.Достатня умова розбіжності ряду. Якщо lim Un то ряд розбігається.

Доведення випливає з 4.

3.Ознака порівняння та гранична ознака порівняння для знакододатних рядів.

Теорема 1 (ознака порівняння)

Якщо маємо 2 ряди з невд'ємними членами

U1+U2+…+Un+... Un>=0 (3.1)

V1+V2+…+Vn+… Vn>=0 (3.2)

І виконується умова Un>=Vn n>=1

Тоді: з збіжності ряду Vn випливає збіжний ряд U ;

А з розбіжного ряду U випливає розбіжний V

Доказ: Запишемо частинні суми

Sn=Uк Sn=

Нехай (3.2) – збіжний випливає ;

Оскільки Sn’ не спадна то ;

А оскільки Sn<Sn’, то Sn<=Sv’<=S

Sn= монотонна і не спадна , обмежена зверху тже за теоремою про границю монотонної обмеженої послідовності існує скінченна границя Sn Якщо то ряд 3.1 збіжний . (кінець доказа)

Якщо 3.1 розбіжний то 3.2 також розбіжний , бо за вже доведення якщо 3.2 збіжний то 3.1 збіжний

Ряди що часто використовуються для для порівняння

1. 

2. 

В умові теореми 1 умову , що Um<=Vm m>=1 можно замінить , що Um<=Vm для m>=N(за 3ю властивлстю)

Теорема 2 : Граничга ознака порівняння

Нехай задано 2 ряди з додатніми числами:

U1+U2+Un+… Un>0 (3.3)

V1+V2+Vn+…Vn>0(3.4)

І скінченна , відмінна від 0 lim

=a(0,;=const);

Тоді ряди вежуть себе однаково

Доказ: нехай з умови, що скінченний за означенням

Є>0 N=N(Є) n>N <Є;

-Є<-a<Є; а-Є<<Є+а

(а-Є)Vn<Un<Vn(a+Є); (3.5)

Виберимо Є так , щоб а – Е >0 , то б то Є<a;

Нехай (3.3) збіжний => з відношення 3.5 за теоремою 1 ряд Vn(c.) теж збігається => за властивісттю 1 ряд Vn збіжний

Нехай (3.3) розбіжний , тоді з 3.5 за теоремою 1 ряд V(Є+а) теж розбіжний , тоді з 3.5 за теоремою 1 ряд V(Є+а) теж розбігається і за властивістю 1 ряд V розбіжний