Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями / Сборник задач по ВМ ч.3.pdf

Скачиваний:

239

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

2.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

4.ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

4.1.Предел функции в точке

Укажем два эквивалентных определения предела функции в точке. Определение 1 (по Коши). Число А называется пределом функции f (x)

в точке x0 , и обозначается lim

f (x) = A, если для

ε > 0

δ(ε) > 0 такое,

x→x0

что для всех

х, для которых

0 <

x − x0

< δ (ε) ,

выполняется неравенство

f (x) − A

< ε .

Геометрически это означает, что для любой ε -окрестности Uε ( A) точки

А на оси OY

существует такая проколотая δ -окрестность U&δ (x0 )

точки

на оси OX , т.е. множество точек:

Uδ (x0 ) ={x R

x − x0

< δ,

x ≠ x0 ,

что

для всех x U&δ (x0 ) f (x) Uε ( A)

(рис. 4.1).

Рис. 4.1

Определение 2 (по Гейне). Число А называется пределом функции f (x) в точке x0 , если для любой последовательности {xn} , xn ≠ x0 , (xn D( f )),

сходящейся к		x0 , соответствующая последовательность { f (xn )} сходится к
А, т.е.	из lim xn = x0 lim f (xn ) = A .
	n→∞	n→∞
Заметим,		что точка x0 может и не принадлежать области определения
D( f )	функции f (x) .

4.1. Доказать, что функция f (x) = 3x + 4 при x →1 имеет предел, рав-

ный 7.

∆ Зададим произвольное число ε > 0 и выясним, для каких значений х из проколотой окрестности точки x0 =1 выполняется неравенство

f (x) − 7 = 3x + 4 − 7 = 3 x −1 < ε .

Решая его относительно x −1 , находим: x −1 < ε3 . Отсюда следует, что

если взять окрестность радиуса δ ≤ ε3 , то при x −1 <δ ≤ ε3 нужное нам нера-

венство f (x) − 7 < ε будет выполнено. Так как δ = δ (ε) находится для лю-

бого ε > 0 , то это означает, что lim(3x + 4) существует и равен 7.

x→1

Еще проще решается этот же пример с помощью признака Гейне. В самом деле, для любой последовательности {xn } →1, (xn ≠1), имеем, в силу

теоремы 3.5. lim f (xn ) = lim (3xn + 4) = 7 , что и доказывает данное утвер-
	n→∞	n→∞
ждение.	▲
4.2. Доказать, используя определение предела функции по Коши, что
		lim	x2 −16		= 2 .
		lim			= 2 .
		x→4 x2 −4x
∆	Понятие предела функции является локальным, поэтому достаточно
рассмотреть данную функцию f (x) =				x2	−16	не на всей числовой оси, а
рассмотреть данную функцию f (x) =				x2	−4x	не на всей числовой оси, а
				x2	−4x
лишь в некоторой окрестности точки x = 4					(проколотой , разумеется, ибо при

x = 4 f (x) не определена). Выберем в качестве указанной окрестности, ска-

жем, множество точек M ={x

2 < x <5, x ≠4} .

Зададим некоторое малое число ε,

(0 < ε <1) , и выясним, при каких х

выполняется

неравенство

f (x) − 2

< ε ( ) .

Оценим

сверху величину

(x) −2

x2 −16

x + 4

x −4

. (Мы воспользо-

f (x) − 2

−2

x2 −4x

вались тем, что из x M x − 4 ≠ 0

Легко видеть, что если

x −4

< ε

т.е.

x − 4

< 2ε

то неравенство ( )

справедливо. Следовательно, нужное нам неравенство ( ) выполняется при всех x { x 0 < x − 4 < δ}, где δ ≤ 2ε . Поскольку ε > 0 может быть про-

извольно малым, существование предела и его равенство числу 2 доказано.

▲

Аналогично вводится понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности беско-

нечно удаленной точки (т.е. во внешности некоторого интервала (a;b)). Чис-

ло А называется пределом f (x) при x → ∞ (обозначается A = lim f (x) или x→∞

A = f (∞) ), если для

ε > 0

M (ε) > 0 такое, что при x , для которых

> M , выполняется

f (x) − A

< ε .

lim

f (x) = A, означает, что график f (x)

Геометрически тот факт, что

x→∞

асимптотически приближается к прямой y = A при

x → ±∞, т.е. эта прямая

является горизонтальной асимптотой графика.

Пример. Функция y =

при

x → ∞ имеет горизонтальную асим-

птоту y = 0 (рис. 4.2).

1 + x 2

y =

+ x2

0	X
Рис. 4.2
4.3. Доказать, что функция y = sin x не имеет предела при	x → ∞.

∆ Воспользуемся определением предела функции по Гейне. Чтобы доказать отсутствие данного предела, достаточно указать всего лишь одну б.б. последовательность {xn} , для которой соответствующая последовательность

{ f (xn )}	расходится. Выберем		π	+πn,		. Очевидно, что
		{xn } =	2		(n N)

lim xn = ∞.	Соответствующая последовательность { f (xn )} имеет вид:
n→∞	π
{ f (xn )} = sin(	π	+πn) ={−1, 1, −1, 1,.....} и, как уже было доказано (п. 3.2), рас-
	2

ходится. Это и доказывает данное утверждение.▲

Для функций, имеющих предел в точке, справедливы следующие теоре-

мы.

Теорема 4.1. Если функция имеет предел в точке, то он единственен. Теорема 4.2. Функция, имеющая предел в точке x0 , ограничена в неко-

торой окрестности U&(x0 ) этой точки x0 .

Теорема 4.3. (Арифметические операции над пределами).

Пусть функции f (x) и g(x) имеют конечные пределы в точке x0 . Тогда в этой же точке существуют пределы:

1.	lim ( f (x) ± g(x)) = lim f (x) ± lim g(x) .
	x→x0					x→x0		x→x0
2.	lim	f (x) g(x) =				lim f (x) lim g(x) .
	x→x0					x→x0		x→x0
		f (x)			lim f (x)
3.	lim	f (x)	=		x→x0		, если lim g(x) ≠ 0 .
3.	lim		=		lim	g(x)	, если lim g(x) ≠ 0 .
	x→x0	g(x)			lim	g(x)		x→x0
					x→x0
4.	lim C f (x) = C					lim f (x),		C = const .
	x→x0				x→x0
Теорема 4.4. (О пределе сложной функции).
Пусть на множестве Х определена сложная функция Y = f [ϕ(x)] ,										яв-
ляющаяся суперпозицией двух функций Y = f (u)									и u =ϕ(x) . Тогда, если в
точке x0 X существует lim ϕ(x) = b и в точке b									существует lim f (u) = A ,
						x→x0			u→b
причем	A = f (b) ,			то предел сложной функции существует и равен А,						т.е.

lim f (ϕ(x)) = A.

x→x0

4.2. Односторонние пределы

Если при вычислении предела функции в точке ограничиться рассмотрением только левой или только правой окрестности этой точки, мы полу-

чим, соответственно, левый и правый односторонние

пределы функции в

этой точке. Левый предел функции

f (x) в точке x0 , т.е.

lim f (x) обознача-

x→x0

x<x0

ется lim

f (x) или f (x0 −0) . Аналогично правый предел той же функции

x→x0 −0

f (x) или f (x0 +0) .

в точке x0

, т.е. lim f (x) обозначается

lim

x→x0

x→x0 +0

x>x0

Пример. Для функции f (x) =

> 0,

< 0,

односторонние пределы в

точке x = 0 равны, соответственно:

−1, x

f (−0) = −1,

f (+0) =1

(рис. 4.3).

-1

Рис.4.3

Для односторонних пределов справедливо следующее утверждение. Теорема 4.5. (Критерий существования предела в точке).

Если в точке x0 существуют f (x0 −0)

f (x0 + 0) и они равны, то в

точке x0 существует

lim f (x) , причем f (x0

−0) = f (x0 + 0) = lim

f (x) .

x→x0

Аналогично вводятся понятия односторонних пределов функции при

стремлении аргумента к бесконечности.

При этом правый предел, т.е.

lim f (x) = A , обозначается

f (+∞) = A , а левый предел, т.е. lim f (x) = B ,

x→+∞

x→−∞

обозначают f (−∞) = B . Геометрически существование пределов

f (+∞) = A

и f (−∞) = B означает,

что график функции

y = f (x) имеет, соответственно,

правые и левые горизонтальные асимптоты

y = A при x → +∞ и

y = B при

x → −∞.

Пример. Функция

y = arctg x имеет горизонтальные асимптоты y =

при x → +∞ и y = −

при

x → −∞ (рис. 4.4).

y = arctg x

π / 2

−π / 2

Рис. 4.4

С помощью пределов при x → ∞ вводится также понятие наклонной

асимптоты графика.

f (x)

Если для функции

f (x)

существуют конечные пределы k = lim

b = lim ( f (x) −kx) , то прямая

y = kx +b, (k ≠ 0) ,

x→∞

называется наклонной асим-

x→∞

птотой графика функции y = f (x) при x → ∞. (При k = 0 наклонная асим-

птота становится горизонтальной). Может случится, что функция имеет наклонную асимптоту только с одной стороны либо ее правая и левая наклонные асимптоты различны.

Пример. Функция y = x2 +1	(рис. 4.5) имеет наклонные асимптоты
y = x при x → +∞ и y = −x при x → −∞,		ибо:
lim	x2 +1	= ±1,
x→±∞	x
		51

lim ( x2	+1 − x) = 0 ,	lim (	x2 +1 + x) = 0 (рис. 4.5).
x→+∞		x→−∞
	Y	y =	x2 +1

-1

0 1

Рис. 4.5

4.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства

Функция f (x)

называется бесконечно малой (б.м.ф.) при

x → x0

(где

x0 – число или символ ∞),

если

lim

f (x) = 0 .

Функция f (x)

x→x0

называется бесконечно большой (б.б.ф.)

при

x → x0

(что записывается

lim

f (x) = ∞), если для Ε > 0, δ(Ε) > 0 такое,

что при

всех х,

x→x0

удовлетворяющих условию 0 <

x − x0

< δ(Ε) ,

выполняется неравен-

ство

f (x)

> Ε.

частности,

запись lim f (x) = +∞

означает,

что

x→x0

δ(Ε) > 0 , что при x U&δ (x0 )

f (x) > Ε. Аналогично

Ε > 0,

выполняется

определяются понятия:

lim

f (x) = −∞,

lim

f (x) = ∞,

lim

f (x) = ∞.

x→x0

x→x0 +0

x→x0 −0

Геометрически бесконечный предел

f (x) в конечной точке x0 означает,

что прямая x = x0

является вертикальной асимптотой графика данной функ-

ции.

Например,

функция

y =

имеет

двустороннюю вертикальную

x −1

асимптоту x =1,

ибо

lim

= ∞

(рис. 4.6)

x→1±0 x −1

1 X

Рис. 4.6

Можно привести примеры функций, обладающих односторонними вертикальными асимптотами. Так, y = ln x имеет правостороннюю асимптоту

x = 0 .

Бесконечно малые и бесконечно большие функции аналогичны по своим свойствам б.м. п. и б.б.п. (см. теоремы 3.8 и 3.9).

Теорема 4.6

1.Если α(x) и β(x) – б.м.ф. при x → x0 , то их сумма, разность и произведение , т.е. α(x) ± β(x) , α(x) β(x) суть также б.м.ф.

2.Произведение б.м.ф. α(x) при x → x0 на ограниченную в U (x0 )

функцию Y (x) , т.е. α(x)Y (x) , есть б.м.ф. при x → x0 .

3. Если α(x) – б.м.ф. при x → x0			, то	1		– б.б.ф. при x → x0 .
3. Если α(x) – б.м.ф. при x → x0			, то	α(x)		– б.б.ф. при x → x0 .
	α(x)			α(x)
Замечание. Частное	α(x)	двух	б.м.ф.		α(x) и β(x) при x → x0 есть
	β(x)

неопределенность вида 00 , которая при раскрытии может оказаться равной любому числу, либо ∞, либо вообще не существовать.

4.4. Пусть x → x0 . При каком значении x0	функция	f (x) =	x −3
			x2 (x + 2)

является: а) б.м.ф.;	б)	б.б.ф.?
∆ а) Очевидно, что		f (x) – б.м.ф.
дом из этих случаев	lim	f (x) = 0 .
	x→x0
б) Если x0 = 0	или	x0 = −2 , то

при x0 = 3 или		x0 = ∞, ибо в каж-
1	есть б.м.ф.	при x → x0 . Тогда,
f (x)

по теореме 4.6. (п.3), имеем lim f (x) = ∞, т.е. f (x) – б.б.ф.	▲
x→x0

4.4.Построение графиков функций

Спомощью пределов можно выяснять поведение функции с обеих сторон от точек разрыва, находить горизонтальные, вертикальные и наклонные асимптоты ее графика.

В задачах 4.5 – 4.8 сделать схематический чертеж графика функции y = f (x) , проведя исследование по следующей упрощенной схеме:

1. Найти область определения D( f ) данной функции и точки пересече-

ния ее графика с осями координат.

2. Найти точки разрыва функции и исследовать ее поведение с обеих сторон от каждой из точек разрыва. Для этого вычислить односторонние пределы функции в этих точках. Указать вертикальные асимптоты графика.

3. Выяснить поведение функции при x → ±∞, вычислив f (+∞) и

f(−∞) . Найти горизонтальные и наклонные асимптоты графика.

4.Используя полученные данные, построить эскиз графика.

4.5. Построить график функции

y =

−2

∆ 1. D( f ) = (−∞; 2) U(2; + ∞) . Точка O(0; 0)

– единственная точка пере-

сечения графика с осями координат.

2. lim

= −∞,

lim

= +∞.

−0

x→2−0 x −

x→2+0 x −2

Значит, прямая

x = 2

является вертикальной асимптотой графика функции

(рис. 4.7).

Рис. 4.7

∞

3. lim

∞

lim

прямая

y =1 – горизонтальная асим-

x→±∞ x −

x→±∞1 − 2 / x

птота графика при x → ±∞.

Строим график функции (рис. 4.8).

	1

0	2	X
		X

Рис. 4.8

Построенный график есть гипербола, что следует из преобразования:

y =	(x −2) + 2	=1+		2	.
y =		=1+		x −2	.
	x −2			x −2				2
Его можно было бы построить параллельным сдвигом гиперболы							y =	2
Его можно было бы построить параллельным сдвигом гиперболы							y =	x
								x
на две единицы вправо по оси ОХ и на единицу вверх по оси ОY, что полно-
стью согласуется с нашим построением.				1	▲
4.6. Построить график функции y =				1		.
4.6. Построить график функции y =			x2 (1− x)			.

∆ 1. D( f ) ={x R x ≠ 0, x ≠1}.

Очевидно, что точек пересечения графика с осями координат нет.

lim

= +∞,

lim

= +∞,

x→±0 x2 (1− x)

x→1−0 x2 (1

− x)

lim

= −∞.

Следовательно, прямые x = 0

x =1 – двусторонние

(1− x)

x→1+0 x2

вертикальные асимптоты графика функции.

lim

= 0

прямая

y = 0

–

горизонтальная асим-

x→±∞ x2 (1− x)

∞

птота графика. Строим график функции (рис. 4.9) Y

Рис. 4.9

Заметим, что более точно построить график этой функции можно с помощью производной. ▲

4.7.
	Построить график функции y = 2 x .
∆ 1.	D( f ) = (−∞; 0) U(0; + ∞) . Точек пересечения графика с осями коор-
динат нет.
	1	1	= (2+∞) = +∞.
2. lim 2 x = (2−∞) = 0 ,		lim 2 x
x→−0		x→+0	x = 0 отражено на рисунке 4.10.
Поведение точки в окрестности точки

			Рис. 4.10
1	= 20 =1
3. lim 2 x	= 20 =1	прямая	y =1 – горизонтальная асимптота графика
x→±∞

функции.

Строим график функции (рис. 4.11). ▲ Y

	0			X
	Рис. 4.11
4.8.	Построить график функции	y =	1− x2	.
4.8.	Построить график функции	y =	x	.
			x

∆ 1. D( f ) = (−∞; 0) U(0; + ∞) .						При	x = ±1 y = 0 , т.е. график функции
имеет две точки пересечения с осью ОХ.
2. lim	1	− x2		1	= ±∞	x = 0
			=				– двусторонняя вертикальная асим-
		x		±0
x→±0

птота графика.

3. Так как lim 1 − x2 = m∞, то горизонтальных асимптот график не

x→±∞ x

имеет. Выясним, существуют ли наклонные асимптоты. Для этого вычислим пределы

lim	f (x)		= lim	1− x2		= −1 k = −1,
	x
x→±∞			x→±∞ x2
lim ( f (x) −kx) =			1− x2				= lim	1	= 0	b = 0 .
		lim			+ x
x→±∞				x			x→±∞ x
		x→±∞
Следовательно, прямая		y = −x		является наклонной асимптотой графика
при x → ±∞.							x D( f ) функция у является
Забегая вперед, заметим, что при всех
убывающей, так как y′ < 0 .
Строим график функции (рис. 4.12). ▲

0	X

Рис. 4.12

4.5. Вычисление некоторых пределов

4.9.	Вычислить lim	x2	−	2x −3	при 1)	x0 = 3 , 2) x0 = −3 , 3) x0 = ∞.
			x2	−9
	x→x0

∆ 1. Пусть x → 3. Очевидно, что мы имеем здесь неопределенность вида 00 , для раскрытия которой разложим числитель и знаменатель дроби на

множители и сократим дробь на общий множитель (x −3) :
lim	x2	−2x −3	= lim	(x −3)(x +1)	= lim	x +1	=	2	.
		x2 −9		(x −3)(x +3)				3
x→3			x→3		x→3 x +3

2. Пусть x → −3, тогда	x2
	x2	−2x −3		12
lim			=		= ∞.
lim		x2 −9	=		= ∞.
x→−3		x2 −9	0

Здесь мы воспользовались связью между б.м.ф. и б.б.ф. (см. теорему 4.6).

3. При вычислении предела lim	x2	−	2x −3	имеем дело с неопределен-
		x2	−9
x→∞

ностью ∞∞ . Так же, как и при вычислении аналогичного предела числовой

последовательности, разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной, т.е. на x2 :

	1 − 2	−	3
			x2
lim	x			=1.

x→∞	1 −	9
		x2

Заметим, что этот предел можно было вычислить иначе, выделяя глав-
ные части многочленов.	▲

4.10. Вычислить

lim

x3 +4x2 +2x −1

x3 + x +2

x→−1

∆ Раскрываем неопределенность 0 . Разложим многочлены в числителе

x +1 (в общем случае,

и знаменателе дроби на множители, поделив их на

при

x → x0 ,

на x − x0 ) по схеме Горнера (можно и «уголком»).

-1

Тогда имеем:

lim

(x +1)(x2 +3x −1)

lim

+3x −1

= −

▲

− x + 2

x→−1 (x +1)(x2 − x + 2)

x→−1 x2

4.11. Вычислить

lim

x +2 −

6 − x .

x→2

2 − x

∆ Для раскрытия неопределенности 00 преобразуем дробь так, чтобы

сократить ее на общий бесконечно малый множитель x −2 . Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю:

lim (	x + 2 − 6	− x)( x + 2	+ 6 − x)	= lim	x + 2 −6 + x	=
x→2	(2 − x)(	x + 2 + 6 − x)		x→2	(2 − x)( x + 2 +	6 − x)

= lim	2(x −2)	= lim	−(	2	= −	1 .	▲
x→2	−(x −2)( x + 2 + 6 − x)	x→2	−(	x + 2 + 6 − x)		2

3	x +h	−3 x	.
4.12. Вычислить lim	h		.
h→0	h

∆ Заметим, что здесь переменной является h, а не х. Дополним разность

кубических корней до разности кубов этих корней. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на неполный квадрат суммы. Получим:

lim

(3 x + h )3 −(3

x )3

= lim

h→0

(x + h)2 +3 x + h

3 x +

h→0

(x + h)2 +3

x + h 3

x +

	= lim				1		= 1 .
	h→0 3 (x +h)2 + 3 x +h 3 x + 3 x2						33 x2
Заметим, что предел (4.12) равен значению производной функции 3 x в
точке x , ибо	(3 x )′ = lim		3	x + h −3 x =
	(3 x )′ = lim		3	x + h −3 x =		1 .	▲
		h→0		h		33 x2
4.13. Вычислить lim x −				x .
	x→1	4 x −1
∆ Этот предел вычислим с помощью замены t = 4 x :
lim x − x =	4 x = t			4 −t 2	= lim t 2 (t 2 −1)
lim x − x =	x = t 4 = lim t			4 −t 2	= lim t 2 (t 2 −1)		= limt 2 (t +1) = 2 . ▲
x→1 4 x −1	t →1	t→1		t −1	t→1	t −1	t→1
	t →1

4.14. С помощью "ε −δ" – рассуждений доказать, что:

1) lim x2 = 4 . Для ε = 0,001 найти δ(ε) ;

x→2

2) lim

3x2 −4x +1

= 2. Для ε = 0,001

найти

δ(ε) ;

x −1

x→1

lim

sin x =1. Для ε = 0,01

найти

δ(ε) .

x→π

4.15. На языке

"Ε −δ" доказать, что:

lim

= +∞;

lim

= +∞.

x→1 (1− x)2

→+0

Заполнить следующую таблицу.

100

1000

10000

В задачах 4.16 – 4.41 вычислить пределы.

4.16.

lim

1 − x

x→x0 x2

−4x +3

1) x0 = −1, 2) x0 = 3,

3) x0 =1,

4) x0 = ∞.

4.18. lim

3 − 64

x→4 5x − 4 − x2

4.20.

lim

x + 2

x→−2

4.22* . lim

xm −1

m, n N .

x→1 xn −1

4.24.

lim

x3 − x

2 −4

+ x −

x→2 x3 − x2

4.26* .

lim

x100 − 2x +1

x→1 x50 − 2x +1

4.28.

lim

x +3 −2 .

x→1

x − x2

4.30.

lim

x2 + 4 − 2

x2 + 9 − 3

x→0

4.32.

lim

3 x −1

x +1 −

x→1

4.34* .

lim n x −1

m, n N .

x→1 m x −1

4.36* .

lim

x −

a + x −a .

x→a

x2 −a2

4.38.

lim (

4x2 −7x + 4 −2x) .

x→∞

4.40* .

lim

( x + x +

x→+∞

4.17. lim

x2 −4

x→x0 3x

2 −4x −4

1) x0 = 0 , 2) x0 = −2 3 ,

3) x0 = 2 , 4) x0 = ∞.

4.19. lim

2 + 5x + 2

x4 + x

x→−1

4.21.

−

lim

2 − x

− x3

x→2±0

4.23.

lim

− (a +

1)x + a

x3 − a3

x→a

4.25.

lim

x3 −10x −3

x→−3 x3 +8x2

+ 21x +18

4.27.

lim

2x −1 .

x→∞ 4x + 3 x

4.29.

lim

x −3

x +6 −

x→3

4.31.

lim

x − 6 + 2

x + 2

x→−2

4.33.

lim

x −1 −1 .

x→2

2 −3 x +6

4.35* . lim

x +2 −3 x +20 .

x→7

4 x +9 −2

4.37* . lim

5 1 +5x −

x→0

(1 + x)

4.39.

lim

x3 (3 x3 + 2 −3 x3 −2) .

x→∞

x − x) .

4.41* .

lim x 32 (	x + 2 − 2 x +1 +			x) .
x→+∞
В задачах 4.42 – 4.61 построить графики функций.
	2			4.43. y = −	1
4.42.	y =		.			.
4.42.	y =	x(x +1)2	.		(x −2)(x +3)	.

4.44. y = −	1	.
	x(x −3)

4.46.y =5 x−1 .


4.48.	y =	1		.

		2x −	1
4.50.	y =	2			.
		1/ x
		3	+1
4.52.	y =	1				.
		log1/ 2 x

4.54.y = arctg 1x .

4.56*. y = 2cos x .

4.58.y = x2 + x .

x−1

4.60. y = 1− x2 .

2 + x

4.45.	y =			3					.
4.45.	y =		x2 (x + 2)						.
4.47.	y = 3			1		.
4.47.	y = 3			2−x		.
4.49.	y =			1			.
4.49.	y =		3 −3x				.
			3 −3x
4.51.	y =			1	.
4.51.	y =				.
			lg x
4.53.	y =			1				.
4.53.	y =		arctg x					.
			arctg x
4.55.	y =			1				.
4.55.	y =	1		+2tgx				.
		1		+2tgx

4.57*. y = lim (x −1) arctg xn .

n→∞

4.59.y = 2 − x2 .

x+3

4.61. y = − x2x+3 .

4.6. Замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые

Предел

lim	sin x	=1	(4.1)
	x
x→0

называется первым замечательным пределом. Поведение функции y = sinx x

в окрестности точки x0 = 0 изображено на рис. 4.13. Y

Рис. 4.13

Из формулы (4.1.) легко получаем следствия 1-го замечательного предела:

lim	x	=1;	(4.2)	lim	arcsin x	=1;	(4.3)
					x
x→0 sin x				x→0

lim

tg x

=1;

(4.4)

lim

arctg x

(4.5)

x→0

Из теоремы о пределе сложной функции (см. теорему 4.4) следует также,

что для любой б.м.ф. α(x)

при

x → x0 :

lim

sinα(x)

=1.

(4.6)

α(x)→0

α(x)

Аналогичное утверждение можно записать для каждого из пределов

(4.2) – (4.5). Например:

tgα(x)

lim

=1.

(4.7)

α(x)→0

α(x)

lim (1 +

В пункте 3.4.4 отмечалось, что предел

существует и равен

n→∞

числу e = 2,71828....

Можно доказать, что и в случае непрерывного аргу-

мента, x R ,

(1+

lim

= e .

(4.8)

x→∞

Этот предел называется 2-м замечательным пределом.

С помощью (4.8) можно доказать справедливость равенств (следствия

2-го замечательного предела):

ln(1+ x)

lim(1+ x) x = e ;

(4.9)

lim

=1;

(4.10)

x→0

ex −1

x→0

lim

=1;

(4.11)

lim

log

(1+ x)

;

(4.12)

ln a

x→0

lim

a x −1

= ln a ;

(4.13)

lim

(1+ x) p −1

= p .

(4.14)

x→0

Из теоремы о пределе сложной функции следует, что для любой беско-

нечно большой при x → x0

функции y(x) :

y( x)

lim

1 +

= e ,

(4.15)

y( x)→∞

y(x)

а также для любой бесконечно малой

при x → x0 функции α (х):

lim

(1+α(x))α( x)

= e .

(4.16)

α( x)→0

Аналогичные (4.16) следствия можно получить также из формул (4.10) –

(4.14), заменяя в каждой из них x на б.м.ф.

α(x).

Введем очень важное в данной теме понятие эквивалентных бесконечно

малых.

Две бесконечно малые при x → x0 функции α(x)

и β(x)

называют эк-

вивалентными (э.б.м.)

и обозначают α(x) ~ β(x), если

lim	α(x)	=1.	(4.17)
x→x0	β(x)

Используя замечательные пределы (4.1), (4.8) и их следствия (4.2) – (4.14), можно составить следующую таблицу э.б.м.

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Пусть α(x) → 0 при x → x0 ,

тогда

1. sinα ~ α.

6. ln(1 +α) ~ α.

2. tg α ~ α.

7. eα −1 ~ α.

3. arcsinα ~ α.

8. loga (1+α) ~

(a > 0, a ≠1).

ln a

4. arctg α ~ α.

9. aα −1 ~ αln a.

5. 1 − cos α ~ α 2 .

10. (1+α) p −1 ~ pα.

В качестве примера докажем соотношения 5 и 10:

∆

1−cosα = 2sin 2

~ 2

α2

(α → 0 )

▲

∆

Обозначим

β = (1+α) p −1.

Тогда

β → 0 при α → 0. Получим

(1+α) p =1+ β p ln(1+α) = ln(1+ β).

Из

свойства

6 следует,

что

p ln(1 +α) ~ pα,

ln(1 + β) ~ β. Тогда β ~ pα,

т.е. (1+α) p −1 ~ pα.

▲

При нахождении пределов удобно использовать следующую теорему:

Теорема 4.7. (О вычислении пределов

с помощью э.б.м.).

Пусть

α(x), β(x)

– б.м.ф.

при

x → x0

α(x) ~ α1 (x),

β(x) ~ β1 (x) ,

тогда

lim

α(x)

= lim

α1 (x)

т.е. предел отношения двух б.м.ф. равен пределу от-

β(x)

x→x0

β1 (x)

ношения эквивалентных им функций.

4.62. Вычислить предел

lim

sin 5x

при а)

x0 = 0; б) x0 =π.

tg 3x

x→x0

∆

В обоих случаях имеем неопределенность

sin 5x

а) Предел lim

вычислим двумя способами: 1) с помощью 1-го за-

x→0 tg 3x

мечательного предела и его следствий;

2) с помощью э.б.м.

1-й способ: а) lim

sin 5x

= lim

sin 5x

lim

sin 5x

lim

tg 3x

x→0

x→0 5x

3 3

5x→0

3x→0 tg 3x

= 53 1 1 = 53.

2-й способ: lim	sin 5x	=	5x → 0 sin 5x ~ 5x	= lim	5x	=	5	.

			3x → 0 tg 3x ~ 3x		3x
x→0 tg 3x				x→0			3

б) При x →π применять 1-й способ не имеет смысла, т.к. после аналогичных преобразований мы получаем неопределенность вида 0 ∞.

Применять 2-й способ при x →π следует с осторожностью, ибо sin 5x в

этом случае не эквивалентен 5x (т.к.

5x не б.м.ф. при x →π ), так же как и

tg 3x не эквивалентен 3x

(!). Чтобы применить таблицу э.б.м., преобразуем

данное выражение, перейдя к переменной α = x −π. Тогда

lim

sin 5x

α = x −π x =α +π

= lim

sin (5α + 5π)

tg 3x

x→π

x →π α → 0

α→0

tg (3α + 3π)

− sin 5α =

sin 5α ~ 5α

5α

▲

= lim

tg 3α ~ 3α

= − lim

= −

α→0

tg 3α

α → 0

α→0 3α

Замечание 1. При раскрытии неопределенностей вида

в случае, когда

x → x0 , x0 ≠ 0,

целесообразно делать замену α = x − x0 (как это и было сде-

лано в предыдущем примере).

4.63. Вычислить

lim

cos3x −cos x

x→0

arctg 2 2x

−2sin 2x

sin x

−2 2x x

cos3x −cos x 0

= lim

= −1.

∆

lim

arctg 2 2x

(2x)2

▲

x→0 arctg 2 2x

x→0

Замечание 2. Заменять б.м.ф. на э.б.м.

в алгебраической сумме нельзя,

это может привести к ошибке!

tg x −sin x

Например,

при

вычислении

lim

замена

tg x ~ x,

sin x ~ x

x→0

приводит к неверному ответу: lim x − x = 0. Однако этот предел не равен ну-

x→0 x3

лю. В самом деле:

sin x

−

x x2

cos x

sin x

sin x(1−cos

sin x ~ x

1 .

lim

= lim

x→0

cos x x

1 −cos x ~

x→0 cos x x3

x+4

б) lim (cos 4x)tg x .

4.64. Вычислить пределы:

а)

lim (3 + 2x) x+1 ;

x→−1

x→2

В обоих случаях имеем

неопределенность 1∞. Раскроем ее,

выделив

число e, т.е. воспользуемся равенством

lim (1+α(x))α( x)

= e.

α( x)→0

x+4

α = x +1 x =α −1

α−1+4

а)

∆

lim (3 + 2x) x+1

= lim (3

+ 2(α −1))

α =

x → −1 α →

x→−1

→0

α+3

2α

lim 2(α+3)

= e6 .

▲

= lim (1 + 2α) α

= lim (1 + 2α) 2α

= eα→0

α→0

б)

∆

lim (cos 4x)tg x

α = x −π / 2,

x =α +π / 2

x→

x →π / 2,

α → 0

= lim (cos (4α + 2π))tg(α+π / 2)

= lim (cos 4α)−ctgα =

α→0

−

1−cos 4α ~

(4α)2

−

tgα =

α =

= lim (1+(cos 4α −1))

= lim (1−8α2 )

α→0

tgα

~ α

→0

−8α 2

−

−α

lim 8α

= lim

= e0 =1.

▲

(1 −8α2 ) 8α

= eα→0

α→0

4.65. Вычислить lim

3x −

x→0

∆

Раскрываем неопределенность

Вычислим этот предел двумя спо-

собами:

−

3 x

2x x ln

lim

−1 ~ x

= lim

= ln

x→0

x → 0

x→0

lim

(3x −1) −(2x −1)

3x −1 ~ x ln 3

x→0

2x −1 ~ x ln 2

= lim

x ln 3 − x ln 2

= ln 3 −ln 2 = ln

▲

x→0

arctg

ln(1−sin 2x)

4.66. Вычислить lim

3 1− x3

x→0

−1

∆ Раскрываем неопределенность вида

пользуясь таблицей э.б.м.:

arctg

2 x

так как

→ 0,

ln(1 − sin 2x) ~ −sin 2x ~ −2x,

так как

2x → 0,

1/ 3

1− x

−1

(1+(−x)

)

−1 ~ −3 x

так как

− x

→ 0.

(−2x)

3 .

Тогда

lim

▲

x→0

−

В задачах 4.67–4.97 вычислить пределы.

sin (π + x)

arcsin

4.67. lim

4.68. lim

x→0 arctg 4x

x→0

ctg (x −

π)

cos3x −cos x

4.69. lim

4.70. lim tg x +tg 4x .

x→0

x→0 arcsin2

4.71.

lim (2x −π)tg x.

4.72. lim(1− x2 ) ctg 3πx.

x→π / 2

sin(x −π / 6) .

x→1

tg x +1.

4.73.

lim

4.74.

lim

x→π / 6

3 − 2 cos x

x→−π / 4 cos 2x

4.75*.

lim

1−ctg3 x

4.76*. lim

(sin

x +1 −sin x).

x→π / 4 2 −ctg x −ctg3 x

x→+∞

4.77*. lim

sin(a + 2x) −2sin(a + x) +sin a

x→0

4.78*. lim	1−cos x cos 2x cos3x	.

x→0	1−cos x

3−x

4.80.lim (4x + 9) x+2 .

x→−2

4.82. lim(cos 2πx)ctg πx .

x→1

4.84*. lim x cos x .

x→0

4.86. lim	9	− x2	.

x→−3 e−x − e3

4.88. lim ln(6 −x) . x→5 x2 −5x

4.90. lim (4x2 −2)(ln(x2 −1) −ln x2). x→∞

x−2

4.79. lim(3x −8) 3−x .

x→3

4.81.

lim

(sin x)tg 2 3x .

x→π

/ 2

4.83*. lim (sin1 x + cos1 x) x

x→∞

4.85. lim

e4x − e−2x

x + x2

x→0

4.87. lim

− x

ln x

x→1

4.89.

lim (2x3 + 3)(ln(x3 +1) − ln(x3 −1)).

x→+∞

4.91*. lim

ln(x2 − x +1)

+ x +1)

x→∞ ln(x10

4.92*.

4.94.

4.96.

lim	3x −x3 .
x→3		x −3
			x		sin x
		tg		(1	−e		)
lim			2
	4 1+2x2 −x3						.
x→0						−1
lim		1 −10tg πx						.

x→−2 lg (2 + cos π2x)

4.93. lim	( 1 + x − x2 −1) ln (1 −tg 2 x)	.
	sin 5x3
x→0

4.95.	lim	lnsin x		.
4.95.	lim			.
x→π / 2 ecos x − ecos 3x
		ln(cos	x		+ 2)
4.97*.	lim	ln(cos	a		+ 2)	.
			a

	x→aπ	aa 2π 2 / x2 −aπ / x − aaπ / x−1

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями

#
11.05.20153.35 Mб183Сборник задач по ВМ ч.1.pdf
#
11.05.20151.73 Mб131Сборник задач по ВМ ч.10.pdf
#
11.05.20153.42 Mб115Сборник задач по ВМ ч.2.pdf
#
11.05.20152.99 Mб239Сборник задач по ВМ ч.3.pdf
#
11.05.20151.26 Mб120Сборник задач по ВМ ч.4.pdf
#
11.05.2015672.61 Кб178Сборник задач по ВМ ч.5.pdf
#
11.05.20151.41 Mб105Сборник задач по ВМ ч.6.pdf
#
11.05.20151.29 Mб140Сборник задач по ВМ ч.7.pdf
#
11.05.20151.03 Mб102Сборник задач по ВМ ч.8.pdf