Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями / Сборник задач по ВМ ч.3.pdf

Скачиваний:

239

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

2.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

ЛИТЕРАТУРА

1.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т 1. – М.: Наука, 1966.

2.Кудрявцев Л.М., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Ч. 1. М.: Физматлит, 1984.

3.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.:

Наука, 1969.

4.Пушкарева Т.М., Третьякова Н.Н. «Введение в анализ» Программированный задачник. М.: МРТИ, 1987.

5.Сборник задач по математике для втузов. Ч.1. Болгов В.А. и др. М:. Наука, Физматлит., 1986.

6.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1981.

114

ОТВЕТЫ

Глава 1

1.1. A ={1;2;3;4;5;6}.	1.2.	A =			1;	3 +	21 ; 3 −	21	.
						2		2
						2		2
			π		2π
1.3. A ={−2;−1;0;1;2} . 1.4.	A = 0;			;		;π .	1.5.	A ={1;2;3} .
1.3. A ={−2;−1;0;1;2} . 1.4.	A = 0;		3	;	3	;π .	1.5.	A ={1;2;3} .
			3		3


1.6.		1)	A U B ={1;2},		A I B ={2},			A \ B = 0/,		B \ A ={1};
2)	A U B ={−3;4},			A I B ={4},			A \ B = 0/,		B \ A ={−3}.
1.7.		1)	A U B = (0;4],		A I B =[1;3),			A \ B = (0;1),			B \ A =[3;4] .
2)	A U B =[−5;1],			A I B = (−2;−1],				A \ B =[−5;−2],			B \ A = (−1;1] .
1.8. {−1;1}. 1.9 (−1;1) .					1.10. [−1;−0.5] U[0.5;1].					1.11. {−1} U (0;1].
1.12. [−1;0) U (0;0.5) U{1}.						1.22. max X = sup X =1,					min X = inf X = −1.
1.23.		max X , min X ,		sup X несуществуют,					inf X = 0 .
1.24. max X несуществует, sup X = 5,								inf X = min X = 2 .
1.25.		max X = sup X =1,				inf X = 0,		min X	несуществует.
1.26.		max X = sup X = −1,				min X	и	inf X	несуществуют.

1.27. max X = sup X =1 2 ,																inf X = 0,								min X			несуществует.
1.28. sup X =									2,			inf X = −							2 .
																					Глава 2
2.9.		− 4 + i .									2.10.			7 − 3i .								2.11. 11 − i . 2.12. 23 −14i . 2.13. 1 + i .
2.14.	−	1		−	7				i .		2.15.				5			−		3	i .			2.16.			0.	2.17.					−		18			+	23	i .
2.14.	−	25		−	25				i .		2.15.				17			−	17		i .			2.16.			0.	2.17.					−	25				+		i .
		25			25										17				17															25				50
2.18.	x = 2, y =1. 2.19.													x =				20		, y = −				36	.	2.20.			x =		1	, y =		1		.
2.18.	x = 2, y =1. 2.19.													x =				17		, y = −				17	.	2.20.			x =			, y =		4		.
																		17						17				3						4
2.21.	x = −							β					, y = −						α				. 2.22.			x = −1 , y = − 2							2 .
2.21.	x = −				2 + β 2								, y = −					2 + β 2					. 2.22.			x = −1 , y = − 2							2 .
				α	2 + β 2										α			2 + β 2										3					3
2.23.	z	= 0,						z		2	= −1,			z	3,4			= 1 ±					3 i . 2.24.				z =		3	+ i . 2.25.							z =1 + i .
2.23.	z	= 0,						z			= −1,			z				= 1 ±					3 i . 2.24.				z =			+ i . 2.25.							z =1 + i .
	1																		2			2						3
2.26.						z2 = i . 2.27.													2			2						3
2.26.	z1 =1,					z2 = i . 2.27.												z1 =1 + ti,						z2 = t,			t R .
2.28.	z1 = 2 + i,										z2 = 2 − i .
2.29.	z1 = 5 − 5i,										z2 = −5 + 5i,									z3 =				26 −		26 i,			z4 = −				26 +					26 i .
2.30.	z =		7	+		5	i .				2.41.			1)			−			5i ,		2)		-4, 3) 1 +				3 i , 4)					3		−		1 i .
2.30.	z =			+	6		i .				2.41.			1)			−			5i ,		2)		-4, 3) 1 +				3 i , 4)					2		−		1 i .
		6			6																												2				2

109

2.42.

4(cos 0 + i sin 0) = 4e 0 i

;

3(cosπ + i sin π) = 3eπi ;

3) cos

+ i sin

= e

2 i

−

= 5e

− 2 i

;

5 cos

+ i sin

2.43.

+ i sin

;

−

= 2e

−

3 i

2 cos

2 e

2 cos

+ i sin

;

3) 2

= 2

−

4πi

;

2 cos −

+ i sin −

2 e

			5					5						5π		i
4)			5		+ i sin			5					8e	6		i
	8 cos			π						π =				.
	8 cos		6	π				6		π =				.
			6					6
											12								12
2.44.		1)	13 cos arctg										+ i sin arctg								;
2.44.		1)	13 cos arctg								5		+ i sin arctg						5		;
											5								5
							4											4
2)	5 cos π − arctg									+ i sin π					− arctg					;
2)	5 cos π − arctg									+ i sin π					− arctg					;
							3											3
3)		5(cos(− arctg2)+ i sin(− arctg2));
4)						1											1			−π
4)		17 cos arctg				4			−π			+ i sin arctg					4			−π	.
						4											4

2.45.		cos	3π	+ i sin	3π				−	11	π
	1)					;	2)	cos
			10		10					12

		11
+ i sin	−		π ;
		12

3)		π		π	4) cos(−α) + i sin(−α) .
3)	cos α −		+ i sin α −	;	4) cos(−α) + i sin(−α) .
		2		2

2.46			.							π					π			+ i sin					π
				1)		2 cos						cos												;
				1)		2 cos			14			cos		14								14		;
									14					14								14
2)		2(1 − sin α)											π			+		α						π	+	α
2)		2(1 − sin α)									cos					+		2		+ i sin					+		2		.
													4					2						4			2
2.47 .					5	(cos(−130o ) + i sin(−130o )).
2.47 .				3		(cos(−130o ) + i sin(−130o )).
				3
								π								11									11
2.48 .						2 sin													π	+ i sin−										. 2.63. 1)		− 4 + 4i ;
2.48 .						2 sin		5			cos −					20			π	+ i sin−					20			π		. 2.63. 1)		− 4 + 4i ;
								5								20									20
2)	−		1	−		3 i . 2.64.							cos 50o + i sin 50o . 2.65.																	–2.	2.66. −		1		.
2)	−		2	−		3 i . 2.64.							cos 50o + i sin 50o . 2.65.																	–2.	2.66. −				.
			2			2													1													64				3π
2.67.				2		(−1)	n	.				2.68.							1		(cos 8 + i sin 8) .									2.69	.	− 32 cos		5		3π	i .
2.67.				2		(−1)		.				2.68.									(cos 8 + i sin 8) .									2.69	.	− 32 cos			5		i .
																	cos4 2																		5

110

2.70.	n = 4k,		k Z .			2.73.	cos 4ϕ = cos4 ϕ − 6 cos2 ϕ sin 2 ϕ + sin 4 ϕ ,
															sin	nx	cos					(n +1)x
sin 4ϕ = 4 sin ϕ cos				3	ϕ − 4 cosϕ sin				3	ϕ .		2.74.			sin	2	cos						2		,
				3					3							2							2
																		sin			x
																					x
																				2
																				2
														2		2
при	x ≠ 0;	n	при		x = 0 . 2.76. ω1,2										+ i					2.77. ω1,2						=1 ± i 3 ,
при	x ≠ 0;	n	при		x = 0 . 2.76. ω1,2							= ±		2	+ i	2		.		2.77. ω1,2						=1 ± i 3 ,
														2		2
		2.78. ω1,2					π	− i sin			π								3π				+ i sin	3π
ω3 = −2 .						= ± cos						,	ω3,4		= ± cos												.
ω3 = −2 .						= ± cos	8				8	,	ω3,4		= ± cos				8					8			.
							8				8								8					8

2.80. ω1,2					= ±(					3 − i).				2.87.		k =1.				2.88.						k =1.				2.90. 1; 3; 5;					7.
2.91 .			z 3 − 9z 2 + 24z −16 .													2.92.			z1 =1.							2.93.			z1		= −1.		2.94. z1 = −						1		.
2.91 .			z 3 − 9z 2 + 24z −16 .													2.92.			z1 =1.							2.93.			z1		= −1.		2.94. z1 = −								.
2.95. 1;											2.96. 1;					–2. 2.97. –1; –2; –2.															2.98 .						2
2.95. 1;				–2;			3.				2.96. 1;				1;	–2. 2.97. –1; –2; –2.															2.98 .		9. Указание:
сделать замену z = 2 − u . 2.99.																		− 2z .				2.100 .						z 2 + z −1.
																			Глава 3
	3.3. {1 2 , 1, 5 4 , 7 5 , 3 2} .																3.4. {−1; 1 2 ,										−1 3 , 1 4 , −1 5} .
3.5. {0, 4, 0, 8, 0} .													3.6. {5 6π, 13 6π, 17 6π, 25 6π, 29 6π}.																					3.7.	xn		=			n +1			.
3.5. {0, 4, 0, 8, 0} .													3.6. {5 6π, 13 6π, 17 6π, 25 6π, 29 6π}.																					3.7.	xn		=						.
																			= 2 (1 + (−1)n+1 ).																						n
3.8. xn = (−1)n+1													1	.	3.9.			xn													3.10.		xn	= (−1)n				2n +1				.
3.8. xn = (−1)n+1													n +1	.	3.9.			xn													3.10.		xn	= (−1)n								.
								1					n +1											n														2n −1
3.11 .			xn =					1	(1 −10−n ) .						3.12 .				xn =					n		.	3.13.				xn = 3n + 2 .
3.11 .			xn =						(1 −10−n ) .						3.12 .				xn =					2n		.	3.13.				xn = 3n + 2 .
							3													n				2n
3.14.		xn = 3								n−1 .				3.15.		xn =				n			.
3.14.		xn = 3								n−1 .				3.15.		xn =			n +1				.
							2												n +1
							1					1 + 5			n		1 −		5		n
3.16		. x			=		1					1 + 5			−		1 −		5						.
3.16		. x		n	=										−										.
				n				5				2						2
								5				2						2

3.17 .			xn = (2a − 2b + (2b − a)n)21−n .																						3.18. а)					1;		б) 2, 4;		в) 2, 3;
г) 2, 3, 4;						д)				1, 2, 3.				3.19 .			Наименьший член x2 = −22 .																	3.20 . Наиболь-
ший член x						3	= 4 .						3.21 . Наибольший член														x =		1		3.60.		5.	3.61.		−1 2 .
ший член x							= 4 .						3.21 . Наибольший член														x =				3.60.		5.	3.61.		−1 2 .
																											1	3
3.62.				3.63.						− ∞. 3.64.					− ∞.			3.65.								3.66.		3				3.67.3.		3.68.					+ ∞.
3.62.		0.		3.63.						− ∞. 3.64.					− ∞.			3.65.					0.			3.66.		3.				3.67.3.		3.68.					+ ∞.
3.69.		0. 3.70.								−		2 .		3.71.		0.			3.72.						− 3 2 .			3.73.				7 2 .	3.74.		3 2 .						3.75.
–1. 3.76.					1 3. 3.77. 0.									3.78.			2 3 .			3.79.						− ∞. 3.80.						–1. 3.81. –24.
3.82.		1 4 .				3.83.						− 3 2 .			3.84.			4 3 .			3.85.						3 2 .				3.86. 1) + ∞;				2)	1;					3) 0.
3.87.		1)		e2 ;				2) 1 e .						3.88.		e3 .			3.89.						e −4 . 3.90.							+ ∞.	3.91.		0.

111

	3.92 . 4 3 .							3.93 . −1 4 .								3.94 . 2 .									3.95 . 1.				3.96.		0.				3.97. 0.
3.98.			1 2 .					3.99.				1 2 .
																			Глава 4
4.16. 1) 1 4 ;									2) ∞;						3) 1 2 ;						4)			0.		4.17.			1) 1;		2)				∞; 3)				1 2 ;
4) 1 3.				4.18. –16. 4.19. 1 3.													4.20. ∞.									4.21.		m ∞ .		4.22 .						m n .			4.23.
	a −1	.	4.24.				8 9 . 4.25.						∞. 4.26 .								49 24 .					4.27.		1 2 . 4.28.				−1 4 . 4.29. –3.
		.	4.24.				8 9 . 4.25.						∞. 4.26 .								49 24 .					4.27.		1 2 . 4.28.				−1 4 . 4.29. –3.
	3a 2
4.30.			3 2 .				4.31.		1 12 .			4.32.				−	2		2 .					4.33. –6.				4.34 .		m n .					4.35 .					112				.
4.30.			3 2 .				4.31.		1 12 .			4.32.				−			2 .					4.33. –6.				4.34 .		m n .					4.35 .									.
				1															3																				27
4.36 .				1			.	4.37 .			−		1	.	4.38.					−		7	.	4.39.			0.		4.40 .			1		.		4.41 . −						1			.
4.36 .					2a		.	4.37 .		1	−	2		.	4.38.					−	4		.	4.39.			0.		4.40 .		2			.	2	4.41 . −					4				.
					2a							2									4										2										4
4.67.			−		1	.	4.68.		−		.	4.69.				0.			4.70.					5.		4.71.		–2. 4.72.				−					. 4.73.				1.
				4						3		4.76 .								4.77 .									4.78 .						3π	4.79 .
4.74.			1.		4.75 .				3 4 .			4.76 .				0.				4.77 .					− sin a .				4.78 .		14.					4.79 .
e−3 .			e20 . 4.81.						e−1 18 .												4.83 .						. 4.84 .			e−1/ 2 .
4.80.			e20 . 4.81.						e−1 18 .			4.82.					1.				4.83 .					e	. 4.84 .			e−1/ 2 .						4.85.			6.
4.86.			− 6e−3 .					4.87.		2.				4.88. −				1			4.89.					4.	4.90. – 4 .				4.91 .							1
4.86.			− 6e−3 .					4.87.		2.				4.88. −			5				4.89.					4.	4.90. – 4 .				4.91 .
																	5																			5			π 2
4.92 . 27 ln 3 − 27 . 4.93. −1 10 . 4.94.																						–1.			4.95.		0.		4.96.	∞.				4.97 .					π 2				.
4.92 . 27 ln 3 − 27 . 4.93. −1 10 . 4.94.																						–1.			4.95.		0.		4.96.	∞.				4.97 .					2 ln a				.
																																							2 ln a
																		Глава 5
	5.13. Одного порядка.														5.14.			α = o(β) .								5.15.			α = o(β) .						5.16. Одного
порядка. 5.17.								α = o(β) .							5.18.			α = o(β) .								5.19.		β = o(α) .					5.20.

α = o(β) .

5.21.	12x			2	.	5.22.		−	2x	2	.	5.23.				1	(x −1) .			5.24.	1			.		5.25.	13		x	2	.
																2					8x4							2

5.26.		9	x 4 .			5.27.	8	x .	5.28. − x .								5.29.		−	27(x − 2π)3					.	5.30. 4.			5.31.			2.
	4
																				2		1
5.32.	4. 5.33. 3.						5.34.		2.			5.35.			3.		5.36. 2.			5.37.			.			5.38. 3.			5.39.			2.
																					2
		7					5						1					3
5.40.			.			5.41.		. 5.42.						.	5.43.				.	5.44. 1. 5.45. 2 . 5.46. Да .
	3						2					3						2

5.47. Да . 5.48. Нет . 5.49. Нет . 5.50. Нет . 5.51. Нет . 5.52. Нет .

5.53. Да . 5.54. Нет . 5.56. а), в), д) . 5.57. В более высокого порядка.

112

5.58. Одного порядка.

5.59.

А более высокого порядка.

5.60.

A ~ B .

5.61. Одного порядка. 5.62. 2.

5.63.

5.64.

2. 5.65.

5.66.

5.67. а) 3x ;

б)

− x3 .

5.68. а)

x 2 ;

б) 16x6 .

5.69. а)

; б)

x 4 .

Глава 6

6.16. а) Устранимый разрыв;

б) разрыв 2-го рода;

в)

y(+0) = 0 ,

y(−0) = −1. Разрыв 1-го рода;

г)

y(+0) = π ,

y(−0) = −π

. Разрыв 1-го рода.

6.17. а)

;

б)

3; в)

0; г)

невозможно.

6.18. а)

x = 0 (2-го рода),

6.19. а) b = −1,

x = −1 (1-го рода, неустранимый);

б) x = 0 (2-го рода).

a = 0 ; б) b = −1,

a = 2 .

6.20.

а)

a = 2 ;

б) b = e − 2 ;

в)

a = 2, b = e − 2 .

6.21.

1) x = 0

(2-го рода),

x =1

(устранимый).

f (1) = −

. 2)

x = 0 (уст-

ранимый),

f (0) = 0 . 3)

x = 0

(2-го рода)

. 4)

x = 0 (устранимый),

f (0) = 2 ;

x = ±1

(2-го рода);

x = π

+πk

(1 рода,

∆k

= 2 ). 6.22 . а) y = x2

x = 0 ,

x < 0 . Функция непрерывна x ;

при

x > 0,

y = 0

при

y = x при

б)

y =1 при

≤1,

y = x2

при

>1 . Функция непрерывна x .

6.23 . а)

При x = 0 разрыв 1-го рода.

б) При x = 0

устранимый разрыв

( y(±0) = 0) . При x = kπ

(k = ±1, ± 2, ....)

разрывы 1-го рода.

113

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Соседние файлы в папке Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями

#
11.05.20153.35 Mб183Сборник задач по ВМ ч.1.pdf
#
11.05.20151.73 Mб131Сборник задач по ВМ ч.10.pdf
#
11.05.20153.42 Mб115Сборник задач по ВМ ч.2.pdf
#
11.05.20152.99 Mб239Сборник задач по ВМ ч.3.pdf
#
11.05.20151.26 Mб120Сборник задач по ВМ ч.4.pdf
#
11.05.2015672.61 Кб178Сборник задач по ВМ ч.5.pdf
#
11.05.20151.41 Mб105Сборник задач по ВМ ч.6.pdf
#
11.05.20151.29 Mб140Сборник задач по ВМ ч.7.pdf
#
11.05.20151.03 Mб102Сборник задач по ВМ ч.8.pdf