тэц
.pdfТЭЦ 2 часть
Лекция 1
Электрические цепи с распределёнными параметрами (длинные линии)
Общие сведения о регулярных линиях передачи Линия передачи (длинная линия) – устройство, ограничивающее область распространения
электромагнитных колебаний и направляющее поток электромагнитной энергии в заданном направлении.
Линия называется регулярной, если в продольном направлении неизменны её поперечное сечение, положение его в пространстве и электромагнитные свойства заполняющих её сред.
Линия является однородной, если в произвольном поперечном сечении параметры среды неизменны.
Открытые линии передачи
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
1 – двухпроводная линия, 2 – открытая полосковая линия, 3 – однопроводная линия, 4 – открытая диэлектрическая линия.
Закрытые линии передачи
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 – коаксиальный кабель, 2 – прямоугольный волновод, 3 – круглый волновод, 4 – эллиптический волновод, 5 – частично-заполненный волновод, 6 – экранированная полосковая линия.
Длинные линии характеризуются первичными параметрами, то есть параметрами,
отнесенными к единице длины линии. К первичным параметрам относят:
1. Резистивное сопротивление единицы длины линии
Гн 2. Индуктивность единицы длины линии L0 .
м
Ф 3. Ёмкость единицы длины линии C0 .
м
Cм 4. Проводимость единицы длины линии G0 .
м
Ом R0 .
м
Телеграфные уравнения Рассмотрим элементарный участок длинной линии.
|
|
|
R0 x L0 x i |
|
|
i+D i |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u |
|
|
|
G0D x |
|
|
C0D x |
|
|
u+Du |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
D x |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Линия рассматривается как цепь с бесконечно большим числом звеньев, электрические параметры которых бесконечно малы.
Токи и напряжения в линии описываются системой телеграфных уравнений:
- |
¶u (x, t ) |
= R i (x, t )+ L |
|
¶i (x, t ) |
|
||||
¶x |
|
|
¶t |
||||||
|
0 |
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
- |
¶i (x, t ) |
= G u (x, t )+ C |
|
|
¶u (x, t ) . |
||||
|
|
|
¶t |
|
|||||
|
¶x |
0 |
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Представим мгновенные токи и напряжения в виде комплексных действующих значений:
i (x, t ) Û I (x), u (x, t ) Û U (x), |
¶i (x, t ) |
Û jwI (x), |
¶u (x, t ) |
Û jwU (x). |
|
|
|||
|
¶t |
¶t |
Телеграфные уравнения запишем в более удобном виде:
- dU (x) = R0 I (x)+ jwL0 I (x) = (R0 + jwL0 )I (x)
dx
.
- d I (x) = G0U (x)+ jwC0U (x) = (G0 + jwC0 )U (x) dx
Уравнения передачи для однородной длинной линии
Продифференцируем в системе телеграфных уравнений по координате x первое уравнение:
|
|
- |
d 2 |
U |
(x) |
= (R + jwL ) |
d I (x) |
. |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
dx2 |
|
|
0 |
|
|
0 |
dx |
||||
Далее, используя второе уравнение, имеем: |
|
|
|
|
|||||||||||
|
d 2U (x) |
= (R + jwL )×(G + jwC )U (x). |
|||||||||||||
|
|
dx2 |
|||||||||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
– |
|
|||||||||
Введём переменную g = |
(R0 + jwL0 )(G0 + jwC0 ) |
коэффициент распространения. |
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В итоге получаем однородное дифференциальное уравнение вида: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
d 2U (x) |
- g2U (x) = 0 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим характеристическое уравнение p2 - g2 |
= 0 , из которого p = ±g . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
Решение для U (x) запишем в виде:
U (x) = A1e−γ0 x + A2eγ0 x .
Используя телеграфные уравнения, определим I (x).
|
|
|
|
|
|
|
I ( x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(A1e− γ0 x − A2eγ0 x ) . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R + jωL |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Введём переменную Z 0 |
= |
|
R0 |
+ jωL0 |
|
|
– |
|
|
волновое сопротивление линии. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
G0 |
+ jωC0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
В итоге можно записать: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U ( x) |
= A e− γ0 x + A |
eγ0 x , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I ( x) = |
1 |
|
|
|
|
|
|
( A1e− γ0 x − A2eγ0 x ) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для определения неизвестных A1 |
|
|
и A2 |
|
|
|
зададим граничные условия вначале линии. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть U (0) = |
U |
1 – напряжение на входе линии, I (0) = I1 – ток на входе линии, тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
U |
|
= A + A |
|
|
|
, |
I |
|
|
= |
|
|
|
|
1 |
( A − A |
|
) , отсюда |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z 0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
U |
1 + I 1 Z 0 |
|
|
, A |
|
= |
|
|
U |
1 − I1 Z 0 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
После подстановки, получим в явном виде уравнения для определения напряжений и токов в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
произвольной точке x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
U ( x) = |
U 1 + I1 Z 0 |
e− γ0 x + |
U 1 − I1 Z 0 |
eγ0 x , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I ( x) = |
U 1 + I1 Z 0 |
e− γ0 x − |
U 1 − I 1 Z 0 |
eγ0 x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Z 0 |
|
|
|
|
||||||||||
Последние уравнения – |
есть уравнения передачи однородной длинной линии. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Поскольку chγ x = |
eγ0 x |
+ e− γ0 x |
|
, |
shγ x = |
|
eγ0 x |
− e− γ0 x |
|
, то уравнения передачи можно записать в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
более компактном виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U ( x) = U 1chγ x − I |
1 Z |
0shγ x , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I ( x) = − |
|
U |
1 |
|
shγ x + I chγ x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z 0 |
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Зададим граничные условия в конце линии x = a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть U (a ) = |
U |
2 , I (a ) = I 2 – |
напряжение и ток в конце линии. Тогда последние уравнения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
примут следующий вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
U (a ) = |
U |
2 = |
U |
1chγ a − I |
1 Z 0shγ a , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I (a ) |
= I |
2 |
= − |
U 1 |
shγ a + I chγ a . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выразим напряжение и ток на входе через напряжение и ток на выходе линии. Решаем методом определителей.
|
|
|
|
chγ a |
−Z 0shγ a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
= ch2 γ a − sh2 γ a = 1, |
||||||||
|
− |
1 |
|
shγ a |
chγ a |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Z 0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
U 1 = |
|
|
U |
2 |
−Z 0shγ a |
|
|
= U 2chγ a + I 2 Z |
0shγ a , |
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
I 2 |
chγ |
a |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
chγ a |
|
U |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
I1 = |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
= I 2chγ a + |
U 2 |
shγ a . |
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
shγ a |
|
I 2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
Z 0 |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Окончательно получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U 1 = |
U |
2chγ a + I 2 Z 0shγ a , I |
1 |
= I 2chγ a + |
U 2 |
shγ a . |
|||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z 0 |
Из последних уравнений мы можем определить напряжение и ток вначале линии ( x = 0 ), зная
напряжение и ток в конце линии ( x = a ). Следует отметить, что параметры γ и Z |
0 относятся к |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
вторичным параметрам длинной линии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Падающие и отраженные волны |
|
|
|
|||||||||||||
В уравнениях передачи введём следующие обозначения: |
|
|
|
||||||||||||||||
U пад = |
|
U |
1 + I1 Z 0 |
, U отр |
= |
U 1 − I1 Z 0 |
, |
I пад = |
|
U |
1 + I1 Z 0 |
, I отр |
= |
U 1 − I1 Z 0 |
. |
||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2Z 0 |
|
2Z 0 |
|
|||||||||
|
|
|
U ( x) = U падe− γ0 x + |
U |
отрeγ0 x |
= U пад ( x) + |
U |
отр ( x ) , |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
I ( x) = I падe− γ0 x − I отрeγ0 x = I пад ( x) + I отр ( x) , |
|
|
|
Отметим, что: U пад ( x) = Z 0 I пад ( x) , U отр ( x) = −Z 0 I отр ( x) .
Напряжение и ток состоят из двух слагаемых. Первые слагаемые уменьшаются с
увеличением расстояния от начала линии, вторые возрастают.
Вывод: в линии существует два типа волн: падающие и отраженные.
Пусть γ = α + jβ , тогда напряжение и ток в мгновенной форме:
0
u ( x, t ) = |
|
U |
пад |
|
e |
−αx sin (ωt − βx) + |
|
U |
отр |
|
|
eαx sin (ωt + βx) , |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
i ( x, t ) = |
|
I пад |
|
|
e−αx sin (ωt − βx) − |
|
I отр |
|
|
eαx sin (ωt + βx) . |
|||||||||
|
|
|
|
|
Рассмотрим первые слагаемые в последних уравнениях:
|
uпад ( x, t ) = |
|
U пад |
|
e−αx sin (ωt − βx) , |
|
|
U |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
i |
( x, t ) = |
|
I |
пад |
|
e−αx sin (ωt − βx) , где |
|
I |
пад |
|
= |
|
пад |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
пад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z 0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вкаждом сечении линии колебания тока и напряжения являются гармоническими;
1.По мере удаления от начала линии амплитуда колебаний затухает по экспоненциальному закону.
2. В каждой последующей точке линии колебания отстают по фазе от колебаний в предыдущей точке (знак «минус» перед βx ).
Uпад(x)
|
A |
A |
|
|
|
|
|
0 |
x1 |
x2 |
x |
Скорость распространения вдоль цепи состояния равной фазы называется фазовой скоростью.
Определим фазовую скорость распространения волны vф из условия:
|
|
|
|
|
ωt − βx |
= ωt |
|
− βx , откуда v = |
x2 |
− x1 |
= |
ω . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
t2 |
− t1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
|
|
ф |
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вывод: первые слагаемые описывают падающие волны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Рассмотрим вторые слагаемые: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
uотр ( x, t ) = |
|
U |
отр |
|
eαx sin (ωt + βx) , iотр |
( x, t ) = − |
|
I отр |
|
eαx sin (ωt + βx) , где |
|
I отр |
|
= |
|
U |
отр |
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Z 0 |
|||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эти слагаемые описывают волны точно такого же типа, как и падающие, но распространяющиеся в обратном направлении (знак «плюс» перед βx ). Эти волны называются отраженными.
Коэффициенты отражения по току и напряжению. Режимы работы линии
Представим длинную линию в следующем виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zг |
|
|
I1 |
|
|
|
|
I2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Uг |
|
|
|
|
|
|
|
U1 |
Z2 |
|
|
U2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
||||||||
Определим коэффициент отражения волны от конца линии, нагруженной на сопротивление Z 2 . |
|||||||||||||||||||||||||
U 2 |
= U пад (a) + U отр (a ) = Z 0 (I пад (a) − I отр (a)), |
||||||||||||||||||||||||
I 2 |
= I пад |
(a ) + I отр (a) = |
1 |
(U пад (a) − |
U |
отр (a)) . |
|||||||||||||||||||
Z 0 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Напряжение на сопротивлении Z 2 |
определяется согласно закону Ома: U 2 = Z 2 I 2 . |
||||||||||||||||||||||||
Принимая во внимание выше сказанное, имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
I 2 Z 2 = |
U |
пад (a) + |
U |
отр (a) |
и I 2 Z 0 = U пад (a ) −U отр (a ) . |
||||||||||||||||||||
|
|
Определим падающую и отраженную компоненту волны в конце линии.
U пад (a) = |
1 |
I 2 (Z 2 |
+ Z 0 ) , U отр (a) = |
1 |
I 2 (Z 2 − Z 0 ) . |
|
|
||||
2 |
|
2 |
|
Введём понятие коэффициента отражения по напряжению, как отношение отраженной волны к падающей волне в конце линии.
Ru |
= |
|
|
|
U |
отр (a) |
= |
Z |
2 |
− Z |
0 |
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
U |
пад (a) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Z 2 |
+ Z 0 |
|||||||
|
|
|
|
По аналогии определим коэффициент отражения по току.
U |
2 |
= I пад (a) − I отр (a) , |
U |
2 |
= I пад (a) + I отр (a ) . |
|
Z |
0 |
Z |
2 |
|||
|
|
Определим падающую и отраженную компоненты волны в конце линии.
I пад (a) = |
1 |
|
|
1 |
+ |
1 |
|
I отр (a ) = |
1 |
|
|
1 |
− |
1 |
|
|
U |
2 |
, |
U |
2 |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
Z 2 |
|
Z 0 |
2 |
|
Z 2 |
|
Z 0 |
Выражение для коэффициента отражения по току примет вид:
Ri |
= |
I |
отр (a ) |
= |
Z |
0 |
− Z |
2 |
= −Ru . |
|
I пад (a) |
Z 0 |
+ Z 2 |
||||||||
|
|
|
|
В случае, когда Z 2 = 0 – длинная линия является короткозамкнутой. При этом, Ru = −1 , а
Ri = 1, напряжение будет равно нулю, а ток имеет максимальное значение (режим короткого замыкания). Если Z 2 = ∞ – длинная линия работает на холостом ходе. При этом, Ru = 1, а Ri = −1 ,
ток будет равен нулю, а напряжение имеет максимальное значение (режим холостого хода). Если
Z 2 = Z 0 – согласованный режим работы линии. При этом Ru = Ri = 0 , энергия волны передается через линию без потерь.
|
|
|
|
|
|
|
Лекция 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Волновое сопротивление длинной линии. |
|
|
|
|
|||||||||||
Волновое сопротивление Z 0 |
= |
R0 + jωL0 |
|
= Z0ejϕzo . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
G0 + jωC0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Волновое сопротивление не зависит от длины линии, а определяется её первичными параметрами. |
|||||||||||||||||
Определим модуль и аргумент волнового сопротивления соответственно: |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
R2 |
+ (ωL )2 |
|
|
|
1 |
ωL |
|
ωC |
0 |
|
|
|
||
|
Z0 = |
4 |
0 |
0 |
|
|
, ϕzo |
= |
|
arctg |
0 |
− arctg |
. |
|
|
||
|
G02 |
+ (ωC0 ) |
2 |
|
2 |
R0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G0 |
|
|
||||||
Построим графическую зависимость Z0 (ω) и ϕzo (ω) . |
Для всех реально существующих |
||||||||||||||||
линий R0 > L0 , поэтому: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G0 |
C0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z0(ω) |
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕz0(ω) |
|
|
|
|
|
|
|
|
R0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
ωm |
|
|
|
|
|
ω |
|
ÖG0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
L0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÖC0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
ω |
|
ϕm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Самостоятельно определить ω |
! Ответ: ω |
m |
= |
R0G0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
m |
|
|
|
L0C0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Используя уравнения передачи вида: U 1 = U 2chγ a + I 2 Z 0shγ a , |
I 1 = I 2chγ a + U 2 shγ a , |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
Z |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
определим напряжение и ток в начале линии при согласованном режиме, когда Z 2 = Z 0 , где Z 2 –
сопротивление нагрузки: U 1 |
= U 2chγ a + I 2 Z 2shγ a , I 1 = I 2chγ a + |
U 2 |
shγ a , |
|||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z 2 |
|
|
U 1 |
= U 2chγ a + |
U |
2shγ a , I1 |
= I 2chγ a + I |
2shγ a , |
||||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
||||||
|
U 1 |
= |
U |
2 (chγ a + shγ a ) , I 1 |
= I 2 (chγ a + shγ a ) . |
|||||||||
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|||||||
Поскольку chγ a = |
eγ0a + e− γ0 a |
, shγ a = |
eγ0a − e− γ0a |
, тогда chγ a + shγ a = eγ0a . |
||||||||||
2 |
|
|||||||||||||
0 |
0 |
|
|
2 |
|
0 |
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончательно получим: U 1 = U 2eγ0 a , I1 = I 2eγ0 a .
Из последних уравнений легко определить напряжение и ток в конце линии: U 2 = U 1e− γ0a ,
I 2 = I1e− γ0 a . Напряжение и ток в любой точке линии при согласованном режиме определяются:
U ( x) = U 1e− γ0 x , I ( x) = I 1e− γ0 x .
|
|
|
Коэффициент распространения. Способ определения первичных параметров |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Коэффициент распространения: g = |
(R + jwL )×(G + jwC ) = g |
0 |
ejϕγo = a + jb , откуда |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = g0 cos (jγo ) |
– |
|
коэффициент ослабления, b = g0 sin (jγo ) |
– |
коэффициент фазы. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Определим модуль и аргумент коэффициента распространения соответственно: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
g0 = 4 (R02 + (wL0 )2 )×(G02 + (wC0 )2 ), jγo = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
arctg wL0 + arctg wC0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
R0 |
|
|
|
|
|
G0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построим графическую зависимость g0 (w) |
и jγo (w). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
γ0(ω) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
ϕγ0(ω) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÖR0G0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|||
При согласованном режиме U (x) = U 1e |
−γ0 x |
|
I (x) = I |
|
−γ |
0 x |
|
|
|
|
|
U 1 |
|
I |
1 |
|
|
γ |
0 x |
|
(α+ jβ) x |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
, |
1e |
|
|
, |
отсюда: |
|
U (x) |
= I (x) = e |
|
|
|
= e |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
Пусть U |
1 |
= U ejϕu1 |
|
, |
I |
1 |
= I ejϕi1 |
, U (x) = U (x)ejϕux , I (x) = I (x)ejϕix , тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U1 |
|
|
j(ϕu1 −ϕux ) |
= |
|
I1 |
|
j(ϕi1 −ϕix ) |
= e |
αx |
|
jβx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U (x)e |
|
I (x)e |
|
|
e |
|
, следовательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
U1 |
|
I1 |
|
|
αx |
|
|
|
j(ϕu1 −ϕux ) |
= e |
j(ϕi1 −ϕix ) |
= e |
jβx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
U (x) = I |
(x) = e |
|
|
, |
e |
|
|
|
|
|
, |
откуда определяем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a = ln |
U1 |
|
|
|
I1 |
Нп |
|
|
|
|
|
|
|
U1 |
= 20 lg |
|
I1 |
|
|
Дб |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
U (x) |
= ln |
|
|
, либо a = 20 lg |
|
|
(x) |
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I (x) |
|
м |
|
|
|
|
|
|
U (x) |
|
|
|
I |
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|||||||
bx = j |
u1 |
- j |
ux |
= j |
|
- j |
, для линии длинной x =1 м , получаем b = j |
u1 |
- j |
ux |
= j |
i1 |
|
- j |
рад . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i1 |
ix |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ix |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
Рассмотрим способ определения первичных параметров по известным вторичным параметрам. |
Так как g = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R0 + jwL0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(R + jwL )×(G + jwC |
) |
|
, Z |
0 |
= |
|
|
|
, то |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
G0 + jwC0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
g Z |
0 |
= R + jwL , g Z |
−1 |
= G + jwC . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R0 |
= Re (g Z 0 ), L0 |
= |
1 |
|
Im (g Z 0 ), G0 = Re (g Z 0−1 ), C0 |
= |
1 |
|
Im (g Z 0−1 ). |
|||||||||||||
|
w |
w |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Входное сопротивление длинной линии |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Входное сопротивление Z вх |
линии определяется отношением напряжения и тока в начале |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
линии. Определим входное сопротивление с помощью уравнений передачи: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Z вх = |
U |
1 |
= |
U 2chγ a + I 2 Z |
0shγ a |
= |
I 2 Z 2chγ a + I 2 Z 0shγ a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
, после преобразований |
|||||||||||||||
|
I |
|
|
|
I 2chg0 a + |
U 2 |
|
shg0 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
Z 0 |
|
|
|
|
I 2chg |
a + I 2 |
|
|
2 |
shg a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Z 0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Z 0 |
Z 2chγ a + Z |
0shγ a |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z вх |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z 0chg a + Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2shg |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим частные случаи режима работы линии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1. |
При согласованном режиме |
работы |
Z 2 = Z 0 , |
|
тогда |
входное |
сопротивление линии равно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
волновому сопротивлению: |
Z вх = Z 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z 0shγ a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
В режиме короткого замыкания Z 2 = 0 , тогда Z вх |
= Z вх. кз |
= Z 0 |
|
|
= Z 0 thg a . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Z 0chg a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
В режиме холостого хода Z 2 = ¥ , тогда Z вх |
= Z вх. хх |
= Z 0cthg a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
На практике удобно входное сопротивление линии выражать через параметры холостого |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
хода и короткого замыкания, то есть Z вх. хх |
и Z вх. кз . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Z вх = Z 0 |
Z 2chγ a + Z |
0shγ a |
= |
Z |
0 |
× |
|
chγ a |
× |
|
Z 2 + Z 0 thγ a |
= |
|
Z |
2 + Z |
0 thγ a |
= |
Z 2 |
+ Z 0 thγ a |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Z 0chg a + Z |
2shg a Z 0 chg |
0 |
a |
|
|
|
1+ |
2 |
thg a |
|
1+ |
|
|
thg a |
|
|
|
1+ |
Z 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z 0 |
|
|
|
Z 0 |
|
|
|
Z 0сthg a |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z вх = |
Z 2 + Z вх. кз |
= Z вх. хх |
Z 2 + Z вх. кз |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
Z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z 2 |
+ Z вх. хх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z вх. хх
Представим зависимость модулей сопротивлений XX и КЗ от длины линии и зависимость модуля
Z вх |
от частоты при несогласованной нагрузке. |
|
|Zвх| |
|Z0| |
|
0 |
a |
Выводы: |
|
|Zвх| |
R0 |
|
ÖG0 |
|
L0 |
|Z0| |
|
|
ÖG0 |
|
0 |
ω |
1.Колебательный характер входного сопротивления при несогласованном режиме объясняется наличием в линии падающих и отраженных волн.
2.При изменении частоты и длины линии изменяется фаза отраженной волны.
3. Если в начале линии отраженная и падающая волна напряжения совпадают по фазе
|
= |
|
U1max |
|
. |
||||
(отраженная и падающая волна тока находятся в противофазе), то |
Zвх max |
||||||||
|
|
||||||||
|
|
I1min |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
4. Если в начале линии отраженная и падающая волна напряжения находятся в противофазе
|
= |
|
|
U1min |
|
|
. |
||||
(отраженная и падающая волна тока совпадают по фазе), то |
Zвх min |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
I1max |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Линия без потерь. Согласованный режим.
Линия без потерь – это линия, у которой рассеяние энергии отсутствует, то есть R0 = G0 = 0 .
Определим коэффициент распространения линии без потерь:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
g = |
(R + jwL )×(G + jwC ) |
= a + jb = -w2 L C = jw |
|
|
|
. |
||||||||
L C |
0 |
|||||||||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α = 0 , |
а коэффициент фазы β = ω |
|
|
|
|||||||||
Отсюда коэффициент ослабления |
L0C0 |
линейно зависит от |
||||||||||||
частоты. Из курса физики известно, что длина волны λ – |
расстояние между двумя точками, |
взятыми в направлении распространения волны, фазы в которых отличаются на 2π, то есть
βλ = 2π , откуда l = |
2π |
. Используя уравнения передачи общего вида: |
|
|||||||
b |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U 1 |
= |
U |
2chg a + I 2 Z 0shg a , |
I 1 = I 2chg a + |
U 2 |
shg a , поскольку g |
= jb, имеем |
|||
|
||||||||||
|
0 |
0 |
0 |
Z |
0 |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
chg a = ch (jba) = cos ba , и shg a = sh |
(jba) = jsin ba . |
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Уравнения передачи для линии без потерь выглядят в виде:
U 1 = U 2 cos ba + jI 2 Z 0 sin ba , I 1 = I 2 cos ba + jU 2 sin ba .
Z 0
Для произвольной точки линии без потерь уравнения запишем в виде:
U (x) = U 2 cos bx + jI 2 Z 0 sin bx , I (x) = I 2 cos bx + jU 2 sin bx .
Z 0
При согласованном режиме Z 2 = Z 0 , с учётом того, что U 2 = I 2 Z 2 , получим
U (x) = U 2 (cos bx + jsin bx) = U 2ejβx = U2ej(ωt +βx) ,
I (x) = I 2 (cos bx + jsin bx) = I 2ejβx = I2ej(ωt +βx) .
Запишем уравнения для мгновенных значений напряжения и тока
u (x, t ) = U2 sin (wt + bx), i (x, t ) = I2 sin (wt + bx).
Эти уравнения описывают падающие волны, распространяющиеся в линии слева направо. В линии без потерь при согласованном включении существуют только падающие (бегущие) волны. Данный режим работы еще называют режимом бегущей волны.
|
u(x, t1) |
|
x |
0 |
x |
|
i(x, t1) |
|
U2 |
I2 |
0 |