Момент импульса твёрдого тела

Пусть твёрдое тело вращается вокруг закреплённой оси z с угловой скоростью . Для нахождения момента импульса тела рассматриваем его как механическую систему материальных точек. Мысленно разобьём тело на элементарные части массойm_i, которые можно принять за материальные точки. Очевидно, что момент импульса тела относительно оси равен векторной суммеотдельных элементарных частей тела относительно той же оси. При вращении тела все его точки движутся по окружностям различного радиусаR_i, плоскости которых перпендикулярны к оси вращения. Поэтому моменты импульсов всех элементарных частей тела, согласно правилу правого винта, направлены в одну сторону вдоль оси вращения. Тогда векторное сложение заменяется скалярным, т.е.

(9)

Используя формулу (7), имеем: где модуль линейной скорости i-ой части. Но _i = R_i. Поэтому , и с учётом выражения (9)Поскольку все точки тела обладают одинаковой угловой скоростью, то её выносим за знак суммы: Так как момент инерции тела, то L_z = I_z. Запишем это выражение в векторном виде:

(10)

Итак, момент импульса твёрдого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на его угловую скорость. Направление , как и направление, находят по правилу правого винта.

Аналогия между вращательным и поступательным движением

Рассмотрев поступательное и вращательное движения можно установить аналогию между ними. В кинематике поступательного движения используются путь s, скоростьи ускорениеа. Их роль во вращательном движении играют угол поворота, угловая скоростьи угловое ускорение ε. В динамике поступательного движения применяются понятия силы, массыти импульсаВо вращательном движении роль силы играет моментсилы, роль массы — момент инерцииI_zи роль импульса — момент импульсаЗная формулы поступательного движения легко записать формулы вращательного движения. Например, скорость и ускорение тела при поступательном движении вычисляются по формуламиТогда угловая скорость и угловое ускорении при вращательном движении находится по формуламиПри поступательном движении импульс тела равенПоэтому при вращательном движении момент импульса равенЭту аналогию можно продолжать и дальше.

Основной закон динамики вращательного движения твёрдого тела

Пусть тело с моментом инерции I_zвращается относительно осиzпод действием равнодействующего моментасил. Запишем второй закон Ньютона, являющимся основным законом динамики поступательного движения:иЗдесьит— ускорение и масса тела,— импульс тела и— равнодействующая сил, приложенных к телу. Тогда, пользуясь аналогией между поступательным и вращательным движениями, получаем две записи основного закона динамики вращательного движения:

(11)(12)

Их формулировка: угловое ускорение, приобретаемое телом, пропорционально моменту внешних сил, приложенных к нему, относительно оси вращения, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно той же оси.

Момент внешних сил, действующих на тело, относительно оси вращения равен производной по времени от момента импульса тела относительно той же оси. Соотношение (12) является более общей записью основного закона динамики вращательного движения тела, так как оно оказывается справедливым и для тел, у которых момент инерции тела не является постоянной величиной.