Момент силы относительно оси

Для характеристики вращательной способности силы вводится физическая величина называемая моментом силы. Моментом силы относительно оси или вращающим моментом называют векторное произведение радиус-вектора , проведённого из центра окружности к точке приложения, и силыт.е.

(1)

Вектор перпендикулярен к плоскости, проведённой через векторы и Его направление находится по правилу правого винта: при повороте винта в направлении силы его поступательное движение даёт направление (рис. 1). Модуль M_z момента силы равен

M = RF·sin, (2)

где — угол между векторами и т.е. площади заштрихованного параллелограмма.

Момент инерции тела

Из опытов следует, что вращающиеся тела обладают способностью противодействовать изменению угловой скорости, которой они обладают, т.е. противодействуют приобретению углового ускорения. Например, автомобильное колесо раскрутить труднее, чем велосипедное. Это свойство тел было названо инертностью тела при вращательном движении. Для характеристики инертности тела при вращательном движении вводят физическую величину называемую моментом инерции. Момент инерцииI_zматериальной точки, вращающейся по окружности радиусомR, называется произведение массыттела на квадрат радиуса окружности, т.е.

I_z=mR². (3)

Для нахождения момента инерции твёрдого тела необходимо мысленно разбить его на элементарные части массой m_i, которые можно принять за материальные точки. Очевидно, что момент тела равен сумме моментов инерции её частей. При вращении все точки тела движутся по окружностям различного радиуса R_i, плоскости которых перпендикулярны к оси вращения. Поэтому момент инерции отдельных частей тела равен , а момент инерцииI_z тела равен:

(4)

Анализируя (3), приходим к выводу, что инертность тела при вращательном движении зависит не только от его массы, но и её распределения относительно оси вращения.

Момент импульса материальной точки

По аналогии с моментом силы относительно точки, вводится понятие момента импульса. Моментом импульса точечного тела относительно точкиназываетсявекторное произведение радиус-вектора , проведённого из этой точки до точечного тела, на импульсэтого тела:

(5)

Вектор как и момент силы, перпендикулярен к плоскости, проведённой через векторы и. Его направление находится по правилуправого винта: при повороте винта в направлении импульса его поступательное движение даёт направление (рис. 2). Модуль L момента импульса равен

L = rp·sin, (6)

где — угол между векторами и.

Особо отметим случай движения точечного тела по окружности. Согласно (6), модуль момента импульса относительно центра окружности равен

Р





O

ис. 2

L = Rp = mR, (7)

где R  радиус окружности, m и   масса и скорость данного тела. В этом случае sin  = 1, поскольку радиус окружности перпендикулярен к вектору скорости, направленному по касательной к окружности, и r = R. Движение точечного тела по окружности эквивалентно его вращению вокруг оси, перпендикулярной к плоскости окружности и проходящей через её центр. Пусть это будет ось z. Тогда момент импульса относительно оси вращения, учитывая (5), равен:

(8)

где  радиус-вектор, проведённый из точки пересечения оси с плоскостью окружности, по которой движется точечное тело. Направление также находится по правилу правого винта.