Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями / Сборник задач по ВМ ч.3.pdf

Скачиваний:

239

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

2.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

3.ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ И ЕЕ ПРЕДЕЛ

3.1.Понятие числовой последовательности

Числовой последовательностью {xn } называется функция f : N → R ,

областью определения которой является множество натуральных чисел, т.е. xn = f (n) . Число xn называется общим членом последовательности {xn }, а

формула xn = f (n) – формулой общего члена этой последовательности.

Последовательность также может задаваться рекуррентно, т.е. формулой, выражающей xn через члены с меньшими номерами. Так определяются,

например, арифметическая и геометрическая прогрессии:

an = an−1 + d,	bn = bn−1 q
и последовательность чисел Фибоначчи:
x1 =1, x2 =1, xn = xn−1 + xn−2 , n ≥3.
Последовательности	{xn + yn }, {xn − yn }, {xn yn }, {xn yn } назы-

ваются, соответственно, суммой, разностью, произведением и частным двух

последовательностей {xn} и	{yn}.
Последовательность {xn } называется невозрастающей (неубывающей),
если для n N , xn+1 ≤ xn ,	(xn+1 ≥ xn ) . Невозрастающие и неубывающие
последовательности называются монотонными.		Последовательность {xn}
называется возрастающей	(убывающей), если	для n N	xn+1 > xn

(xn+1 < xn ) . Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

3.1. Написать первые пять членов последовательности {xn } ={n!}.

∆ По определению n-факториал равен:

n!=1 2 3 ... (n −1) n.

Тогда x1 =1!=1,				x2 = 2!=1 2 = 2,					x3 =3!=1 2 3 = 6 ,
x4 = 4!= 3! 4 = 6 4 = 24,							x5 = 4! 5 = 24 5 =120.
Итак, {n!} ={1, 2, 6, 24, 120,...}.									▲
3.2. Написать формулу общего члена последовательности:
1) {1	2	,− 3	4	, 5	6	,− 7	8	,...},	2) {1, 0, −1, 0, 1, 0, −1,...}.

1.∆ Отмечаем, что в числителе каждого члена последовательности

{12 ,− 3 4 , 5 6 ,−7 8 ,...} стоит нечетное число, а в знаменателе – четное. В та-

ком случае,	xn	=	2n −1	. Чередование знаков в этой последовательности идет

			2n

по закону {+, −, +, −, +...}, что можно обеспечить домножением xn на (−1)n

или (−1)n+1 . Учитывая, что														x		=		1	> 0 , выбираем последний вариант. Оконча-
или (−1)n+1 . Учитывая, что														x		=			> 0 , выбираем последний вариант. Оконча-
														1				2
тельно получаем:				xn =					(−1)			n+1 2n −1								.		▲
тельно получаем:				xn =					(−1)								2n			.		▲
																	2n
2. ∆ Нетрудно доказать,																			что				общий				член							последовательности
{1, 0, −1, 0, ...} можно задать формулой: xn = sin πn .																														▲
																										2
Написать первые пять членов последовательности:
3.3.	xn =	2n −1					.														3.4.				xn = (−1)							n	1			.
3.3.	xn =	n +1					.														3.4.				xn = (−1)									n		.						1
		n +1																																n
3.5.	xn = n (1 + (−1) n ) .																				3.6.				xn = (−1)n arcsin																				+π n .
3.5.	xn = n (1 + (−1) n ) .																				3.6.				xn = (−1)n arcsin																	2			+π n .
Найти формулу общего члена последовательности:																																										2
Найти формулу общего члена последовательности:
3.7.	{2, 3	2	, 4		3		, 5		4		,...} .										3.8. {1					2	,− 1			3		,	1		4			,− 1				5			,...}.
		2			3				4																	2				3					4							5
3.9. {4, 0, 4, 0, 4,......}.																						3.10. {−3,						5	3		,−		7			5		, 9			7		,−11				9	,...} .
3.11 . {0.3, 0.33, 0.333......}.																						3.12 . {1							3							5					7				, 5		9
3.11 . {0.3, 0.33, 0.333......}.																						3.12 . {1						2	,	1		2	,		3		8		,		1	4			, 5	32			,...} .
																												2				2					8					4				32
Найти формулу общего члена последовательности, заданной рекуррент-
но:																																								xn
3.13.	x	=5,					x	n+1			= x			n	+ 3.						3.14.				x		=3,					x	n+1					=		xn				.
3.13.	x	=5,					x				= x				+ 3.						3.14.				x		=3,					x						=						.
	1																								1																2
																	1 .																								2
3.15.	x	= 1		2		,			x	n+1			=				1 .					3.16 .					Последовательность																						чисел
	1									n+1					2 − xn
															2 − xn
Фибоначчи: x1 =1,							x2 =1,								xn = xn−1 + xn−2 ,										n ≥3 .
Указание. Представьте xn в виде xn = λn .
3.17 . x		= a,					x				=b,					x	n	= x		n−1	−	1	x	n−2	,		n ≥3 .
3.17 . x		= a,					x				=b,					x		= x			−		x		,		n ≥3 .
	1								2												4

3.18. Из данных последовательностей выбрать а) возрастающие, б) убывающие, в) ограниченные, г) ограниченные сверху, д) ограниченные снизу последовательности:

1) {2n },	2) {	1	},	3) {(−1) n },	4) {−n}.

		n

Найти наибольший (наименьший) член ограниченной сверху (снизу) последовательности xn :

3.19*.	xn = 3n2 −10n −14.			3.20.	xn = 6n − n2 − 5.
3.21*.	xn =	2n − 5	.	3.22*.	xn =	21		.
						3n2 −14n −	17
		2n −11

3.2. Предел последовательности

Число а называется пределом последовательности {xn } (обозначается:

lim xn = a), если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 такой но-

n→∞

мер N(ε) , что при n > N (ε) выполняется неравенство xn − a < ε. Геомет-

рически это означает, что какова бы ни была ε − окрестность точки а, все точки xn , начиная с номера N(ε) +1, попадут в эту окрестность, а за ее пре-

делами останется лишь конечное число членов последовательности (рис. 3.1).

Uε (a)

0 x1 x2	a −ε xN +1 a xN +2 a + ε	xN	X
	Рис. 3.1

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Примеры

1. Последовательность

{xn } ={

} сходится к нулю. Действительно, за-

дадим произвольное малое число ε > 0 и выясним,

начиная с какого номера

N(ε) выполняется неравенство

xn − a

− 0

<ε. Решая его относи-

тельно n, получаем n >

. Следовательно,

N(ε) =

, где

означает наи-

меньшую целую часть числа

. Так как N(ε) определено при любом ε > 0,

то тем самым доказано, что

lim

существует и равен 0.

n→∞ n

2. Последовательность

{sin n π

} не имеет предела, так как, какое бы чис-

ло a ни взять, при ε =

за пределами окрестности (a −

; a +

) окажется

бесконечное число членов последовательности.

Свойства сходящихся последовательностей

Теорема 3.1. Сходящаяся последовательность имеет только один пре-

дел.

Теорема 3.2. (Необходимое условие сходимости последовательности). Сходящаяся последовательность ограничена.

Теорема 3.3. Монотонная ограниченная последовательность сходится. Теорема 3.4. Предел постоянной последовательности равен этой посто-

янной, т.е. lim C = C.

n→∞

Теорема 3.5. (Арифметические операции над пределами). Пусть {xn } и {yn } – сходящиеся последовательности. Тогда

lim (xn + yn ) = lim xn + lim yn .

n→∞

lim (x

) =

lim x

lim y

n→∞ n

n→∞

n→∞ n

lim (Cxn ) = C lim xn , C = const.

n→∞

lim x

lim

n→∞

lim yn ≠

lim yn

n→∞ yn

n→∞

Последовательность, составленная из подмножества членов данной последовательности {xn } в порядке возрастания их номеров, называется под-

последовательностью данной последовательности {xn }.

Теорема 3.6. Если последовательность xn сходится к числу a, то любая

ее подпоследовательность сходится к тому же числу.

Следствие. Если две подпоследовательности {xn } сходятся к различным

пределам, то lim xn не существует.

n→∞

Пример. Используя последний результат, легко доказать расходимость последовательности {xn } ={(−1) n }.

Действительно, члены {xn } с четными номерами образуют подпоследовательность {1,1,...,1...}, предел которой равен 1, а члены с нечетными номе-

рами – {−1,−1,...,−1,...}, сходящуюся к числу (-1). Отсюда следует, что lim xn

n→∞

не существует.

Теорема 3.7. Две последовательности, отличающиеся между собой на конечное число членов, ведут себя одинаково относительно сходимости, т.е. одновременно сходятся или одновременно расходятся. При этом, если они сходятся, то их пределы равны.

Пример. Доказать, что последовательность {xn } ={cos n} расходится.

∆ Пусть существует	lim cos n = A.	Тогда, по теореме 3.7,
	n→∞

lim cos (n + 2) = A. Учитывая теорему 3.5, получаем:

n→∞

lim (cos n + cos (n + 2)) = lim cos n + lim cos (n + 2) = 2 A.
n→∞	n→∞	n→∞

С другой стороны, используя формулы тригонометрии, имеем:

lim (cos n + cos (n + 2)) = lim 2 cos( n +1) cos1 = 2 A cos1, ибо
n→∞	n→∞
lim cos (n +1) = A. Получаем противоречие, ибо 2A ≠ 2A cos1.		▲
n→∞

3.3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Последовательность {xn } называется бесконечно малой (б.м.п.), если

lim xn = 0. Обычно члены бесконечно малых последовательностей обозна-

n→∞

чаются малыми буквами греческого алфавита: αn , βn ,γ n . Теорема 3.8. (Свойства б.м.п.).

1.Пусть {αn } и {βn } – б.м.п. Тогда {αn ± βn } , {αn βn } также б.м.п.

2.Пусть {αn } – б.м.п., а {xn } – ограниченная последовательность. Тогда

{αn xn } – б.м.п. Другими словами, произведение б.м.п. на ограниченную последовательность есть также б.м.п.

Так, например, последовательность {sinn n} – б.м.п., так как {1n} – б.м.п.,

а {sin n} – ограниченная последовательность.

Последовательность {xn } называется бесконечно большой (б.б.п.) (что

записывается lim xn = ∞), если для любого сколь угодно большого числа

n→∞

E > 0 существует такой номер N(E), что при n > N(E) выполняется неравенство xn > E.

Геометрически это означает, что в любой сколь угодно большой E-окрестности нуля находится лишь конечное число членов последовательности, а вне ее – бесконечное множество (рис. 3.2).

U&E (0)

xN +2 -E x1 x2	0 xN −1 xN E x N +1	X
	Рис.3.2
Если начиная с некоторого номера все члены б.б.п. положительны (от-
рицательны), то пишут lim xn = +∞ ( lim xn = −∞).
n→∞	n→∞

Теорема 3.9. (Свойства б.б.п.). Имеют место следующие утверждения:

1. Пусть	lim xn = +∞,	lim	yn
	n→∞	n→∞
волически: (+∞) + (+∞) = +∞.
Аналогично (−∞) + (−∞) = −∞.
2. Пусть	lim xn = +∞,	lim yn
	n→∞	n→∞

лически: ∞ + a = +∞.

3. ∞ a = ∞, a ≠ 0.

4.∞ ∞ = ∞.

5.Пусть {xn } – б.б.п., тогда

= +∞. Тогда lim (xn + yn ) = +∞, или сим-

n→∞

= a. Тогда lim (xn + yn ) = ∞, или симво-

n→∞

– б.м.п. И наоборот, если {xn } –

б.м.п., то – б.б.п. Символическая запись:

=0,

1 =∞.

∞

Если lim

= lim

yn = 0, то выражение

называют неопределенно-

n→∞

∞

стью вида

Аналогично вводятся неопределенности вида

0 ∞ и

∞

∞− ∞.

3.23.Пользуясь определением предела, доказать, что последователь-

ность {xn

} ={

,...,

,...} стремится к 1 при n → ∞, т.е.

lim

=1.

n→∞ n +

Для ε = 0,03 указать соответствующий номер.

∆ Зададим любое (сколь угодно малое)

ε > 0 и найдем такое натураль-

ное число

N(ε) (номер последовательности), что все члены последователь-

ности {xn }, у которых n > N(ε), удовлетворяют неравенству

xn −1

<ε. Для

этого решим неравенство относительно n :

<ε

n >

−1.

−1

−

n +1

Тогда

качестве

N(ε)

можно

взять

целую

часть числа

−1,

т.е.

N(ε) =

−1 .

Если

ε = 0,03 ,

то

N (ε) =

−1 =

= 32. Геометрически это оз-

0,03

начает, что начиная с x33

все члены последовательности {xn } попадут в ок-

рестность радиуса 0,03 точки x =1 (рис.3.3).

▲

U 0,03 (1)

0,97

x33 1

x34 1,03

Рис.3.3

3.24. Доказать, что последовательность {q n } (геометрическая прогрес-

сия) является а) б.б.п.

при

>1; б) б.м.п.

при

<1.

∆ а) Пусть

>1.

Докажем, что последовательность {q n } удовлетворяет

определению б.б.п., т.е. для E > 0

N(E), что при n > N(E) выполняется

неравенство

q n

> E.

Зададим произвольное

E > 0.

Для отыскания номера

N(E)

решим по-

следнее неравенство относительно n :

Тогда

n > E log

n > log

E n > log

N (E) =

log

что и доказывает данное утверждение.

б)

Пусть

<1. Если

q = 0,

то

q n = 0

при n N

и,

следовательно,

[q n ] – б.м.п.

Пусть q ≠ 0.

Тогда qn

. Так как

>1,

то последова-

(1/ q)n

тельность

является

б.б.п.,

тогда

последовательность

={qn } – б.м.п. в силу теоремы 3.9 (свойство 5).

(1/ q)n

Таким образом, последовательность {q n } – б.м. при

<1.

▲

Пользуясь определением предела (т.е. на языке ε − N ), доказать, что:

3.25. lim (−1)n = 0.

n→∞ n2

3.27. lim cos n = 0. n→∞ n


3.29. lim	n2		+ 7	= −	1	.
		− 2n2			2
n→∞ 5


3.26. lim		2n		= 2.
			3
	n→∞ n +
3.28.	lim	1 − 2n			= −1.

	n→∞ 2n + 3
3.30.	lim	n − 2			=	1	.

	n→∞ 3n + 4					3

3.31*. lim	5n2	+ 2n −1	=	5	.
				2
n→∞ 2n2 + n −3

3.33. lim n a =1, a > 0 .

n→∞

Доказать, что:

3.34*. lim n n =1.

n→∞

3.32*. lim 2n + 5 6n = 5.

n→∞ 3n + 6n

3.35*.	lim	n P (n) =1	, где
	n→∞	k
	n→∞

Pk(n) – многочлен k-й степени от n с действительными коэффициентами. 3.36. Известно, что последовательность {xn } сходится, а {yn } – б.б.п.

Может ли последовательность {xn yn } а) сходиться; б) расходиться, но быть

ограниченной; в) быть б.б.п.; г) быть б.м.п. ?

Ответьте на эти вопросы, используя в качестве примеров последова-


	n −1			1			n		1
						(−1)
тельности:			,		,			,			, {n} .
		n								2
				n		n			n

Докажите по определению, (на языке ε − N ),				что следующие последо-
вательности являются бесконечно малыми:					1
3.37. xn = nk ,	k < 0.	3.38. xn = (−1)n 0.99n.		3.39. xn =		.

					n!
Докажите по определению, что следующие последовательности являют-
ся бесконечно большими:
3.40. xn = nk ,	k > 0.	3.41. xn = (−1)n n.		3.42. xn = 2 n .
3.43*. Докажите, что последовательность			{sin n} расходится.
3.44*. Докажите, что последовательность			{(1 + (−1)n ) n} неограничена,

но не является б.б.п.

3.4. Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей

Иногда вызывает затруднение вычисление пределов, связанных с раскрытием неопределенностей. Рассмотрим наиболее важные случаи.

3.4.1. Предел дробно-рациональной последовательности.

Дробно-рациональной последовательностью называется отношение двух

многочленов	Pk (n)	,	где k и m – их степени; k, m N. Несложно доказать,
	Qm (n)

что предел любого многочлена ненулевой степени равен ∞. Поэтому при вы-

числении предела lim	Pk (n)	имеем дело с неопределенностью	∞	. Раскрыть

n→∞ Qm (n)			∞

ее удается, разделив числитель и знаменатель дроби на старшую из степеней n. Покажем это на примерах.

3.45. Вычислить lim

3n3 + 2n +5

3 − n2 −

n→∞ 4n

∞

3 +

lim (3 +

)

+ 2n +

∞

∆ lim

: n3

= lim

n→∞

n→∞ 4n3 − n2 − 3

n→∞

4 −

−

lim (4 −

−

)

n→∞

lim 3

+ lim

3 + 0 + 0

n→∞

n→∞ n2

n→∞ n3

▲

4 − 0 − 0

lim 4 − lim

− lim

n→∞

n→∞ n

n→∞ n3

3.46. Вычислить lim

2n2

− 3n + 4

5 + 2n3

−

n→∞ 4n

∞

−

− 3n

∞

: n5

0 − 0 + 0

∆ lim

= lim

= 0 .

n→∞ 4n5 + 2n3 − 5

n→∞

4 + 0 − 0

4 +

−

3.47. Вычислить lim

−

3n + 5

+ 4

n→∞

− 3 + 52

∞

−3n +5

∞

∆ lim

: n2

= lim

=∞.

n→∞

2n +4

n→∞

2 4

▲

Здесь мы использовали связь между б.м.п. и б.б.п. (см. теорему 3.9, п. 5).

▲

Эти же пределы можно найти по-другому, оставляя в числителе и знаменателе только слагаемые со старшей степенью n, т.е. главные части, и отбрасывая слагаемые с меньшими степенями. Это – так называемый метод выделения главных частей, который будет подробно рассмотрен дальше. Применим его к вычислению уже рассмотренных пределов:

lim	3n3	+ 2n + 5	= lim	3n3	=	3	;
						4
n→∞ 4n3 − n2 − 3			n→∞ 4n3

	2n2	− 3n + 4		2n2		1			1
lim			= lim		= lim			=		= 0 ;

n→∞ 4n5 + 2n3 − 5			n→∞ 4n5		n→∞ 2n		3		∞

lim	n2	−3n + 5	= lim	n2	= lim	n	= ∞.
		2n + 4
n→∞			n→∞ 2n		n→∞ 2

Теорема 3.10. Имеет место следующее утверждение:

lim ak nk + ak −1nk −1 + ... + a1n + a0 n→∞ bm nm + bm−1nm−1 + ... + b1n + b0

akbk

=0,∞,

, если k = m,

если k < m, если k > m.

3.48. Вычислите устно следующие пределы, используя теорему 3.10:

1 − 4n − n4

5n2 −3n + 2

− n − 2n2

1) lim

, 2)

lim

3) lim

n→∞ 3n2 + n +

n→∞ 7n3 +8n −1

n→∞ 1 + n − n2

Ответы: 1) − ∞,

2) 0,

3) 2.

3n2 + n −1

3.49. При каком значении a

lim

равен 1) –1, 2) ∞, 3) 0?

2 − 4n + 2

n→∞ an

∆ 1) Данный предел равен –1, если

= −1, т.е. при a = −3.

3n2 + n −1

2) Дробь

стремится к ∞,

если степень числителя больше

an2 − 4n + 2

степени знаменателя, а это возможно только при a = 0.

3) Так как степень числителя ни при каком значении a не может быть

меньше степени знаменателя,

то lim

3n2

+ n −1

≠ 0, т.е. данная последова-

4n +

n→∞ an2 −

тельность не может быть б.м.п.

ни при каком a R.

▲

3.50. Вычислить lim

2n n!−3(n −1)!

n→∞

4(n +1)!−n!

∆ Избавимся от факториалов,

входящих в условие. Для этого выразим

их через меньший из них, т.е. через (n −1)!:

n!=1 2 3 ... (n −1) n = (n −1)! n,

1442443

(n−1)!

(n +1)!=1 2 3 ... (n −1) n (n +1) = (n −1)!n (n +1).

Тогда получим:

lim

(n −1)! n − 3(n −1)!

= lim

(n −1)!(2n2 − 3)

4(n −1)! n(n

+1) −

(n −1)! n

−1)!(4n2

+ 4n − n)

n→∞

n→∞ (n

= lim

2n2 − 3

= lim

2n2

▲

+ 3n

4n2

n→∞ 4n2

n→∞

3.4.2. Предел дробно-рациональной последовательности

1. Неопределенность вида ∞.
	∞
3	n5 + n2 +1 + 5n	.
3.51. Вычислить lim	4n2 + 4 n3 + n	.
n→∞	4n2 + 4 n3 + n

∆ Как и в случае дробно-рациональной последовательности, разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень n, в данном случае на n2 .

3 n5 + n2 +1

lim

= lim

= 0.

4 +

+ n

+ 4 1

n→∞

Заметим, что этот предел можно вычислить проще, оставляя в числителе и знаменателе только старшие степени n. Остальные слагаемые с меньшей степенью n можно отбросить, не изменив при этом предела (метод выделения главных частей):

3 n5	+ n2	+1 + 5n		= lim	n5 / 3	= lim	1	= 0.	▲
lim		n3 + n		= lim		= lim		= 0.	▲
n→∞ 4n2 + 4		n3 + n		n→∞ 4n2		n→∞ 4n1/ 3
3.52. Вычислить lim	2n + sin n		.
3.52. Вычислить lim		3 n3 − 7	.
n→∞	n −	3 n3 − 7

∆ Этот предел отличается от предыдущих тем, что содержит sin n. Что-

бы раскрыть неопределенность, разделим числитель и знаменатель дроби на n. Получим:

2n + sin n

2 +

sin n

2 + 0

lim

= lim

= −2.

0 −1

n→∞ n − 3 n3 − 7

n→∞

−

3 1 −

Мы здесь воспользовались арифметическими операциями над предела-

ми, а также свойством 2 теоремы 3.8: произведение б.м.п. 1 на ограничен-

⎩n

ную последовательность {sin n} есть б.м.п.

▲

2. Неопределенность вида (∞ − ∞).

Для раскрытия неопределенностей указанного вида исходное выражение преобразуют к виду дроби.

3.53. Вычислить lim ( 4n2	+ 2n − 5 − 4n2 − n).
n→∞

∆ Дополним данное выражение до разности квадратов, умножив и поделив его на сопряженное выражение. Получим:

lim ( 4n2	+ 2n − 5 −	4n2 − n) = lim (	4n2 + 2n − 5) 2 − ( 4n2 − n) 2	=
n→∞		n→∞	4n2 + 2n − 5 + 4n2 − n

= lim	3n − 5		= lim	3n	=	3 .	▲
n→∞ 4n2 + 2n − 5 + 4n2 − n			n→∞ 2n + 2n			4
3.54. Вычислить lim (3 n +1 − 3		n − 2).
	n→∞

∆ Дополним заданное выражение до разности кубов, для чего домножим и разделим его на неполный квадрат суммы. Получим:

lim (3	n +1 − 3 n − 2) = lim		(3 n +1)3	− (3 n − 2)3		=
n→∞		n→∞ 3 (n +1)2 + 3 (n − 2)(n +1) + 3 (n − 2)2
= lim		n +1 − (n − 2)			3	▲
= lim		+ 3 (n − 2)(n +1) + 3 (n − 2)2		=	= 0.	▲
n→∞ 3 (n +1)2		+ 3 (n − 2)(n +1) + 3 (n − 2)2			∞

Заметим, что в некоторых случаях неопределенность раскрывается проще, например:

lim (	9n +1 −	n) = lim	n(	9 +	1 −1) = (∞ 2) = ∞.
n→∞		n→∞			n
Этот же пример можно было бы решить, выделяя главные части беско-
нечно больших:
lim (	9n +1 −	n) = lim (3		n −	n) = lim 2 n = ∞.
n→∞		n→∞			n→∞

В случае, если главные части б.б.п. в сумме равны нулю (как это было в задачах 3.53 и 3.54), последний способ неприменим.

3.4.3. Предел последовательности, содержащей qn

		0,	если	q		<1,
		0,	если	q		<1,
В задаче 3.24 доказано, что lim q	n
В задаче 3.24 доказано, что lim q		=	если		q
n→∞		∞,	если		q		>1.

Воспользуемся этим утверждением при вычислении следующих преде-

лов.

3.55. Вычислить lim 3n + 2 5n .

n→∞ 4n +5n

∆ Последовательности {3n }, {4n }, {5n } являются б.б.п. при n → ∞, но «быстрее» всех стремится к ∞ последовательность {5n }. Разделим числитель

и знаменатель дроби на 5n , тогда неопределенность ∞∞ исчезнет:

+ 2

3n + 2 5n

+ 2

lim

= lim

= 2.

▲

n→∞ 4n + 5n

n→∞ 4

3.56. Вычислить lim

1 +2 +4 +... +2n .

n→∞

2n+2 +3−n

∆ Числитель дроби есть сумма n +1 члена геометрической прогрессии

b (1

− qn )

со

знаменателем

q = 2.

Воспользуемся формулой

Sn =

Тогда

1 − q

1 + 2 + 4 + ... + 2n

1 (1 − 2n+1 )

= 2n+1

−1

∞

1 − 2

2 −

n+1

−1

∞

−1

2 − 0

= 1

lim

: 2n

= lim

▲

n→∞ 2n+2 + 3−n

n→∞

4 +

4 + 0 2

3.4.4. Предел показательно-степенной последовательности. Число e

Последовательность вида {xn yn }, где			xn >0,	называется показательно-
степенной.
Теорема 3.11. Пусть {xn } и {yn } – сходящиеся последовательности и
lim xn = a > 0,	lim yn = b,	тогда lim xn yn	= ab .
n→∞	n→∞	n→∞
Теорема 3.12				lim xn yn = +∞, или симво-
1) Пусть	lim xn = a >1,	lim yn = +∞. Тогда		lim xn yn = +∞, или симво-
n→∞		n→∞		n→∞

лически

a+∞ = +∞, a >1.

Следующие утверждения запишем в символическом виде:

	−∞				−∞		1		1
2) a		= 0,	a >1,	a		=		=		= 0 .
2) a		= 0,	a >1,	a		=	a+∞	=	∞	= 0 .
							a+∞		∞

3)(+∞) +∞ = +∞.

4)(+∞)−∞ = 0.

Если lim xn = 0,	(xn > 0) , и lim yn = 0 ,	то lim xn yn = 0	называют
n→∞	n→∞	n→∞

неопределенностью вида 00. Аналогично определяются неопределенности вида ∞0 , 1∞.

Рассмотрим последовательность	(1+	1 n		={2; 2.25; 2.37;...},	представ-
		n	)

ляющую собой неопределенность вида 1∞. Как известно, она имеет предел, обозначаемый буквой e :

lim (1 +

1)n = e,

e = 2,718281828...

(3.1)

n→∞

Теорема 3.13. Пусть lim

= ∞. Тогда последовательность

(1 +

)xn

n→∞

сходится к числу e,

т.е.

lim (1 +

)xn

= e.

(3.2)

n→∞

αn

Теорема 3.14. Для любой бесконечно малой последовательности

имеет место равенство

lim (1 +αn)

αn

= e.

(3.3)

n→∞

3.57. Вычислить

n +

2n+1

lim

n→∞ n +

∆ Так как lim

n + 2

=1,

lim

2n +1 = ∞, то имеем неопределенность

n→∞ n + 5

n→∞

вида 1∞. Раскроем ее. Для этого преобразуем последовательность так, чтобы можно было воспользоваться теоремами 3.11 и 3.14, другими словами, выделим предел (3.3).

Решение состоит из трех этапов:

основание

n + 2

представляем в виде 1 +αn , где αn

– б.м.п.;

n + 5

выделяем показатель степени

, обратный к αn ;

αn

применяем теоремы 3.11 и 3.14.

Итак,

− 3

lim

1 +

n + 2

−1

2n+1

1∞

= lim 1 +

− 3

2n+1

αn =

n→∞

n + 5

n→∞

n + 5

αn → 0

n+5

−

(2n+1)

n+5

lim

−3(2n+1)

−

n+5

−

n→∞

n+5

= lim

lim

n→∞

+ 5

n→∞

n + 5

lim

−6n−3

▲

= en→∞

n+5 = e−6 .

3n2 − 6n + 7

3.58.

Вычислить

lim

+ n −1

n→∞

∆ Этот предел также представляет собой неопределенность вида 1∞.

Раскроем ее по той же схеме, что и в задаче 3.57.

3n2 − 6n + 7

n2 +2

− 7n +8 n2 +2

αn =

8 − 7n

lim 1 +

−1

= lim 1 +

+ n −1

n→∞

+ n −1

n→∞

+ n −1

αn →0

3n2 +n−1

−7n+8

(n2 +2)

3n2

+n−1

− 7n +8

−7n+8

= lim

n→∞

+ n −1

(−7n+8)(n2 +2)

−7n n2

lim

3n2 +n−1

= en→∞

= en→∞ 3n2 = e−∞ =

= 0.

▲

+∞

3.59. При каком

k N

lim

4nk

+ 3n2 −5n +1

равен

1) 2;

2) 0; 3) 1;

2n3 − n2

+ 7

4) ∞ ?

n→∞

4) k > 3.

Ответы: 1) k = 3;

2) k < 3;

3) не существует;

Вычислить пределы последовательностей:

3.60. lim

5n −1

3.61. lim

3n2 − 2n +1

2 − 4n −

6n2

n→∞ n + 7

n→∞

3.62. lim

(n −3)2

3.63. lim

(n + 2)3 + (1 − 2n)3

2n3

3n2 + 4

n→∞

+ n − 4

n→∞

3.64. lim

n!−(n + 2)!

3.65. lim

n(n − 3)!+(n − 2)!

(n + 3)n!+(n +1)!

n→∞

(n −1)!−(n − 2)!

3.66. lim

(n −1)!+3n!

3.67. lim

3 27n6 −1 +

(n +1) (n −1)!−(n −

2)!

4 n8 + n + 2 +

n→∞

n + 2

3.68. lim

n2 + 2n −3 + n3 .

3.69. lim (1 + (−1)n ) 1 .

n→∞

2 + 3 8n3 +1

n→∞

3.70. lim

2 + n5 − 2n3 + 5

3.71. lim

(−1)n n

(n + cos n) n

n4 −3 + sin n

n→∞

3.72. lim ( n2

− 3n + 2 − n).

3.73. lim

n + 2(

n + 3 − n − 4).

n→∞

3.74. lim (

n2 + 4n − 2 −

n2 + n − 3).

n→∞

3.75. lim

+ 3 (

n2 −1 −

n2 +1).

n→∞

3.76. lim (3

+ n2 −1 − 3 n3 + 2).

3.77. lim (n + 3 2 + n − n3 ).

n→∞

3.78. lim (2n2

+1)(3 n3 + 3 − 3

n3 + 2).

n→∞

2n +3n

3.79. lim (4 + n)(n − 3 n3 + n2

+ 3).

3.80. lim

n→∞

3n +

6 4n+1

n→∞ 2n −3n

3.81. lim

3.82.

lim

+ 9 +... + 3n+1

3n+2

+ (−2)n

n→∞ 2n−2 − 4n

n→∞ 2

(−3)

−8 4

n−1

+ 2

−n

+ 2

3.83. lim

3.84.

lim

+... +

n→∞

1 +

4 +16 +... +

4 16

n→∞

+ 2

3.85. lim

+...

n→∞

2 +

3.86. 1)

lim

;

lim 2

;

n→∞

3.87. 1)

lim

;

lim 1 −

n→∞

3.88.

−1

2−3n

3.89.

lim

+ 3

n→∞ 4n

n→∞

5n2 +

3n −

3.90.

lim

3.91.

lim

+ 2n +

n→∞

(2n −1)

3.92*.

+... +

lim

n→∞ n

Указание: 12 + 22 +... + n2 =

n(n +1)(2n +1)

3.93*. lim n(

+ 2n − 2

n2 + n + n).

n→∞

n2 − 2n ).

3.94*. lim (3 n3 + 3n2

−

n→∞

−n

3) lim 2

n→∞

1 n

2n −

5 n−4

2n +

2n2

− n + 3

2n3

+ 3n − 4

3.95*. lim	2n / 2 + (n +1)!	.
	n(3n + n!)
n→∞

Указание: lim

= 0.

n→∞ n!

− sin n)3 n

3.96. lim

3 cos n + n

3.97. lim

n2 +1

2n +

1 −1

n→∞

3 n2 + cos n + n2 +1 .

1/ n

+ sin

cos n

3.98. lim

3.99. lim

n2 +1

n→∞

2n − 3

n→∞

1 + cos

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями

#
11.05.20153.35 Mб183Сборник задач по ВМ ч.1.pdf
#
11.05.20151.73 Mб131Сборник задач по ВМ ч.10.pdf
#
11.05.20153.42 Mб115Сборник задач по ВМ ч.2.pdf
#
11.05.20152.99 Mб239Сборник задач по ВМ ч.3.pdf
#
11.05.20151.26 Mб120Сборник задач по ВМ ч.4.pdf
#
11.05.2015672.61 Кб178Сборник задач по ВМ ч.5.pdf
#
11.05.20151.41 Mб105Сборник задач по ВМ ч.6.pdf
#
11.05.20151.29 Mб140Сборник задач по ВМ ч.7.pdf
#
11.05.20151.03 Mб102Сборник задач по ВМ ч.8.pdf