10.Властивості степеневих рядів.

1)Cтепеневий ряд є абсолютно і рівномірно збіж. на довільному відрізку , що цілком лежить в інтервалі збіжності (-R;R)

Доведення:

За умовою Візьмемо За теоремою Абеля . Візьмемо –абс. І рівном. Збіж.

2) Сума степеневого ряду неперерв. Ф-ією на інтервалі його збіжності.

3) Якщо міститься в інтервалі збіжності степеневого ряду, то можна інтегрувати почленно ряд. Зокрема, якщо взяти відрізок ,, то отримаємо ряд інтервал збіжності якого збіг. З інтервалом збіжності нашого ряду.

4) Якщо степеневий ряд має інт. Зб. (-R;R) то ряд, утвор диференціюванням цього ряду має той самий інтеграл збіжності, тобто ,

11.Ряди Тейлора і Маклорена.

Там де а – треба х0

Де – залишковий член у форм Лагранжа

Многочлен Тейлора:

Якщо функція f(x) нескінченно разів диферент в околі точки, то для неї має місце ряд Тейлора.

Ряд Мааклорена утв з ряду тейлора при х0=0

Теорема1: Для того, щоб ряд Тейлора збігався до функції f(x) необхідно і достатньо, щоб

Теорема2: Якщо всі похідні функції f(x) в околі т. х0 обмежені деяким числом М то ряд Тейлора збігається доf(x)

12.Наближені обчислення за допомогою степеневих рядів.

Нехай потрібно обчислити значення функції f(x) при x = x₀, функція f(x) розкладується в ряд Тейлора в околі точки x₀. f(x₀) – це сума ряду S(x₀). Наближене значення f(x₀) S(x₀), при цьому похибка |r₀(x₀)| = |U_n+1(x₀) + U_n+2(x₀) + + … |. Причому, якщо ряд для f(x), такий, що знаки якого строго чергуються то похибка

|r₀(x₀)| < |U_n+1(x₀)|

Якщо ряд, знакододатній або закозмінний, то похибку оцінюють так:

|r_n(x₀)| = |U_n+1(x₀) + U_n+2(x₀) + … ||U_n+1(x₀)| + |U_n+2(x₀)| + … < a₁ + a₂ + …

Де - числовий ряд, сума якого можна знайти.

Наближене обчислення визначеного інтеграла.

Нехай потрібно обчислити f(x) = , який або не виражений в елементарних функціях, або важко обчислюється. Якщо фукція f(x) розкладається в степеневий ряд, а проміжок інтегрування [0,x] належить області збіжності цього ряду, то отримаємо функцію F(x).

Наближене розв’язання степеневих рядів

Розглянемо диф. рівняння y` = f(x,y);

y(x₀) = y₀ (12.1)

Шукаємо розв’язок 12.1 у вигляді ряду:

y(x) =

y`(x₀) знаходимо з 12.1 підстановкою x₀ та y₀. Щоб знайти y`` - диференціюємо 12.1 по х.

І т.д.

13.Ряди Фур’є. Гармонічні коливання.

Функція y=f(x) належить D має період T>0, якщо

Основні властивості періодичних функцій:

1^о. f(x) + F(y) (обидві періодичні) = також функція з періодом T.

2^о. Якщо функція f(x) має період T, то f(ax) має період

Доказ:

f(a(x+

Доказано.

3^о.Якщо f(x) має період T, і є інтервал на [x₀,x₁] теграл:

Доказ:

Нехай 0 < a < b < T;

Доказано.

Найпростішими періодичними коливаннями є прості гармонічні коливання, що задаються функцією: y=Asin((1.1),

Функцію вигляду 1.1 і її графік називають простою гармонією.

Перетворимо 1.1:

де b = .

Основний період функції 1.1 є T=.

Зокрема:

14.Тригонометричний ряд Фур’є.

О: Тригонометричним рядом називається функціональний ряд вигляду:

Де дійні числа (коефіцієнти ряду)

1.1 зокрема записується так:

15.Теорема Діріхлє про розклад в ряд Фур’є 2π-періодичних функцій. Розклад в ряд Фур’є парних і непарних функцій.

Нехай функція f(x) - 2періодична і інтегрована наі має місце розклад в ряд Фур’є.

Проінтегруємо 1.1 і межах

Поможемо 1.1 на cosmx і проінтегруємо на

Також помножимо 1.1 на sinmx і проінтегруємо на

Для інтеграла 2періодичної функції f(x) можна записати:

Де знаходимо з формул вище.

Теорема Діріхле: нехай періодична функціяf(x) на задовільняє умови:

1.) f(x) – кусково періодична на

2.) f(x) – кусково монотонна

Тоді ряд Фур’є зводиться до функції f(x) в точках де функція неперервна.

В точках розриву (x₀).

На границі відрізку