Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями / Сборник задач по ВМ ч.3.pdf

Скачиваний:

239

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

2.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

6. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

6.1. Непрерывность функции в точке

Понятие непрерывности функции является одним из важнейших в математическом анализе. Рассмотрим три взаимно эквивалентных определения непрерывности функции в точке.

Будем предполагать, что данная функция f (x) определена в некоторой окрестности (x0 −δ; x0 +δ) рассматриваемой точки x0.

Определение 1. Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 (или при x = x0 ), если в этой точке существует предел функции, совпадающий со значением функции в этой точке, т.е. выполняется равенство

lim f (x) = f (x0 )

(6.1)

x→x0

Следующее определение называют определением «на языке приращений».

Определение 2. Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 , если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке отвечает беско-

нечно малое приращение функции, т.е. из			∆ x → 0 следует	∆ y → 0, где
∆ x = x − x0 – приращение аргумента,		∆ y = f (x0 + ∆x) − f (x0 )		– соответст-
вующее ему приращение функции.
Наконец, третье определение является следствием (6.1) и свойств одно-
сторонних пределов.	f (x) непрерывна в точке x = x0 ,
Определение 3. Функция					если в этой
точке существуют оба односторонних предела функции, равные					f (x0 ) , т.е.
выполняется равенство	f (x) =		f (x) = f (x0 ) .
lim		lim			(6.2)
x→x0 +0		x→x0 −0

Если же соотношение (6.1) нарушено, то говорят, что в точке x0 (или при x = x0 ) функция имеет разрыв. В частности, функция, не определённая в точке x0 , очевидно, разрывна в ней.

6.1. Доказать, что f (x) = sin x непрерывна при любом x0 R.

∆ Отметим, что f (x) = sin x определена на всей числовой оси. Покажем,

что lim sin x = sin x0 . Очевидно, что:

x→x0

sin x −sin x0

2sin

x − x0

cos

x + x0

≤

x − x0

< ε (ибо

sin α

≤

cosα

≤1).

< ε, если

Значит, при любом ε > 0

выполняется

sin x − sin x0

x (x0 −ε; x0 +ε). Отсюда следует, что

lim sin x = sin x0 и, таким образом,

x→x0

данная функция непрерывна в точке x0 . ▲

6.2. Показать, что f (x) =

x непрерывна при любом x0 > 0.

∆ Замечаем, что данная функция определена при всех x > 0 .

Пусть

∆ x = x − x0

–

некоторое

приращение

аргумента (x > 0) и

∆ y = f (x0 +∆x) − f (x0 ) =

x0 +∆x −

– соответствующее ему прираще-

ние функции. Тогда

∆ y =

x0 + ∆ x −

x0 =

( x0 + ∆ x

− x0 )( x0

+ ∆ x − x0 )

x0 + ∆ x +

∆ x

≤

∆ x

→ 0

при ∆ x → 0. Тем самым доказана непрерыв-

x0 + x +

ность функции в точке x0. ▲

6.3. Исследовать на непрерывность функцию

2x,

x ≥ 0,

f (x) =

x < 0.

− x,

∆ Данная функция определена при всех x R . Отметим, что она не относится к числу элементарных, так как не может быть получена путем суперпозиций (т.е. взятием функции от функции) из основных элементарных функций.

Совершенно ясно, что функция непрерывна при всех x > 0, ибо

lim	f ( x) = lim 2x = 2 lim x = 2x0 , если x0 > 0. Аналогично доказывается
x→x0	x→x0	x→x0

непрерывность f (x) при всех x < 0. Сомнение вызывает лишь точка «стыка» x = 0. Выясним, чему равны односторонние пределы функции при x → 0 :

f (+0) = lim 2x = 0;	f (−0) = lim (−x) = 0.	Мы	видим,	что
x→+0	x→−0

f (+0) = f (−0) = f (0). Следовательно, функция непрерывна и в точке x0 = 0

и, значит, непрерывна при всех x. ▲

6.4. Исследовать на непрерывность функцию

f(x) = sin1 x .

∆Данная функция не определена в тех точках, где знаменатель дроби равен нулю, то есть при x = kπ, где k = 0, ±1, ± 2,.... Следовательно, они яв-

ляются ее точками разрыва.

В остальных точках функция непрерывна, ибо, используя арифметические операции над пределами, получаем при x ≠ kπ :

lim	f ( x) = lim	1	=	1	=	1	= f (x0 ).
		sin x		lim sin x
x→x0	x→x0					sin x0
				x→x0
Итак, f (x) непрерывна при всех x, кроме x = kπ, k Z .								▲

6.2. Односторонняя непрерывность

Если рассматривать функцию только в правой или левой окрестности данной точки, то можно говорить об односторонней непрерывности.

Функция y = f (x) называется непрерывной справа в точке x0 , если она определена в некоторой правой окрестности [x0 ; x0 +δ] (δ > 0) этой точки и

f (x0 + 0) = f (x0 ) (рис. 6.1).

y=f(x)

f (x0 )

x0 X

Рис. 6.1

Совершенно аналогично определяется непрерывность в точке x0 слева

(рис. 6.2).

			y=f(x)
`	f (x0 )
	f (x0 )

		x0	X
		x0	X
	Рис. 6.2
Теорема. (Критерий непрерывности функции в точке).			точки x0 , непре-
Функция, определенная в окрестности (x0 −δ; x0 +δ)			точки x0 , непре-

рывна в этой точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в ней слева и справа.

6.5. Найти значения a и b, при которых функция

sin x + a,		если x > 0,
	если x = 0,
f (x) = 1,
	− cos x,	если x < 0,
b

в точке x = 0 :

1)	непрерывна справа;	2) непрерывна слева;
3)	просто непрерывна (т.е. непрерывна с обеих сторон).
∆	Вычислим односторонние пределы f (x) в точке x = 0		:

f (+0) =	lim	(sin x + a) = a;	f (−0) =		lim (b −cos x) = b −1. Учитывая, что
	x→+0				x→−0
f (0) =1, приходим к выводам:
1)	f (+0)	= f (0) a =1;	2)	f (−0) = f (0) b −1 =1 b = 2;
3)	f (+0)	= f (−0) = f (0) a =1,			b = 2.
Ответы: 1) a =1, b R;			2)	a R, b = 2;		3) a =1, b = 2.

Будем считать доказанным утверждение: любая из основных элемен-

тарных функций (sin x, cos x, tg x, ctg x, a x , loga x и т.д.) непрерывна в каждой точке своей области определения.

6.3. Свойства функций, непрерывных в точке

Теоремы о непрерывных функциях следуют из соответствующих теорем о пределах функций.

Теорема 1.(Арифметические операции над непрерывными функциями). Если функции f (x) и ϕ(x) непрерывны в точке x0 , то их сумма, разность,

произведение и частное также непрерывны в этой точке (последнее при условии, что знаменатель дроби не обращается в нуль в рассматриваемой точке).

Пример 1.	Многочлен P (x) = a		0	xn + a xn−1 +... + a				n	,	как легко следует
	n		0		1			n
из теоремы 1, непрерывен при любом x R.						Pn (x)
Пример 2.	Рациональная	функция			R(x) =	Pn (x)	непрерывна при всех
Пример 2.	Рациональная	функция			R(x) =	Qm (x)	непрерывна при всех
						Qm (x)

x R, для которых Qm (x) ≠ 0.

Теорема 2. (Непрерывность сложной функции). Если функция u =ϕ(x) непрерывна в точке x0 , а функция y = f (u) непрерывна в точке u0 =ϕ(x0 ), то сложная функция y = f (ϕ(x)), являющаяся суперпозицией (наложением) двух данных, непрерывна в точке x0.

Пример 3. Функция u = sin x непрерывна при всех x R, а функция y =e1/ u непрерывна при всех u ≠ 0. Тогда, в силу теоремы 2, сложная функция y =e1/ sin x непрерывна в тех точках, где u = sin x ≠ 0, т.е. при всех x R, x ≠ kπ (k Z ).

Из данной теоремы следует, что любая элементарная функция непрерывна в области своего определения (напомним, что элементарной называет-

ся функция, получающаяся конечным числом суперпозиций из основных элементарных).

Пример 4. Функция y = 2cos5 (tg x)

непрерывна при всех x R, x ≠ π2 + kπ,

так как является суперпозицией четырех основных элементарных функций: y = 2u , u = v5 , v = cost, t = tg x, определённых при всех значениях аргументов,

кроме x = π2 + kπ, k Z.

sin x, x ≥ 0,

Пример 5. Функция y = не относится к числу элементар-

cos x, x < 0,

ных. Легко видеть, что она определена на всей числовой оси, однако имеет разрыв в точке x = 0 (рис. 6.3).

y = cos x

y = sin x

Рис. 6.3

6.4. Непрерывность функции на интервале и отрезке

Функция y = f (x) называется непрерывной на интервале (a;b), если она

непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция y = f (x) называется непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна на интервале (a;b) и, кроме того, в точке x = a непрерывна

справа, а в точке x = b – непрерывна слева.

Функции, непрерывные на отрезке, обладают рядом важных свойств. Теорема 1. (О наименьшем и наибольшем значениях). Если функция не-

прерывна на отрезке [a;b], то она достигает на этом отрезке наибольшего и

наименьшего значений,	т.е. существуют точки x1, x2 [a;b],	такие, что
f (x1 ) = m – наименьшее,	f (x2 ) = M – наибольшее значения f (x)	на отрезке
[a; b] (рис. 6.4).

	m




0 a	x1	x2 b	X
	Рис. 6.4

Теорема 2. (Ограниченность непрерывной функции). Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Это утверждение является следствием предыдущей теоремы, ибо для всех x [a;b] выполняется: m ≤ f (x) ≤ M .

Теорема 3. (О промежуточных значениях). Если функция непрерывна на

отрезке	[a;b]	и принимает на его концах неравные значения:
f (a) = A,	f (b) = B, A ≠ B, то на этом отрезке она принимает все промежу-
точные значения между A и B.
				Геометрически это означает, что прямая y = C
(где С – это			любое значение между А и В) хотя бы в одной точке
пересекает					график данной функции на этом отрезке
(рис. 6.5).
		Y
		A


		C
		C

		B

Рис. 6.5

Теорема 4. (О прохождении через нуль). Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a;b] и на его концах принимает значения разных знаков, т.е. f (a) f (b) < 0, то внутри отрезка найдётся точка с, хотя бы одна, в которой функция обращается в нуль: f (c) = 0.

Геометрически это означает, что непрерывная кривая, соединяющая точки (a; f (a)) и (b; f (b)) , лежащие по разные стороны от оси Ox, непремен-

но пересекает ось Ox (рис. 6.6).

f(a)>0

c b

f(b)<0

Рис.6.6

На данной теореме основан так называемый «метод половинного деления». С его помощью не только устанавливается существование на [a;b] корня функционального уравнения f (x) = 0 (где f (x) – непрерывная на [a;b] функция), но и приближенно вычисляется этот корень с любой заданной точностью ε.

Алгоритм решения задачи следующий.

1. Подбираем отрезок [a1;b1 ] [a;b], по возможности небольшой длины,

на концах которого	f (x) принимает значения разных знаков, т.е.
f (a1 ) f (b1 ) < 0. Тогда,	по теореме 4, на интервале (a1;b1 ) имеется корень

данного уравнения. Берем середину отрезка за первое приближение корня,

т.е. c =

a1 +b1

. Если

−b

≤ ε, то вычисление корня закончено

и значение

корня c ≈ c1.

> ε. Рассматриваем отрезки [a1;c1]

и [c1;b1 ] и

2. Допустим, что

a1 −b1

выбираем тот из них,

на концах которого

f (x) принимает значения разных

знаков. Обозначаем этот отрезок [a2 ;b2 ]

и применяем к нему предыдущие

рассуждения.

Середину отрезка c2 =

a2 +b2

берем за второе приближение

корня. Если a2 −b2 ≤ ε, то процесс вычисления закончен. И так далее.

	3. На k-м этапе получаем: c ≈ ck		=	ak +bk	,	при условии ,		что

	ak −bk	≤ ε.	2
							x 2 x =1
6.6.		Вычислить приближенно корень уравнения						на отрезке
[0;1] с точностью 0,3.						f (x) = x 2x −1 = 0 . Тогда
	∆ 1. Преобразуем данное уравнение к виду:
f (x) = x 2x −1, f (0) = −1, f (1) =1, т.е.				f (0) f (1) < 0.			Значит, на (0;1) не-

пременно есть корень данного уравнения. Обозначим его через с. За первое

приближение корня берем середину отрезка [0;1], т.е. c ≈ c	=	0 +1	= 0,5.

1	2
2. Вычисляем f (0,5) = 0,5 20,5 −1 ≈ −0,3. Заметив, что
	f (0,5)		f (1) =

= −0,3 1 < 0, за второе приближение корня берем середину отрезка [0,5;1],

т.е.	c ≈ c2 =	0,5 +1		= 0,75.

	2			f (0,75) = 0,75 20,75 −1 ≈ 0,26.
	3. Находим					Легко видеть, что
f (0,5) f (0,75) < 0.				Тогда за c3	примем середину	отрезка [0,5;0,75], т.е.
c3 =	0,5 +0,75		= 0,625. Учитывая,		что длина последнего рассматриваемого

	2

отрезка [0,5;0,75] равна 0,25, заключаем, что мы нашли приближенное значение корня данного уравнения на отрезке [0;1] с точностью 0,25<0,3.

Ответ: c ≈ 0,625.	▲
6.7. Показать, что любой многочлен нечетной степени имеет хотя бы
один действительный корень.				xn +a xn−1
∆ Пусть данный многочлен имеет вид		P (x) = a	0	xn +a xn−1	+...+a	n	,	где
		n	0	1		n

a0 > 0 и n N – нечетное число. Преобразуем многочлен следующим обра-

зом:

P (x) = xn (a

+... +

Поскольку

lim (a

+... +

) = a

> 0,

x→∞

то

lim

P (x) = +∞, lim

P (x) = −∞. Отсюда следует,

что найдется такое

x→+∞

x→−∞

x ≥ A

x ≤ −A.

число

А,

что Pn (x) > 0

при

Pn (x) < 0

Но

тогда

Pn (−A) Pn ( A) < 0.

Применяя теорему 4

к функции

Pn (x)

на отрезке [-A;A],

заключаем, что между –А

и А

непременно имеется точка С,

в которой

Pn (C) = 0,

что и доказывает данное утверждение.

Случай a0 < 0 легко сводится к рассмотренному.

▲

6.8. Найти корень уравнения x3 −3x2 + 6x −1 = 0 с точностью до 0,1.

∆

Обозначим

f (x) = x3 −3x2 +6x −1. Замечаем, что

f (0) = −1,

f (1) = 3, т.е. f (0) f (1) < 0

и, значит, на интервале (0;1) имеется корень урав-

нения. За первое приближение корня берем c

0 +1

= 0,5.

2. Убедившись, что

f (0) f (0,5) = −1

3 < 0, получаем:

0 + 0,5

= 0,25.

3. Поскольку

f (0) f (0,25) = −1 0,328 < 0, находим: c3

0 + 0,25

= 0,125.

4. Убедившись, что f (c2 ) f (c3 ) < 0,

получаем

c2 +c3

0,25 +0,125

= 0,1875.

5. Убедившись, что f (c3 ) f (c4 ) < 0,

находим

c3 +c4

0,125 +0,1875

= 0,156. Поскольку

c3 −c4

= 0,0625 < 0,1, на этом

этапе процесс вычисления заканчиваем.

Ответ: c ≈ 0,156.

▲

6.9.

Показать, что уравнение x sin x −0,5 = 0 имеет бесконечное множе-

ство решений.

f (x) = x sin x −0,5. Легко видеть, что

f (0) = −0,5 < 0,

∆ Обозначим

f (π ) = π

−0,5 > 0, т.е. f (0) f (π ) < 0. Следовательно, в силу теоремы 4, на

интервале

(0;

2) имеется корень уравнения. Рассмотрим теперь отрезок

I k

= 2πk;

π + 2πk , где k N. Имеем f (2πk) = −0,5 < 0,

f (π

+ 2πk) =

π + 2πk −0,5 > 0, т.е. внутри каждого из отрезков Ik содержится

корень уравнения. А поскольку этих отрезков бесконечно много, то и уравнение имеет бесчисленное множество решений. ▲

6.5. Точки разрыва и их классификация

Рассмотрим функцию f (x), определенную в проколотой окрестности

U (x0) точки x0 , а в самой точке – необязательно. Как уже отмечалось ранее,

те точки, в которых функция не является непрерывной, называют ее точками разрыва. Иначе говоря, если x0 – точка разрыва f (x), то в ней по какой-

либо причине нарушено равенство lim f (x) = f (x0 ) .

x→x0

В зависимости от причин такого нарушения различают разрывы 1-го и 2-го родов.

1. Точка x0 называется точкой разрыва 1-го рода функции f (x), если в этой точке функция имеет конечные пределы слева и справа:

lim f (x) = A,	lim f (x) = B.
x→x0 −0	x→x0 +0

Разрывы 1-го рода делятся на устранимые и неустранимые.

а) Если А=В, то разрыв 1-го рода называют устранимым. В этом случае пределы функции слева и справа равны, и, следовательно, существует и дву-

сторонний предел, равный А: lim	f (x) = A. Такой разрыв легко устранить,
x→x0	значением f (x0 ) = A (если она не была
доопределив функцию при x = x0	значением f (x0 ) = A (если она не была

определена в точке x0 ), либо изменив значение функции в точке x0 на А (ес-

ли она была определена не так). В таком случае говорят, что функция «доопределена до непрерывности».

Пример 1. Рассмотрим две функции:

f (x)

Обе функции

lim f (x) = lim		sin x	=1
		x
x→0	x→0

	sin x			sin x			,	x0 ≠ 0,
=

		и	g(x) =			x
	x	и	g(x) =			x
	x				−1 ,			x0 = 0.
					−1 ,			x0 = 0.
имеют		при	x → 0			конечные пределы,			ибо
и lim g(x) = lim sin x						=1.		Но функция f (x) не	оп-
	x→0		x→0	x

ределена при x = 0, следовательно, она имеет при этом значении устранимый разрыв 1-го рода. Этот разрыв легко устранить, если доопределить функцию

в точке x = 0 до непрерывности, положив f (0) = lim f (x) =1 (рис. 6.7).

x→0

y = f (x)

0	X
Рис. 6.7
Функция g(x) определена при x = 0, но «неправильно», ибо lim g(x) =1,
	x→0

а g(0) = −1, т.е.	x = 0 также является точкой	разрыва 1-го рода. Разрыв будет
устранен, если	изменить значение g(x) в	точке x = 0, положив g(0) =1
(рис.6.8).

y = g(x)

-1

Рис. 6.8

б) Если A ≠ B, то x0 называется точкой неустранимого разрыва 1-го рода. При этом величину B − A называют скачком функции в точке x0 и обозначают ∆ f (x0 ) (рис. 6.9).

	B
	A


	0				X
	0		x0		X
			Рис. 6.9
			+1,	x ≥1
Пример 2. Функция		x	+1,	x ≥1	x =1 имеет неустранимый
Пример 2. Функция	f (x) =		2	при	x =1 имеет неустранимый
		x	,	x <1

разрыв	1-го рода, так как f (1+0) = lim (x +1) = 2,	f (1−0) = lim x2 =1.
	x→1+0	x→1−0
Величина скачка f (x) в точке x0 =1 равна 1.
2.	Если хотя бы один из односторонних пределов	f (x) в точке x0 бес-

конечен или вовсе не существует, эта точка называется точкой разрыва второго рода. Заметим, что все разрывы второго рода неустранимы.

Пример 3.	Функция		f (x) =	1	при x =1 имеет разрыв 2-го рода,
Пример 3.	Функция		f (x) =	(x −1)2	при x =1 имеет разрыв 2-го рода,
				(x −1)2
так как lim	1	= +∞	(рис. 6.10).
так как lim		= +∞	(рис. 6.10).
x→±0 (x −1)2
				Y	f (x) =	1
						1
						(x −1)2
						(x −1)2

			0	1					X
		Рис. 6.10
Пример 4. Функция	g(x) = sin	1	при x = 0		имеет разрыв 2-го рода, так
Пример 4. Функция	g(x) = sin	x	при x = 0		имеет разрыв 2-го рода, так
		x			1			1
как ни один из односторонних пределов lim sin					1	,	lim sin	1	в этой точке не
как ни один из односторонних пределов lim sin					x	,	lim sin	x	в этой точке не
			x→+0		x		x→−0	x

существует (рис. 6.11).

Рис. 6.11

6.10. Определить характер разрыва функции f (x) при x =2 :

а) f (x) =

x2 − x −2

;

б)

f (x) =

sin (x −

;

x2 −4

x −2

в) f (x) = x arctg

;

г)

f (x) = e 2−x .

x −

∆ а) Преобразуем данную функцию:

f (x) =

x2 − x −2

(x −2)(x +1)

x +1

x2 −4

(x −2)(x + 2)

x + 2

(Здесь x − 2 ≠ 0, так как x = 2 D( f )) . Отсюда lim

f (x) = lim

x +1

= 3 .

Следовательно, x = 2 является для

x→2±0

x→2±0 x +2 4

f (x) точкой устранимого разрыва.

(Раз-

рыв ликвидируется, если доопределить f (x) в точке x = 2, положив

f (2) =

б) Функция

f (x) =

sin

(x −

не определена в точке x0 = 2, следователь-

x −2

но, разрывна в ней. Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:

lim

f (x) = lim

sin (x −2)

lim

sin (x −2)

=1;

x→2+0

x −2

x→2+0

x −2

lim

f (x) = lim

sin

(x −

2) =

lim

sin (x −2)

= −1.

x→2−0

x −2

x→2−0

2 − x

Односторонние пределы функции в точке x = 2 существуют, но не рав-

ны. Следовательно,

f (x) имеет в этой точке неустранимый разрыв 1-го рода.

Величина скачка функции в этой точке равна

1 − (−1)

= 2.

f (x) = x arctg

в)

Точка x0 = 2 является точкой разрыва функции

x −2

так как

x0 D( f ).

Выясним,

существуют ли в этой точке односторонние

пределы:

π =π;

f (2 + 0) =

lim

x arctg

= 2

x − 2

x→2+0

f (2 −0) = lim x arctg

= 2 (−

π ) = −π.

−

x→2−0

Так как f (2 + 0) и f (2 −0) существуют, но не равны, то f (x) делает при x = 2 конечный скачок величиной 2π.

г) Здесь также x0 = 2 D( f ). Найдем односторонние пределы:

	1		= e−∞ = 0,	1		= e+∞ = +∞.
f (2 + 0) = lim e		2−x		f (2 −0) = lim e	2−x
x→2	+0			x→2−0

Один из односторонних пределов функции в точке x0 = 2 бесконечен. Следовательно, функция имеет в этой точке разрыв 2-го рода (рис. 6.12). ▲

	1
0		2			X
					X
	Рис. 6.12
					3
					3	,	x >1,
			3x			,	x >1,
6.11.Найти точки разрыва		функции		+ x,			−1 < x <1,
6.11.Найти точки разрыва		функции	f (x) = 2	+ x,			−1 < x <1,
				1
							x < −1.

			x +1 ,

(рис.6.13).

Рис. 6.13

∆ Очевидно, что x =1 и x = −1 являются точками разрыва функции, так как она в них не определена. В остальных точках функция непрерывна, так как на каждом из интервалов (−∞;−1) , (−1;1) , (1;+∞) она определена и

является элементарной.

Вычислим односторонние пределы f (x) в точках разрыва:

f (1+0) = lim 3x3 = 3,

f (1−0) = lim (2 + x) = 3,

x→1+0

x→1−0

f (−1+0) =

lim

(2 + x) =1,

f (−1−0) =

lim

= −∞.

x→−1+0

x→−1−0 x +1

Поскольку f (1 + 0) = f (1 −0),

то x =1 является точкой устранимого разрыва

1-го рода. В

точке

x = −1

функция имеет

разрыв

2-го

рода, так как

f (−1 −0) = −∞.

▲

−2

1−x

в точке x =1.

6.12. Исследовать характер разрыва функции f (x) =2

Можно ли определить f (1)

так,

чтобы функция стала непрерывной при

x =1 ?

∆ Замечаем, что функция разрывна при x =1,

так как x =1 D( f ). Вы-

ясним, существуют ли в этой точке односторонние пределы функции.

	1		= 2−∞ = 0,		1		= 2+∞ = +∞,
Поскольку	lim = 2	1−x		lim	2	1−x		то
	x→1+0			x→1−0
f (1+0) = 20 =1,	f (1−0) = 2−∞ = 0. Видим,			что	f (1 + 0) ≠ f (1 −0),			следова-

тельно, f (x) имеет при x =1 скачок величиной 1. В таком случае доопреде-

лить функцию в точке x =1 до непрерывности невозможно.

▲

6.13. Доопределить функцию f (x)

в точке x = 0 до непрерывности, ес-

ли это возможно.

2 sin 3x arctg 2

f (x) =

x (5 1 + tg 4x −1)

sin 4x2

(23x −1)

∆ Выясняем, существует ли предел

f (x) при

x → 0.

Применяя таблицу э.б.м. (см. п. 4.6), получаем:

sinα ~ α,

arctgα ~ α,

tgα ~ α

3x( x)

α ,

lim f (x) = 5 1+α −1 ~

2α −1 ~ α ln 2

= lim

4x2 3x ln 2

5ln 2

x→0

при

α → 0.

Следовательно,

x = 0

является точкой устранимого разрыва, который можно

ликвидировать, положив

f (0) =

▲

5ln 2

6.14. Определить характер разрыва в точке x = 0 функции Дирихле:

1, если x − рационально, D(x) = 0, если x −иррационально.

∆Функция D(x) определена при всех x. Предположим, что существует

еепредел при x → 0, равный некоторому числу A. Тогда, согласно признаку

Гейне, для любой последовательности

xn → 0,

(xn ≠ 0)

предел D(xn )

также существует и равен A.

Рассмотрим две бесконечно малые последовательности: {x'n } ={

} и

{x''n } ={π}. Все члены

{x'n }

рациональны, а тогда

D(x'n ) =1,

n N lim D(x'n ) =1.

n→∞

С другой стороны, все члены последовательности {x''n } иррациональны,

значит,

D(x''n ) = 0,

следовательно,

lim D(x''n ) = 0.

Мы получили противо-

речие,

ибо 1 ≠ 0 ,

значит, lim D(x)

n→∞

x = 0

не существует и в точке

функция

x→0

имеет разрыв 2-го рода.

▲

6.15.

Доказать на языке приращений (т.е. с помощью ∆x и

∆ y ) не-

прерывность функции у

в точке x0 :

π .

а)

y = 2x3 −1,

x0 =1;

б)

y =cos2x,

6.16. Исследовать на непрерывность в точке x0 = 0 функции:

а)

y =

;

б)

y = ctg2x ;

sin 3x

π .

в)

y =

;

г)

y = arctg

21/ x

−

6.17.

Доопределить функцию в т.

x0 до непрерывности, если это воз-

можно. Указать зачение

y(x0 ) , устраняющее разрыв.

а)

y =

tg3x

, x0

= 0;

б) y =

8 = x

x0 = 2 ;

arcsin 5x

− x

в)

y =

ln(cos x)

, x0

= 2π ;

г)

y =

2sin x

−

= 0 .

tg2x

1 − cos x

6.18. Найти точки разрыва функции и определить их тип:

21/ x ,

x > 0,

(x +1)2 ,

а)

y =

x −1 < x < 0, ;

б) y =

− x3 ,

−1 < x ≤ 0, .

cosπx,

x ≤ −1;

e x+1 ,

x ≤ −1.

6.19. Выяснить, при каких значениях параметров а и b функция у непрерывна для всех действительных х:

ln(1 + bx)

x > 0,

(x −1)3 ,

x ≤ 0,

а)

y =

cos2

x + a,

x < 0,

;

б)

y = ax + b,

0 < x <1, ;

x = 0;

x ≥1.

6.20. Найти значения a

b при которых функция

x −1 + a,

x >1,

f (x) =

x =1,

−b,

x <1,

в точке x =1:

а)

непрерывна справа;

б) непрерывна слева;

в) просто непрерывна (т.е. непрерывна с обеих сторон).

6.21. Найти точки разрыва функции, установить их род; доопределить функцию до непрерывности в точках устранимого разрыва; найти скачки в точках разрыва 1-го рода.

cos

πx

y =

;

y = sin x sin

;

x3 − x2

1 + x

y =ln(ln(1−x2)) ;

y =

;

1 − x

y = sign(cos x) .

Исследовать функцию на непрерывность в № 6.22 – 6.23 и построить

график в № 6.22 – 6.23 :

x + x

6.22 . а)

y = lim

;

б)

y = lim (1 + x2n )n .

n→∞ 1 + enx

n→+∞

6.23

. а)

y = lim

n x

− n−x

;

б)

y =

lim (x arctg(n ctgx)) .

+ n−x

n→∞ n x

n→+∞

7. ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ)

Вариант 1

1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

lim

n +1

= −

n→∞ 7 − 2n

Вычислить пределы последовательностей:

а)

lim

2(n +1)!−3n! (n2 +1)

;

б)

lim (

+ n − 5 − 4n

−1);

(n −1)!+n n!

n→∞

+ 3 5n−1

3n 2 +

n+1

в)

lim

;

г)

lim

n+1

n→∞ 5

− 3

− 5

n→∞

Используя определение предела функции по Коши, доказать, что

lim(2x − 3) = −1.

x→1

Вычислить пределы функций:

а)

lim

x 2 −1

;

б)

lim

tg x − sin x

;

+ 2x +

arcsin3

x→−1 x3

x→0

sin πx

lim(2e x−1 −1)

в)

lim

;

г)

x−1

x→3 log3 x −

x→1

Вычислить односторонние пределы

lim

x→±0 5 + 31/ x

x 2

Найти асимптоты и построить график функции

y =

− 2x + 3

x + 2

Найти главную часть вида а) cx k

б.м.ф. α(x) =

5 x3

+ 23 x + x при

2n2

7x +1

x → 0,

б)

б.м.п.

β(n) = arctg

при n

→ ∞.

n k

4n5 −

2n + 5

Доказать непрерывность функции f (x) = 2x3 − 3x

в точке

x0 =1 на

языке приращений.

(1 + x)3 −1

Доопределить функцию f (x) =

в точке

x0 = 0 до непре-

рывности, если это возможно.

x 2 − 3x + 2

10. Найти точки разрыва функции

f (x) =

и определить их

sin πx

тип. В точках разрыва 1-го рода найти скачки функции.

Вариант 2

1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

lim

2n 2 − 3

n→∞ 3n 2 +1

Вычислить пределы последовательностей:

а)

lim

5(n + 3)!−2(n +1)!

;

б)

lim (3 n + 2 − 3 n − 4);

n→∞ n(n + 2)!+3(n +1)!

n→∞

в)

lim

5 4n − 2 3n sin n

;

г)

− 7

4−n2

lim

n→∞

3 2n + 4n+1

n→∞ 2n

3. Используя определение предела функции по Коши, доказать, что

lim(4 − 3x) = −2.

x→2

4. Вычислить пределы функций:

e x − e3x

а) lim

1 − x

;

б)

lim

;

− x −1

x→1 2x 2

x→0 sin 2x − sin x

в) lim log 2 x ; x→1 ctg π2 x

г) lim (cos x) 2π −x .

x→2π

Вычислить односторонние пределы

lim e x−1 .

x→1±0

Найти асимптоты и построить график функции y =

x 2 − x

Найти главную часть вида а) cx k б.м.

α(x) = 3 sin 5 x − 4x tg x

при

x → 0,

б)

б.м. β(n) = arcsin

при n →∞.

n k

(n 2

+ 3)5 / 2

Доказать непрерывность функции

f (x) = 4x 2 − 5x + 3 в точке x0

= 2

на языке приращений.

Доопределить функцию f (x) = x ctg 2x

в точке x0

= 0 до непрерыв-

ности, если это возможно.

4x 2 −1

10. Найти точки разрыва функции

f (x) =

и определить их тип. В

cosπx

точках разрыва 1-го рода найти скачки функции.

Вариант 3

Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

lim

− n3

n→∞ 2 − 3n3

Вычислить пределы последовательностей:

а)

lim

n!−2(n −1)!

;

б)

lim

n 2 −1 × ( n 2 + 2 − n 2 − 3);

n→∞

3(n − 2)!+n 2 (n −1)!

n→∞

2n−1 cos n + 5 7 n

в)

lim

;

г)

lim

n−1

n→∞

− 4 3

− 5

n→∞ n

3. Используя определение предела функции по Коши, доказать, что

lim(4x +1) = 5.

x→1

4. Вычислить пределы функций:

а)

lim

x3 +1

;

б)

lim

ln(1 −

2x 2 )

;

+ 2x − x 2

x→−1 3

x→0 1 + x sin x − cos 2x

lim (π 2 − x 2 )ctg 5x;

lim (2e x−2 −1)

3x−1

в)

г)

2−x

x→π

x→2

Вычислить односторонние пределы

lim

x 2 −

x→±0

Найти асимптоты и построить график функции

y = 5 2−x .

Найти главную часть вида а) cx k

б.м.ф.

α(x) = ln(1 + 3 tg 8x6 ) − 4x3

−1) 2 при n →∞.

при x → 0,

б)

б.м.п.

β(n) = (2n +1)(e

n k

f (x) = 5x3 + 6x 2 − 4 в точке x0 = 0

Доказать непрерывность функции

на языке приращений.

ln(cos 2x)

Доопределить функцию f (x) =

в точке

x0 = 0 до непре-

рывности, если это возможно.

3x 2

x − 2

10. Найти точки разрыва функции f (x) =

и определить их тип. В

x 2 − 4

точках разрыва 1-го рода найти скачки функции.

Вариант 4

1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

lim 3 2n −1 = 3.

n→∞ 2n + 5

2. Вычислить пределы последовательностей:

а)

lim

3(n + 2)!−(n −1) n!

;

б)

lim (n + 3

1 − n 2 − n3 );

5(n +1)!+n!

n→∞

в)

lim

(−1) n 3n+1 − 5n

;

г)

lim

4n + 3 1−n3

n→∞

2 4n

+ 5n−1

n→∞ 4n − 7

3. Используя определение предела функции по Коши, доказать, что

lim (1 − 2x) = 3.

x→−1

4. Вычислить пределы функций:

а)

lim

3x 2 − 2x −1

;

б)

lim

− cos x

;

1 − x 2

x→1

x→0 e2x − e−x

sin 4x

x+1

в)

lim

;

г)

ln(2−x)

lim

x→−π

/ 4 1 + tg x

x→1 x

5.	Вычислить односторонние пределы			lim			1		.
5.	Вычислить односторонние пределы			lim			− 3x		.
				x→1±0 3			− 3x
6.	Найти асимптоты и построить график функции y =
7.	Найти	главную	часть	вида					а)
α(x) = sin( x 2 + 9 − 3) + 2 x7			при x → 0,	б)		c		б.м.п.
α(x) = sin( x 2 + 9 − 3) + 2 x7			при x → 0,	б)	n k			б.м.п.
при n → ∞.					n k
при n → ∞.

x 2 − 3	.
x +1

cx k		б.м.ф.

β(n) = ln n3 n3 +1

8. Доказать непрерывность функции f (x) = 3x 2 + 7x −1 в точкеx0 = −1 на языке приращений.

9. Доопределить функцию f (x) =	arctg 2 3x		в точке x0 = 0 до непрерыв-
	sin 5x 2
ности, если это возможно.
			1
10. Найти точки разрыва функции	f (x) =				и определить их тип. В
		e1/ x
				+1

точках разрыва 1-го рода найти скачки функции.

Вариант 5

1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

lim 1 − 4 n = −2.

n→∞ 2 n +1

2. Вычислить пределы последовательностей:

а) lim	n 2	(n − 3)!+(n −1)!	;	б) lim ( n3	+ n 2	− 2 − n3 +1);

n→∞ (n + 2)(n − 2)!+2(n −1)!				n→∞

	4n−2 +	5n arctg n		n	− 3	4n+1
в) lim			;	г) lim		.
в) lim		− 2 5n−1	;	г) lim		.
n→∞ 6n+1		− 2 5n−1		n→∞ n	+ 5
3. Используя определение предела функции по Коши, доказать, что
lim(x 2 − 4) = 0.
x→2
4. Вычислить пределы функций:

а) lim

x 2

+ 5x − 6

;

б)

lim

ln cos x

;

1 − x3

x 2

x→1

x→0

πx

в)

lim (x 2 − 4)tg

;

г)

lim(2 − e3x ) arcsin x / 2 .

x→2

x→0

2 − x

Вычислить односторонние пределы

lim

x→2±0

x − 2

Найти асимптоты и построить график функции y = 4 x+1.

Найти главную часть вида а)

cx k

б.м.ф.

α(x) = 2x 2 − cos 6x +1 при

x → 0,

б)

б.м.п.

β(n) =

e1/ n −1

при n → ∞.

n k

n + 3

f (x) = 3x − 4x3 +1 в точке x0 =1

Доказать непрерывность функции

на языке приращений.

2 x 3

Доопределить функцию

f (x) =

−1

в точке x0 = 0 до непрерывно-

5x3

сти, если это возможно.

1 + x

10. Найти точки разрыва функции f (x) =

и определить их тип.

1 − x

В точках разрыва 1-го рода найти скачки функции.

Вариант 6

1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

lim

1 + n

= −

n→∞ 6 − 2n

2. Вычислить пределы последовательностей:

а)

lim

(n +

1)!−2n n!

;

б)

lim (3 n3

−1 − 3 n3 + n 2 + 2);

n→∞ (n +1)(n −1)!+3n3

n→∞

5n+2 − (−1) n 3n−1

2n 2

в)

lim

;

г)

lim

n+2

n→∞

+ 3

− 3

n→∞

3. Используя определение предела функции по Коши, доказать, что

lim(−5 + 2x) = −1.

x→2

4. Вычислить пределы функций:
	1	− x 2				sin 2x − 2 sin x
а) lim			;	б)	lim		;
						ln(1 + 2x3 )
x→1 5x 2		− 6x +1			x→0

−2cos x

2x +1

в)

lim

;

г)

1−ex2

−1

tg 3x

lim

x→π / 3

x→∞

Вычислить односторонние пределы

lim

tg x

x→±0

Найти асимптоты и построить график функции y = −

x 2 (x + 5)

Найти главную часть вида

а)

cx k

б.м.ф. α(x) = 6arctg

x 2

−

3sin 5x

при x → 0,

б)

б.м.п.

β(n) =ln

n2 +1

при n → ∞.

n k

n2 +n +2

8. Доказать непрерывность функции f (x) = 7x − 5x 2 − 2 в точкеx0 = −2

на языке приращений.

1 + tg 2 2x −1

точке

= 0 до не-

9. Доопределить функцию f (x) =

x 2

прерывности, если это возможно.

10. Найти точки разрыва функции

f (x) = 1 −

x и определить их тип. В

x 2 −1

точках разрыва 1-го рода найти скачки функции.

Вариант 7

1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

lim

3n 2 − 4

= −3.

− n 2

n→∞ 1

Вычислить пределы последовательностей:

а)

lim

(n +1)!−(n

+ 3)!

;

б)

lim

n +1 ×( n + 2 −

n);

5(n + 2)!+(n − 4) (n +

1)!

n→∞

в)

lim

5 4n+1 − 3 2n arcctg n

;

г)

3n −1

n2 +n−5

lim

n→∞

3n−2 − 4n

n→∞ 3n + 2

3. Используя определение предела функции по Коши, доказать, что

lim (1 − x 2 ) = 0.

x→−1

4. Вычислить пределы функций:

а) lim	x3	− 2x 2 + 3	;	б) lim	52x − 2	3x	;
		x +1				/ 2
x→−1				x→0 arcsin x

в) lim	sin x − cos x	;	г)
	ln tg x
x→π / 4

5. Вычислить односторонние пределы

		−	1
		−	sin 2 x .
lim (3 − 2 cos x)			sin 2 x .
x→0
lim	1	.
lim		.
x→±0 arctg x

6. Найти асимптоты и построить график функции

y =

x(x + 2) 2

7. Найти главную часть вида а)

cx k б.м.ф.

α(x) = 3sin 2 2x − 6x3

при

x → 0,

б)

б.м.п. β(n)

n +1

при n → ∞.

n k

(3 n −1)(n4 n3 +1)

Доказать непрерывность функции f (x) = 5x2 + 4x −1 в точке

= 0

на языке приращений.

arctgx2 sin

Доопределить функцию

f (x) =

в точке x0 = 0

до не-

sin 2x

прерывности, если это возможно.

10. Найти точки разрыва функции

f (x) =

и определить их тип.

2 + 3 x−1

В точках разрыва 1-го рода найти скачки функции.

Вариант 8

1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

lim

2 3n +7

=−2.

1−3n

n→∞

2. Вычислить пределы последовательностей:

а)

lim

n 2 (n − 2)!+3n!

;

б) lim (3

n 2 +1 − 3 n 2 + n − 2);

(n −1)!+n!

n→∞

2n−3 − 7 n

n3 + n + 2

−2n2

в)

lim

;

г)

lim

n+1

n→∞

5 3

+ cos n

−1

n→∞

100

3. Используя определение предела функции по Коши, доказать, что

lim(3x −10) = 2.

x→4

4. Вычислить пределы функций:

а)

lim

x3 −1

;

б)

lim

ln(1 − x3 )

;

2 sin x − sin 2x

x→1 x3 + x −

x→0

lim(3ex−2 −2)

в)

lim(x2 −π2)ctg 3x;

г)

2x−x2

x→π

x→2

Вычислить односторонние пределы

lim

x→1±0 log1/ 2 x

− x3

Найти асимптоты и построить график функции

y =

Найти главную часть вида а)

cx k б.м.ф.

α(x) =

x3 +1 −1+33 x8

при

x → 0

б)

б.м.п.

β(n) = e

2n3

−1

при n → ∞.

n k

9n2 +5

Доказать непрерывность функции f (x) = 6x3 − 2x 2 + 3 в точке x0

= 2

на языке приращений.

arc cos x

Доопределить функцию

f (x) =

в точке x0

= 0 до непрерыв-

ности, если это возможно.

10. Найти точки разрыва функции f (x) =

и определить их тип. В

sin x

точках разрыва 1-го рода найти скачки функции.

Вариант 9

Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

lim

6n3 − 4

= −2.

n→∞ 1 − 3n3

Вычислить пределы последовательностей:

а)

lim

n(n + 2)!−3(n +1)!

;

б)

lim

9n 2

− 3(

n 2 + 5 −

n 2 + 2);

n→∞

(n −1) n!+(n + 2)!

n→∞

3n −7 4n+2

5n +

3−5n

в)

lim

;

г)

lim

5n−1 +(−1) n

3n+1

n→∞

n→∞ 5n −

3. Используя определение предела функции по Коши, доказать, что

lim(17 − 4x) = −3.

x→5

4. Вычислить пределы функций:

101

а)

lim

3x3 − x + 2

;

б) lim

1 + x sin x −1

;

x→−1

+ x

x→0

e x

−1

в)

lim

ctg 3x sin 5x;

г)

ln(5−2 x)

lim

x→−π

x→2 x

Вычислить односторонние пределы

lim arctg

x→±0

Найти асимптоты и построить график функции

y =

(x +1) 2 x

Найти главную часть вида а)

cx k

б.м.ф.

α(x) = e−2x + 5x 2 −1,

при

x → 0,

б)

б.м.п. β(n) = n3tg

при n →∞.

n k

n4 + n − 3

Доказать непрерывность функции

f (x) =8x − 4x 2 +1 в точке x0

= 3

на языке приращений.

ln(1 + 3 x)

Доопределить функцию f (x) =

в точке x0

= 0 до непре-

x 2

рывности, если это возможно.

x −1

10. Найти точки разрыва функции

f (x) =

и определить их тип. В

x 2 −1

точках разрыва 1-го рода найти скачки функции.

Вариант 10

1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

lim

2 + 3 n

= −1.

8 − 3 n

n→∞

2. Вычислить пределы последовательностей:

а)

lim

5 (n −1)!+(n − 2)!

;

б)

lim (3

n 6 − n5 −1 − n 2 );

(n − 3)!−n(n − 2)!

n→∞

6n−1 − 5n+1

n 2

− 4

1−n+n3

в)

lim

;

г)

lim

n→∞ cos n 4

+ 2

+ 5

n→∞ n

3. Используя определение предела функции по Коши, доказать, что

lim (x 2 − 9) = 0.

x→−3

4. Вычислить пределы функций:

5x − 2

− 3x 2

lim

arctg 6x

;

а)

lim

;

б)

x 2

−1

− 32x

x→1

x→0 23x

102

в) lim(3 − x) tg	πx	;
x→3	6

г) lim (cos 2x)sin 2 4 x .

x→π

Вычислить односторонние пределы

lim

3 4−x .

x→4±0

x 2

Найти асимптоты и построить график функции

y =

+ 4x

−1

Найти главную часть вида а) cx k б.м.ф.

α(x) = x5 − 23 x 2 + 3x 2

n 2 + 5

x + 8

при x → 0,

б)

б.м.п.

β(n) = ln

при n →∞.

n k

n 2 +

Доказать непрерывность функции f (x) = 2 −3x2 − 4x3 в точке

x0 = −1 на языке приращений.

9. Доопределить функцию f (x) = x arctg

в точке x0 = 0 до непрерыв-

ности, если это возможно.

x 2

10. Найти точки разрыва функции

f (x) =

и определить их тип.

cos x −1

В точках разрыва 1-го рода найти скачки функции.

Вариант 11

Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

lim

5n + 2

n→∞ 3n −1

Вычислить пределы последовательностей:

а)

lim

(2n − 3) (n −1)!+n!

;

б)

lim (

4n 2 − n − 6 − 2n);

(n +1)!−4(n −1)!

n→∞

lim

5n−3 + sin

n 3n

;

4n − 3

3−n

в)

2n+1 −

3n−1

г)

lim

n→∞

4n +1

Используя определение предела функции по Коши, доказать, что

lim (x 2 + 2x + 3) = 3.

x→0

Вычислить пределы функций:

esin 2 x − esin x

а)

lim

x +1

;

б)

lim

;

−

tg x

x→−1 x3 + 2x 2

3x − 4

x→0

103

1 − x

ln(5+2x)

в)

lim

;

г)

lim

x→1 sin πx

x→−2 7 +2x

Вычислить односторонние пределы

lim

x→±0 2 x

−1

Найти асимптоты и построить график функции

y =

(3 − x)x 2

Найти главную часть вида а) cx k

б.м.ф. α(x) = x arctg2 3x −2x3 при

1 − cos

x → 0,

б)

б.м.п.

β(n) =

при n → ∞.

n k

2n 2 + 4n − 5

f (x) = 3 − 5x − 6x 2 в точке x0 =1

Доказать непрерывность функции

на языке приращений.

e x 3

Доопределить функцию

f (x) =

−1

в точке

= 0 до непрерыв-

ности, если это возможно.

e3x

10. Найти точки разрыва функции f (x) =

−1

и определить их тип.

x(x

+ 2)

В точках разрыва 1-го рода найти скачки функции.

Вариант 12

Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

lim

7 − n 2

= −

n→∞ 4n 2 −1

Вычислить пределы последовательностей:

а) lim

(n + 3)!+n(n + 2)!

;

б)

lim (3

8n3

− n +1 − 2n);

n→∞ 2n 2 (n +1)!−(n + 2)!

n→∞

4n+1 − 3

n 2

n3 +2n−1

в)

lim

;

г)

lim

n−1

n→∞ (−1)

− 2 4

−

n→∞ n

Используя определение предела функции по Коши, доказать, что

lim (4 − 2x) =8.

x→−2

Вычислить пределы функций:

а)

lim

x3 −1

;

б) lim

x arcsin 2x

;

1 − cos 3x

x→1 2x 2 − 3x +1

x→0

104

1+x

cos 6x

ln(1−2tg 2x)

в) lim

;

г)

lim

− e

tg x +1

x→−π

/ 4

x→0

Вычислить односторонние пределы

lim

arcctg

− x

x→2±0

Найти асимптоты и построить график функции

y =5

3−x

Найти главную часть вида а) cx k

б.м.ф.

α(x)

5x3 − 2x 2 + 3 x10

2n 2

x − 4

при x → 0,

б)

б.м.п.

β(n) = ln

+ 3n +1

при n → ∞.

n k

2n 2

+ n − 2

Доказать непрерывность функции f (x) = 5 − 2x + 4x3 в точке x0 = 0

на языке приращений.

−

Доопределить функцию f (x) = e

в точке x0 = 0 до непрерывно-

сти, если это возможно.

sin x

10. Найти точки разрыва функции

f (x) =

и определить их тип. В

x 2 − x

точках разрыва 1-го рода найти скачки функции.

Вариант 13

Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

lim

4n3 +1

= −4.

− n3

n→∞ 10

Вычислить пределы последовательностей:

а)

lim

(n −1) n!+3(n −1)!

;

б)

lim (3n −

9n 2 + 5n − 4);

n!+n(n − 2)!

n→∞

lim

2n − 4 3n−2 sin

;

1 3n−4

в)

7 n−1 + 5 3n+1

г)

lim

−

n→∞

n→∞ 2n

Используя определение предела функции по Коши, доказать, что

lim(x 2 − x − 4) = −4.

x→0

Вычислить пределы функций:

e4x

− e−2 x

а) lim

1 − x 2

;

б)

lim

;

2tg

x→−1 x3 + 4x +

x→0

в) lim

sin πx

;

г)

lim x2 2 − cos x.

x→3 log3 x −1

x→0

105

Вычислить односторонние пределы lim

x→±0 21/ x +1

Найти асимптоты и построить график функции

y =

x 2 − 2x − 3

Найти главную часть вида

а) cx k

б.м.ф.

α(x) = x 2 arctg 23 x − 4

при x → 0, б)

б.м.п.

β(n) = ln(3n + 2) − ln(3n − 5)

при n →∞.

n k

f (x) = 4 + 3x − 2x 2 в точке x0

Доказать непрерывность функции

на языке приращений.

−

Доопределить функцию

f (x) = e

+ x 2

в точке

x0 = 0 до непре-

рывности, если это возможно.

x + 5

10. Найти точки разрыва функции f (x) =

и определить их тип. В

x 2 − 25

точках разрыва 1-го рода найти скачки функции.

Вариант 14

1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

lim

5n + 6

= −1.

n→∞ 3 − 5n

Вычислить пределы последовательностей:

а)

lim

2n (n +1)!−3(n + 2)!

;

б)

lim (n + 3

1 − n 2 − n3 );

n!+(n +1)!

n→∞

5n+1

− 6 4n

3n 2

− 5

1−n3

в)

lim

;

г)

lim

n−1

n→∞ 3

+ 2 5

+ 2

n→∞

3. Используя определение предела функции по Коши, доказать, что

lim(16 − x 2 ) = 0.

x→4

4. Вычислить пределы функций:

а) lim	x3 −x		;

x→1 x3 + x −2
в) lim	e x − e			;
		−1)
x→1 tg(x 2

б)

г)

arcsin x3 lim 3 ; x→0 ln cos 2x

πx

6 − x ctg 3 lim . x→3 3

106

Вычислить односторонние пределы

lim

x 2

− 9

− 3

x→3±0

Найти асимптоты и построить график функции y = 6 x−2 .

Найти главную часть вида а) cx k

б.м.ф.

α(x) = x sin 2 5x − 3x + x3

β(n) = (5n 2

−1) 4

при x → 0, б)

б.м.п.

+ 3)(e n−1

при n →∞.

n k

Доказать непрерывность функции f (x) = x3 − 3x 2 + 2 в точке x0 = −1

на языке приращений.

Доопределить функцию

f (x) = arcsin x в точке x0 = 0 до непрерыв-

ности, если это возможно.

ln(1 − 2x)

10. Найти точки разрыва функции f (x) =

и определить их тип.

x 2 + 4x

В точках разрыва 1-го рода найти скачки функции.

Вариант 15

lim 3

n→∞ 6

а)

в)

lim(3x

x→1

а)

Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

n + 2

= 1 .

n − 5

Вычислить пределы последовательностей:

lim

(n − 3)!+6n(n − 2)!

;

б)

lim (

n 4 + n3 −1 − n 4 + 2);

n→∞ (n −1)!+(n +1)(n − 3)!

n→∞

5n−2 + 6n+1

2 + 4

5−n−n4

lim

;

г)

lim

n→∞ 12 6

− arctg n 4

− 7

n→∞ n

Используя определение предела функции по Коши, доказать, что

− 5) = −2.

Вычислить пределы функций:

3 + 2x 2 −1

9 x

− 23x

lim

;

б)

lim

;

x 2 −1

x→−1

x→0 arcsin

1 − log 2 x

в) lim

;

г)

lim(cos x)

sin2 2x

tg πx

x→2

x→0

Вычислить односторонние пределы

lim

1 − x

2x − 3

x→1±0 x 2

107

						1
6. Найти асимптоты и построить график функции					y = 2 4−x .
7.	Найти главную часть вида			а) cx k б.м.ф.		3 x +1 −1	при
					α(x) =
				(n +1) arctg 1		2x 2 + 3
		c
x → 0,	б)		б.м.п. β(n) = (	n	при n → ∞.
		n k		n +5 +2)(2n2 +4n −3)
8. Доказать непрерывность функции f (x) = 3x 2 −5x + 7 в точке x0							= 2
на языке приращений.

9. Доопределить функцию	f (x) =	e −tg 5x −1	в точке
9. Доопределить функцию	f (x) =	sin 3x	в точке
ности, если это возможно.		sin 3x
ности, если это возможно.

10.	Найти точки разрыва функции f (x) =	sin 3x 2
		x3 − 3x	2

x0 = 0 до непрерыв-

и определить их тип.

В точках разрыва 1-го рода найти скачки функции.

108

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями

#
11.05.20153.35 Mб183Сборник задач по ВМ ч.1.pdf
#
11.05.20151.73 Mб131Сборник задач по ВМ ч.10.pdf
#
11.05.20153.42 Mб115Сборник задач по ВМ ч.2.pdf
#
11.05.20152.99 Mб239Сборник задач по ВМ ч.3.pdf
#
11.05.20151.26 Mб120Сборник задач по ВМ ч.4.pdf
#
11.05.2015672.61 Кб178Сборник задач по ВМ ч.5.pdf
#
11.05.20151.41 Mб105Сборник задач по ВМ ч.6.pdf
#
11.05.20151.29 Mб140Сборник задач по ВМ ч.7.pdf
#
11.05.20151.03 Mб102Сборник задач по ВМ ч.8.pdf