8. Представление чисел в форме с плавающей точкой. Мантисса числа. Характеристика числа.

Неудобство представления чисел в форме с фиксированной точкой проявляется при решении задач, в которых фигурируют как очень малые так и очень большие числа В конкретных физических, математических и других задачах диапазон изменения величин может составлять, например от 10^-30до 10³⁰. Можно убедиться, что в представлении с фиксированной запятой понадобились бы двоичные слова длинной около 256 бит (32 байт), по 128 бит на целую и дробную части. Однако работа ЭВМ с операндами такой длины была бы крайне неэффективной.

Точность числа определяется не его длиной, а количеством верных значащих цифр.

Например, мы хотим измерить длину отрезка линейкой с сантиметровыми делениями. Отрезок не совпадает с делениями точно - его длина между 47 и 47,5 см. На глазок прикидываем, что это 47,2 см (472 мм). Ясно, что в каких единицах ни записать длину отрезка: 472000микрон 472мм. 0,000472км - точных цифр только две: 47 при точности измерения до 1 см (ведь линейка-то сантиметровая).

Точность результата вычисления выражений, содержащих несколько чисел, определяется, как правило, точностью числа имеющего наименьшее количество верных значащих цифр. Поэтому в практических расчетах редко используют более трех значащих цифр, соответствующим образом округляя промежуточные результаты. Ясно, что для хранения в памяти ЭВМ чисел с небольшим числом значащих цифр целесообразно представлять их в экспоненциальной форме. В приведенном примере это представление может иметь вид:

4,72 Х 105; 472 X 103; 4720 X 102микрон или 4,72 х 10-4; 47,2 X 10-5;472 X 10-6км.

Из этого примера также видно, что положение запятой может изменяться. Поэтому в информатике представление в ЭВМ числа в экспоненциальной форме называются представлением с плавающей точкой (запятой). Для однозначности представления чисел с плавающей точкой используется нормализованная форма:

A = m x q ^p,

- где: m - мантисса числа,

q - основание системы счисления,

p - порядок числа.

При этом q^-1Ј |m| <1. Это означает, что мантисса должна быть дробью и иметь первую после запятой цифру, отличную от нуля.

Число в форме с плавающей точкой занимает в памяти ЭВМ четыре или восемь байт (больше крайне редко). При записи числа с плавающей точкой выделяются разряды для хранения мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.

Оценим диапазон представления чисел по максимальному значению: A_max=m_maxxq^Pmax,

- где: q = 2 (основание системы счисления)

m_max= 1 - 2^-24(максимальное значение мантиссы),

P_max= 2 ⁶- 1 = 63 (максимальный порядок при 6 разрядах).

Тогда A_max= (1 - 2^-24) x 2⁶³= 1 x 2⁶³» 10¹⁹.

Если для размещения порядка выделяется 7 разрядов, то P_max= 2⁷- 1 = 127 и Amax » 10³⁸

с точностью около 7 десятичных разрядов. Когда такой точности не хватает, используется формат удвоенной точности (двойной точности), в котором для записи мантиссы отводиться дополнительная область. Это позволяет получить большее число значащих цифр в мантиссе при этом же диапазоне порядков.

Представление чисел в форме с плавающей точкой очень удобно для решения научных и инженерных задач. Нормализованное представление чисел не только позволяет сохранить в разрядной сетке большое количество значащих цифр, но также упрощает действие над порядками и мантисами.