Доказано.

Можна помітити, що Pn(m) є коефіцієнтами в розкладі (q + px)ⁿ по формулі бінома Ньютона.

(q + px)ⁿ = qn + q^n-1p^x + q^n-2p²x² + … + q^n-mp^mx^m + … + pⁿxⁿ.

Якщо ймовірність появи події А в n дослідах різні (p₁, p₂, …, p_m), то ймовірність появи події А m разів визначається як коефіцієнти при z степенях.

55.Оцінка найбільш ймовірного числа появи дискретної випадкової величини.

Найбільша ймовірність числом появи випадкової величини А серед n незалежних дослідів за схемою Бернулі називається число m₀, для якого P_n(m₀) є більша або не менш ні ймовірність для інших можливих результатів дослідів.

Для того, щоб знайти m₀ требя порівняти P_n(m₀), P_n(m₀-1) та P_n(m₀+1)

Якщо np + p не ціле, то - єдине.

Якщо np + p ціле, то – існує 2 значення.

56.Теорема Пуассона.

Нехай ймовірність появи події А при n незалежних дослідах є сталою і малою P. Тоді при досить великій кіькості дослідів n, має місце наближена формула Пуассона:

Де λ = np = const.

Формула Пуассона іноді записується так:

57.Локальна та інтегрально теореми Муавра-Лапласса.

Локальна теорема Муавра-Лапласа:

Якщо ймовірність випадкової події А є величиною стала і відмінна від 0 і від 1 (0 < p < 1), то при достатній величині n має місце формула:

Де функція Гаусса.

–парна і

Графік функції Гаусса називається кривою ймовірності і має вигляд:

При можна вважати

Інтегральна теорема Муавра-Лапласса: Якщо ймовірність p події А в n незалежних випробуваннях є: 0 < p < 1, то ймовірність того, що подія А з’явиться не менша ніж разів і не більша ніж разів.

Де

Введемо стандартний інтеграл ймовірності:

Ф

Графік функції Ф(х):

58.Математичне сподівання дискретної та неперервної випадкових величин та його властивості.

О: математичні сподівання дискретних випадкових величин називається число, що = , або якщо простір обмежений, то М(x) = .

Зміст математичного сподівання: нехай в результаті n випробувань величини x1 з’явилось m раз, x2 – m2 раз, …, x_k – m_k раз. Тоді сума всіх значень які може приймати х

Х = х₁ + … + х_n = x₁m₁ + … + x_nm_n

Знайдемо середнє значення:

Де w_i – відносна частота появи x_i.

При досить великому n, .

Отже – математичне сподівання приближене до середнього значення випадкової величини х.

Властивості:

1^о.Математичне сподівання const = цій константі.

M(C)=C.

Доказ:

Дійсно, можна вважати x – число з ймовірністю

M(C)=C, 1=C.

Доказано.

2^о. M(CX) = CM(X)

Доказ:

M(CX)=

Доказано.

3^o.M(x*J) = M(x)*M(J)

Доказ:

Нехай закони розподілені так:

X	X1	X2		y	Y1	Y2
p	P1	P2		Q	Q1	Q2

X1y1, x2y2, x1y2, x2y1

XY	X1Y1	X2Y2	X1Y2	X2Y1
QP	Q1P1	Q2P2	Q1P2	Q2P1

M(x,y) = x₁y₁p₁q₁ + … + x₂y₂p₂q₂ = y₁q₁ (x₁p₁ + x₂p₂) + y₁q₁ (x₁p₁ + x₂p₂) = M(x)*M(Y)

Доказано.

Наслідок: для декількох x незалежних випадкових величин ця формула теж має місце.

4^о.Якщо А і В – константи

M(Ax + B) = AM(x) + B.

5^o.Математичне сподівання суми незалежних випадкових величин = сумі математичних сподівань.