22.Елементи функції комплексної змінної , і зв’язок між ними.

За цими формулами можемо знайти зв’язки:

, Оскільки z – довільне число, то

,

Доказ:

Аналогічно і cos(x).

23. Диференціювання функцій комплексної змінної. Умови Коші-Рімана.

Нехай однозначно функція визначена в деякому околі точкиі в самій точці. Тоді, якщо існує скінченна границя

(5.1)

то вона називається похідною функції в точці. При цьому функціяназивається диференційованою в точці.

Якщо диференційована в точці, то вона неперервна в цій точці. Обернене твердження не вірне.

Теорема (умови Коші-Рімана)

До точки рух вздовж Ох

, =0

=

Якщо функціявизначена в деякому околі точкиі функціїі– диференційовані в точці, то функціябуде диференційована в точці

– дифенційована в точці

z

Тепер до точки рухаємось вздовж Оу. Тоді, =0

=

Оскільки – дифенційована, то ці границі співпадають:

Нехай виконуються умови Коші-Рімана і функції – дифенційовані в точці

де – нескінченно малі величини більш високого порядку малості, ніж

Отже, ,

Оскільки для функції виконуються умови Коші-Рімана, то її похідну можна шукати за формулою:

Правила диференціювання дійсної змінної переноситься на функції комплексної змінної. Якщо функції i диференційовані в точці, то:

Зауваження. Функції ,,,диференційовані в довільній точці комплексної площини. Функції,, диференційовані в довільній точці комплексної площини крім

.

24.Аналітична функція. Диференціал.

Означення. Однозн. Функція називається аналітичною в т. z, якщо вона дифер.(викон умови Коші-Тім) в т. z і в деякому її околі. Функція називається аналіт. В областіD (однозв’язн. відкр.) , якщо вона дифер в кошн. т-ці цієї області. Тільки якщо ф-ція є аналітичною наз. Поавильними , а тільки, в яких умова аналітичності поруш, називається особливими.

Нехай функція - аналіт. В т.z , тоді , отсюда, де-нехай мала величина вищого порядку малості ніж

, якщо , то, а– нескінченно мала величина вищого порядку малості ніж

Означення. Дифер аналіт функції наз гол ч-на приросту функціїабооскільки при

25.Гармонічні функції.

Нехай задана аналітична функція ;w-дифер. U(x,y),V(x,y) – мають част похибки.

візьмемо в (1) похідну по х, і в (2) по y. Додамо ці рівняння Означення: Рявняння назив рівнянням Лапласа, а - оператор Лапласа. Означення: Функція U(x,y) , що має неп пох до 2-го пор включно, і задов. р-тю Лапласа назив гармонічною. Ми довели, що для аналіт ф-ції w=U(x,y)+iV(x,y) також гарм.

26.Інтегрування функцій комплексної змінної. Основні властивості інтегралів від функцій комплексної змінної.

Нехай на гладк кривій L від точки z0 до точки z задана непер функція f(z). Розіб’ємо L на n част від точки z0 до z точками. візьмемо довільну т-ку Ск і складемо інтегр суму Границя інтегр сум прямує до нуля, довжину найбільшої з дуг (якщо вона існує назив інтегралом від ф-ціїf(z) по кривій L і познач Покажемо, що якщо L гладка крива, а f(z) непер і однозначна на L, то інтегр в існує. Нехайf=U(x,y)+iV(x,y);

Припущ стосовно L і f(z) в правій част інтегр суми відпов ф-ції і границі цих сум існують. Отже, перейшовши до границь при ;ЯкщоL задана x=x(t),y=y(t), , тоz=z(t)=x(t)+iy(t), тоді Дійсно:

Властивості:

1)

2)

3)

4)тобто якщо змін напрям інтегрування, то інтеграл змінює свій знак на протилежний.

5)

6)(оцінка модуля інтегрування) Якщо для всіх точок , то