Лекция №9. Уравнение плоской монохроматической волны

Пусть в точке О, которую примем за начало координат, находится источник колебаний, колеблющийся по закону=A·cost, где— мгновенное значение колеблющейся величины,А— амплитуда,— циклическая частота. Рассмотрим процесс распространения колебаний, например, вдоль координатной осиОx.Обозначим скорость распространения волны, т.е. скорость передвижения фронта волны, через. Очевидно, что колебания в точке с координатойхначинаются через промежуток времени=х/, который необходим, чтобы колебания достигли этой точки. Тогда уравнение колебаний в данной точке описываются уравнением=A·cost–) =A·cost–х/). Обычно это уравнение записывают в ином виде. Для этого преобразуем аргумент косинуса:t– х/) = =t –х/ =t– 2х/(T)так как2/T, гдеТ— период колебаний.Расстояние, на которое распространяется волна за период колебания, называетсядлиной волны. Обозначим её через. ТогдаT=. С учётом этого запишем:

(1)

Уравнение (1) называется уравнением плоской монохроматической волны. В этом уравненииAиамплитуда и циклическая частота волны, равная амплитуде и циклической частоте колебаний, происходящих в разных точках волны;фаза волны.

Звуковые волны

Звук представляет собой колебания воздуха или другой упругой среды, воспринимаемые нашими органами слуха. Звуковые колебания, воспринимаемые человеческим ухом, имеют частоты, лежащие в пределах от 20 до 20000 Гц. Колебания с частотами меньше 20 Гц называются инфразвуковыми, а больше 20 кГц—ультразвуковыми.

1. Характеристики звука. Звук у нас ассоциируется с его слуховым восприятием, с ощущениями, которые возникают в сознании человека. В связи с этим выделяют три его основные характеристики: высота, тембр и громкость звука.

а) Высота и тембр звука. Физической величиной, характеризующей высоту звука, является частота колебаний звуковой волны. Чем меньше частота, тем ниже звук, а чем больше частота, тем выше звук. Звук, издаваемый при полёте

жука, имеет частоту несколько десятков герц, тогда как писк комара —частоту, приближающуюся к 20000 Гц. Когда мы слышим музыкальный звук, то кроме высоты и громкости, мы воспринимаем его тембр. Звучание одной и той же ноты (следовательно, звучание одинаковой частоты) на скрипке и трубе чётко различаются на слух. Тембр звука связан с физически измеримыми величинами. Он определяется наличием обертонов (удвоенных, утроенных и т.д. частот основной частоты), их числом и амплитудами. У различных музыкальных инструментов число обертонов и их амплитуды оказываются различными. Именно это придаёт звуку каждого инструмента определённый тембр. Тембровая окраска звука определяется распределением интенсивностей обертонов, как, например, изображено на рис. 2. Другой тип звука—шум, который имеет место, например, при ударе двух камней друг о друга, ударе по всем клавишам рояля и т.д. Шум характеризуется большим числом частот, которые слабо связаны или не связаны друг с другом. Спектр шума представляет собой непрерывный набор частот и отдельные линии не выделяются.

Р

0 

0 

а)

б)

I

I

ис. 2

б) Громкость звука.Громкость звука связана с физически измеряемой величиной—интенсивностью волны.Интенсивность равна энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно к направлению её распространения. Интенсивность звуковых волн очень низка. Она изменяется от 10^–12 (порог слышимости) до 10 Вт/м²(болевые ощущения). Так, энергия рёва большой толпы футбольных болельщиков, приветствующих гол, приблизительно равна внутренней энергии чашки кофе при температуре ~ 45С.

Человеческое ухо воспринимает невероятно широкий диапазон интенсивностей, крайние его значения различаются в 10¹³раз. Установлено, что величина, которую мы воспринимаем как громкость, не прямо пропорциональна интенсивности. Уровень громкостиLвычисляется через интенсивность данного звукаIпо формуле

(2)

где за I₀принимается величина порога слышимости, причём используется десятичный логарифм. Уровень громкости измеряется в белах (Б). Однако удобнее оказалось использовать величину в 10 раз меньшую—децибел. Значение в этом случае записывается

(3)

Для примера приведём сравнительную таблицу уровней громкости (табл. 1).