5. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ

их отношения.

Пусть α(x)

и β(x)

– две б.м.ф. при x → x0

(где x0

– число или символ

∞). Рассмотрим предел:

α(x) .

lim

(5.1)

x→x0

β(x)

1. Если предел (5.1) равен постоянному числу C ≠ 0, то α(x) и β(x)

называют б.м.ф.

одного порядка.

В этом случае б.м.ф.

α(x) эквивалентна

б.м.ф. C β(x) ,

т.е. α(x) ~ C β(x) при x → x0 ; в частности, при C =1 α(x)

и β(x) эквивалентны.

Пример.

Функции α(x) = tg 3x и β(x) = arcsin 5x есть б.м.ф. при

x → 0 . Найдем предел их отношения в этой точке:

tg 3x

tgα ~ α

3x

= 3.

lim

=

arcsinα ~ α

= lim

x→0 arcsin 5x

при α

→0

x→0

5x

5

Мы видим, что tg 3x ~

3

arcsin 5x,

т.е. б.м.

α(x)

и

β(x) имеют один

5

порядок.

2. Если предел (5.1) равен нулю,

α(x)

lim

= 0

,

(5.2)

x→x0

β(x)

скорость стремления к

нулю

α(x)

выше, чем

β(x) ), и обозначают:

α(x) = o(β(x)) .

Пример. При x → 0

α(x) =sin3 x

имеет более высокий порядок, чем

β(x) = ln(1 + 2x), ибо

sin3 x

sinα ~ α

x3

lim

=

ln(1+α) ~ α

= lim

=0,

2x

x→0 ln(1+2x)

при α →0

x→0

lim

β(x)

=

1

= 0.

α(x)

α(x)

x→x0

lim

x→x0 β(x)

3. Бесконечно малая α(x)

называется величиной k-го порядка по срав-

нению с б.м.ф. β(x) , если

lim

α(x)

= C ≠ 0

.

(5.3)

β(x)]k

x→x0 [

В этом случае α(x) ~ Cβ k (x).

Пример. Бесконечно малая при x → 0 функция α(x) = esin3 x −1 имеет

3-й порядок по сравнению с б.м.ф. β(x) = tg x, т.к.

α(x)

= lim esin3 x −1 =

eα −1 ~ α

sin3 x

lim

tgα ~ α

= lim

=1.

x3

x→0

βk(x)

x→0

tg3x

при

α →

0

x→0

4. Если предел (5.1) не существует, то б.м.ф. α(x) и

β(x)

называют не-

сравнимыми.

1

Например, бесконечно малые α(x) = x cos

и β(x) = sin x при x → 0

x

1

α(x)

x cos

= lim cos

1

несравнимы, ибо lim

= lim

x

не существует.

β(x)

x

x→0

x→0

sin x

x→0

Теорема 5.1. Две б.м.ф. при x → x0

α(x) и

β(x) эквивалентны тогда и

только тогда, когда их разность γ (x) =α(x) − β(x)

является б.м.ф. более вы-

сокого порядка, чем каждая из них, т.е.

α(x) ~ β(x) γ (x) = o(α(x)),

γ (x) = o(β(x)).

Следствие. Сумма конечного числа б.м.ф.

эквивалентна тому слагае-

мому, которое имеет самый низкий порядок.

Пример. 3 x −1 + (x −1)2

+ (x −1)3 / 2

~ 3

x −1

при x →1,

ибо порядок

(x − x0 ), равный k.

порядок k б.м.ф.

Пример. Найти главную часть и указать

α(x) = (x −1)3 x3 −1 при x →1 по сравнению с б.м.ф.

(x −1).

α(x) = (x −1)3 (x −1)(x2 + x +1) = (x −1)4 / 3 3

x2 + x +1. Легко видеть, что

α(x) ~ 3 3(x −1)4 / 3 , ибо lim 3

x 2 + x +1 = 3 3. Отсюда ясно, что главная часть

x→1

α(x) равна 3 3(x −1)4 / 3 и k = 4 / 3.

▲

Используя теорему 5.1

и таблицу э.б.м. (см. п. 4.6), можно получить

Пусть A(x) и B(x) – б.б.ф. при x → x0

(где x0

– число или символ ∞) и

существует предел

A(x)

lim

= C .

(5.4)

B(x)

x→x0

Тогда, если C ≠ 0, то A(x) и B(x) называются б. б.ф. одного порядка (при

C =1 – эквивалентными).

2x 2

6x 4

Пример.

Величины A(x) =

и B(x) =

при x →1 являются

x

−1

1

− x 2

б.б.ф. одного порядка, так как lim

A(x)

= −

2

.

3

x→1

B(x)

Если C = ∞, то A(x) называется б.б.ф.

более высокого порядка, чем B(x).

При C = 0, напротив, B(x) имеет более высокий порядок роста, чем A(x).

Пример.

Функция A(x) = 5x

является б.б.ф.

более высокого порядка,

чем B(x) = 3x

при x → +∞, ибо

5 x

5

x

lim

=

lim

= ∞.

3x

x→+∞

x→+∞ 3

Бесконечно большие при x → x0

функции A(x) и B(x) называются нес-

равнимыми, если предел их отношения не существует.

Пример.

Бесконечно

большие

A(x) = 4 x 4 −1 cos x

и B(x) = x

при

x → +∞ несравнимы, т.к.

lim

A(x)

4

x 4 −1

cos x

= lim cos x не существует.

B(x)

= lim

x

x→+∞

x→+∞

x→+∞

Величина A(x) называется б.б.ф. k-го порядка о сравнению с B(x), если

A(x) и B k (x)

есть б.б.ф.

одного порядка, т.е.

lim

A(x)

= C ≠ 0.

x5 / 2

x→x0

Bk (x)

Пример.

Величина

A(x) =

при

x → ∞ имеет порядок k =1 6

x7 / 3 +1

относительно величины B(x) = x,

ибо A(x) ~ x1/ 6

= B1/ 6 (x).

Главной частью б.б.ф.

A(x) при

x → x0 называется б.б.ф. Γ(x)

вида

c

, такая, что

A(x) ~ Γ(x). Если x → ∞, то главная часть A(x) имеет

(x − x0 ) k

вид Γ(x) = C x k .

Пример 1. Главной частью многочлена при x → ∞ является его старший

член, ибо

P (x) = a

0

xn

+ a xn−1 +... + a

n

~ a

0

xn .

n

1

1

1

Пример 2. Главной частью б.б.ф.

A(x) =

arctg

при x → +0

равна

x3

x

1

= π и, следовательно,

π

,

т.к.

lim

arctg

A(x) ~

π

.

Очевидно, что по-

2x3

2x3

x→+0

x

2

рядок A(x)

относительно

1

равен 3.

x

В задачах 5.1 – 5.5, используя таблицу э.б.м. (см. п. 4.6), сравните поряд-

ки данных бесконечно малых.

5.1. α(x) =1 − cos x,

β(x) = x2 ,

x →0.

∆

Поскольку α(x) =1

− cos x ~

x 2

, т.е. α(x) ~

1

β(x),

то α(x) и β(x) –

2

2

б.м. величины одного порядка.

▲

5.2. α(x) = ln x,

β(x) = (x −1)3 при

x →1.

∆ Преобразуем α(x) : α(x) = ln x = ln (1 + (x −1)).

Из таблицы э.б.м. известно,

что ln(1 +α1 ) ~ α1

при α1 → 0. Отсюда сле-

дует, что ln x ~ x −1 при

x →1 и,

значит, α(x) ~ 3 (x −1)3 = 3 β(x). Очевид-

но, что порядок α(x)

по сравнению с β(x) равен 1/3. ▲

5.3. α(x) =

x ln (1 + tg 2x),

β(x) = x при

x → 0.

∆

Используя таблицу э.б.м., имеем: ln (1 + tg 2x) ~ tg 2x ~ 2x. Следова-

тельно, α(x) ~ 2x3 / 2 , т.е. порядок α(x)

по сравнению с β(x) равен 3/2.

▲

5.4. α

(x) =

sin x

и β(x) =

1

при

x → ∞.

x

x

∆ Заметим,

что α(x) =

sin x

является б.м.ф.

при x → ∞, ибо она равна

x

1

произведению б.м.ф.

на ограниченную функцию sin x . Рассмотрим предел

α(x)

x

отношения: lim

= lim sin x. Как было доказано (пример 4.3

), послед-

x→∞ β(x)

x→∞

ний предел не существует. Следовательно, α(x)

и β(x) несравнимы.

▲

5.5. α(x) = ln(cos x),

β(x) = 3sin 2x −1,

x → 2π.

∆ Преобразуем данные функции с помощью замены x = y + 2π. Тогда,

если x → 2π, то y → 0. Получаем:

α(x) = ln(cos x) = ln(cos y) = ln(1 + (cos y −1)),

β(x) = 3sin 2x −1 = 3sin y

−1.

Пользуясь таблицей э.б.м., получим:

y 2

(x − 2π)2

α(x) = ln(1 + (cos y −1)) ~ cos y −1 ~ −

= −

,

( )

2

2

β(x) = 3sin 2 y −1 ~ ln 3 sin 2 y ~ ln 3 2 y = 2 ln 3 (x − 2π).

( )

Из соотношений ( ) и ( )

видно, что α(x)

есть б.м.ф. 2-го порядка по

сравнению с β(x) .

▲

В задачах 5.6 – 5.9 определить главную часть γ (x)

вида C(x − x0 )k

и

порядок k б.м.ф. α(x)

относительно (x − x0 )

при x → x0 .

5.6. α(x) =

1 + x 2 − 1 − x 2

при x → 0.

∆ Преобразуем заданное выражение, домножив и поделив его на сопря-

женное для него выражение. Тогда: α(x) = 1 + x 2

−

1 − x 2 =

= ( 1 + x 2

−

1 − x 2 )(

1 + x 2 +

1 − x 2 ) =

2x 2

~ x 2 .

(Мы

вос-

1 + x 2 + 1 − x 2

2

1 + x 2 + 1 − x 2

пользовались

тем, что

lim

=1).

Теперь

очевидно,

что

γ(x) = x 2 и k = 2.

x→0 1 + x 2 + 1 − x 2

▲

5.7. α(x) = 3 sin 2 (x −1), x →1.

∆ Из

таблицы

э.б.м. имеем:

sin β ~ β

при

β → 0.

Учитывая,

что

x −1 → 0

при

x →1,

положим

β = x −1.

Тогда

sin( x −1) ~ x −1

и

α(x) ~ (x −1)2 / 3 . Очевидно, что

γ (x) = (x −1)2 / 3

и k = 2 / 3.

▲

Как видно из таблицы э.б.м., при x → 0

sin x ~ x, 1 − cos x ~

x 2

, тогда

2

x2

3

α(x) ~ 2x −

=−x3. Следовательно, γ(x) = −x

и

k = 3.

▲

2

5.9. α(x) = 3 tg(x3 −1), x →1.

∆ Из

таблицы э.б.м. имеем:

tg β ~ β

при

β → 0.

Учитывая,

что

(x3 −1) →0

при x →1,

получаем:

tg(x3 −1) ~ x3 −1. Далее, преобразуя

β = x3 −1 по формуле разности кубов, получим:

β = (x −1)(x2 + x +1). От-

сюда, учитывая, что lim(x 2 + x +1) = 3, имеем β ~ 3(x −1)

и α(x) = 3 3(x −1).

x→1

Теперь очевидно, что γ (x) = 3 3(x −1)1/ 3

и k =1/ 3.

▲

5.10.

Сравнить

порядки

б.б.ф.

A(x) = 6x4 + x3 − x + 3

и

B(x) = (2x +1)3 3 27x3 − x 2 +1 при x → ∞.

∆ Вычислим предел отношения данных б.б.ф.:

lim

A(x)

= lim

6x 4 + x3 − x

+ 3

= lim

6x 4

=

1

.

8x3 3x

x→∞ B(x)

x→∞ (2x +1)3 3 27x3 − x 2 +1

x→∞

4

(Мы воспользовались тем, что при

x → ∞ любой многочлен эквивалентен

своему старшему члену и поэтому

6x 4 + x 3 − x + 3 ~ 6x 4 ,

(2x +1)3 ~ 8x3 ,

27 x3 − x 2 +1 ~ 27 x3 ). Теперь очевидно,

что

A(x) и B(x)

б.б.ф. одного по-

рядка.

▲

5.11. Пусть x → +∞. Выделить главную часть Γ(x) вида Cx k

и опреде-

лить порядок роста относительно x следующих функций:

а) A(x)

=

x3 +1

;

б) B(x) = 3 x 2 − x + x.

x + 2

A(x)

представляет собой отношение двух многочленов.

∆ а) Функция

1

1

x2 / 3

3 1−

+

6

B(x)

x

x

lim

= lim

=1.

▲

x2 / 3

x→∞ x2 / 3

x→∞

1

5.12. Пусть x →1. Выделить главную часть Γ(x) вида C

и оп-

(x −1) k

1

ределить порядок k роста относительно

следующих функций:

x −1

x

ln x

а) A(x) =

;

б) B(x) =

.

− x) 2

3 1 − x 4

(1

∆ а) Заменим величину, стоящую в знаменателе A(x)

эквивалентной ей

при x →1. Преобразуя знаменатель, получаем:

3 1 − x 4 = 3 (1 − x)(1 + x)(1 + x 2 ) ~ 3 4 3 1 − x (мы воспользовались тем, что

lim(1 + x)(1 + x 2 ) = 4) .

Учитывая, что lim x =1, окончательно имеем:

x→1

x→1

1

1

A(x) ~ − 3 4 3 x −1 . Следовательно, Γ(x) = − 3 4 (x −1)1/ 3

и k =1/ 3.

б) Из таблицы э.б.м. имеем:

ln(1 + β) ~ β

при β → 0. Отсюда,

полагая

β = x −1, получаем ln x = ln(1 + (x −1)) ~ x −1. А тогда B(x) ~

x −1

=

1

(1 − x) 2

x

−1.

1

Значит, Γ(x) =

и

k =1.

▲