Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

тэц

.pdf
Скачиваний:
49
Добавлен:
11.05.2015
Размер:
1.64 Mб
Скачать

ТЭЦ 2 часть

Лекция 1

Электрические цепи с распределёнными параметрами (длинные линии)

Общие сведения о регулярных линиях передачи Линия передачи (длинная линия) – устройство, ограничивающее область распространения

электромагнитных колебаний и направляющее поток электромагнитной энергии в заданном направлении.

Линия называется регулярной, если в продольном направлении неизменны её поперечное сечение, положение его в пространстве и электромагнитные свойства заполняющих её сред.

Линия является однородной, если в произвольном поперечном сечении параметры среды неизменны.

Открытые линии передачи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

3

4

1 – двухпроводная линия, 2 – открытая полосковая линия, 3 – однопроводная линия, 4 – открытая диэлектрическая линия.

Закрытые линии передачи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

4

5

6

 

1 – коаксиальный кабель, 2 – прямоугольный волновод, 3 – круглый волновод, 4 – эллиптический волновод, 5 – частично-заполненный волновод, 6 – экранированная полосковая линия.

Длинные линии характеризуются первичными параметрами, то есть параметрами,

отнесенными к единице длины линии. К первичным параметрам относят:

1. Резистивное сопротивление единицы длины линии

Гн 2. Индуктивность единицы длины линии L0 .

м

Ф 3. Ёмкость единицы длины линии C0 .

м

Cм 4. Проводимость единицы длины линии G0 .

м

Ом R0 .

м

Телеграфные уравнения Рассмотрим элементарный участок длинной линии.

 

 

 

R0 x L0 x i

 

 

i+D i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

G0D x

 

 

C0D x

 

 

u+Du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Линия рассматривается как цепь с бесконечно большим числом звеньев, электрические параметры которых бесконечно малы.

Токи и напряжения в линии описываются системой телеграфных уравнений:

-

u (x, t )

= R i (x, t )+ L

 

i (x, t )

 

x

 

 

t

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

-

i (x, t )

= G u (x, t )+ C

 

 

u (x, t ) .

 

 

 

t

 

 

x

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Представим мгновенные токи и напряжения в виде комплексных действующих значений:

i (x, t ) Û I (x), u (x, t ) Û U (x),

i (x, t )

Û jwI (x),

u (x, t )

Û jwU (x).

 

 

 

t

t

Телеграфные уравнения запишем в более удобном виде:

- dU (x) = R0 I (x)+ jwL0 I (x) = (R0 + jwL0 )I (x)

dx

.

- d I (x) = G0U (x)+ jwC0U (x) = (G0 + jwC0 )U (x) dx

Уравнения передачи для однородной длинной линии

Продифференцируем в системе телеграфных уравнений по координате x первое уравнение:

 

 

-

d 2

U

(x)

= (R + jwL )

d I (x)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx2

 

 

0

 

 

0

dx

Далее, используя второе уравнение, имеем:

 

 

 

 

 

d 2U (x)

= (R + jwL )×(G + jwC )U (x).

 

 

dx2

 

 

0

 

 

0

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

Введём переменную g =

(R0 + jwL0 )(G0 + jwC0 )

коэффициент распространения.

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В итоге получаем однородное дифференциальное уравнение вида:

 

 

 

 

 

d 2U (x)

- g2U (x) = 0 .

 

 

 

 

 

 

dx

2

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Составим характеристическое уравнение p2 - g2

= 0 , из которого p = ±g .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

Решение для U (x) запишем в виде:

U (x) = A1eγ0 x + A2eγ0 x .

Используя телеграфные уравнения, определим I (x).

 

 

 

 

 

 

 

I ( x) =

 

 

 

 

 

 

 

 

γ

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(A1eγ0 x A2eγ0 x ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R + jωL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введём переменную Z 0

=

 

R0

+ jωL0

 

 

 

 

волновое сопротивление линии.

 

G0

+ jωC0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В итоге можно записать:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U ( x)

= A eγ0 x + A

eγ0 x ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I ( x) =

1

 

 

 

 

 

 

( A1eγ0 x A2eγ0 x ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для определения неизвестных A1

 

 

и A2

 

 

 

зададим граничные условия вначале линии.

Пусть U (0) =

U

1 – напряжение на входе линии, I (0) = I1 – ток на входе линии, тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

= A + A

 

 

 

,

I

 

 

=

 

 

 

 

1

( A A

 

) , отсюда

 

 

 

 

 

 

1

2

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z 0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

 

U

1 + I 1 Z 0

 

 

, A

 

=

 

 

U

1 I1 Z 0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

После подстановки, получим в явном виде уравнения для определения напряжений и токов в

произвольной точке x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U ( x) =

U 1 + I1 Z 0

eγ0 x +

U 1 I1 Z 0

eγ0 x ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I ( x) =

U 1 + I1 Z 0

eγ0 x

U 1 I 1 Z 0

eγ0 x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2Z 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2Z 0

 

 

 

 

Последние уравнения –

есть уравнения передачи однородной длинной линии.

Поскольку chγ x =

eγ0 x

+ eγ0 x

 

,

shγ x =

 

eγ0 x

− eγ0 x

 

, то уравнения передачи можно записать в

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

более компактном виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U ( x) = U 1chγ x I

1 Z

0shγ x ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I ( x) = −

 

U

1

 

shγ x + I chγ x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z 0

0

 

 

1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зададим граничные условия в конце линии x = a .

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть U (a ) =

U

2 , I (a ) = I 2

напряжение и ток в конце линии. Тогда последние уравнения

 

примут следующий вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U (a ) =

U

2 =

U

1chγ a I

1 Z 0shγ a ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I (a )

= I

2

= −

U 1

shγ a + I chγ a .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выразим напряжение и ток на входе через напряжение и ток на выходе линии. Решаем методом определителей.

 

 

 

 

chγ a

Z 0shγ a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

= ch2 γ a − sh2 γ a = 1,

 

1

 

shγ a

chγ a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z 0

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U 1 =

 

 

U

2

Z 0shγ a

 

 

= U 2chγ a + I 2 Z

0shγ a ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

I 2

chγ

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

chγ a

 

U

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I1 =

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

= I 2chγ a +

U 2

shγ a .

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

shγ a

 

I 2

 

 

 

 

 

0

 

Z 0

0

 

 

 

 

 

 

 

Z 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Окончательно получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U 1 =

U

2chγ a + I 2 Z 0shγ a , I

1

= I 2chγ a +

U 2

shγ a .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z 0

Из последних уравнений мы можем определить напряжение и ток вначале линии ( x = 0 ), зная

напряжение и ток в конце линии ( x = a ). Следует отметить, что параметры γ и Z

0 относятся к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

вторичным параметрам длинной линии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Падающие и отраженные волны

 

 

 

В уравнениях передачи введём следующие обозначения:

 

 

 

U пад =

 

U

1 + I1 Z 0

, U отр

=

U 1 I1 Z 0

,

I пад =

 

U

1 + I1 Z 0

, I отр

=

U 1 I1 Z 0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

2Z 0

 

2Z 0

 

 

 

 

U ( x) = U падeγ0 x +

U

отрeγ0 x

= U пад ( x) +

U

отр ( x ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I ( x) = I падeγ0 x I отрeγ0 x = I пад ( x) + I отр ( x) ,

 

 

 

Отметим, что: U пад ( x) = Z 0 I пад ( x) , U отр ( x) = −Z 0 I отр ( x) .

Напряжение и ток состоят из двух слагаемых. Первые слагаемые уменьшаются с

увеличением расстояния от начала линии, вторые возрастают.

Вывод: в линии существует два типа волн: падающие и отраженные.

Пусть γ = α + jβ , тогда напряжение и ток в мгновенной форме:

0

u ( x, t ) =

 

U

пад

 

e

−αx sin (ωt − βx) +

 

U

отр

 

 

eαx sin (ωt + βx) ,

 

 

 

 

i ( x, t ) =

 

I пад

 

 

e−αx sin (ωt − βx)

 

I отр

 

 

eαx sin (ωt + βx) .

 

 

 

 

 

Рассмотрим первые слагаемые в последних уравнениях:

 

uпад ( x, t ) =

 

U пад

 

e−αx sin (ωt − βx) ,

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

( x, t ) =

 

I

пад

 

e−αx sin (ωt − βx) , где

 

I

пад

 

=

 

пад

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пад

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вкаждом сечении линии колебания тока и напряжения являются гармоническими;

1.По мере удаления от начала линии амплитуда колебаний затухает по экспоненциальному закону.

2. В каждой последующей точке линии колебания отстают по фазе от колебаний в предыдущей точке (знак «минус» перед βx ).

Uпад(x)

 

A

A

 

 

 

 

0

x1

x2

x

Скорость распространения вдоль цепи состояния равной фазы называется фазовой скоростью.

Определим фазовую скорость распространения волны vф из условия:

 

 

 

 

 

ωt − βx

= ωt

 

− βx , откуда v =

x2

x1

=

ω .

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

t1

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

2

2

 

 

 

ф

 

β

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод: первые слагаемые описывают падающие волны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим вторые слагаемые:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uотр ( x, t ) =

 

U

отр

 

eαx sin (ωt + βx) , iотр

( x, t ) = −

 

I отр

 

eαx sin (ωt + βx) , где

 

I отр

 

=

 

U

отр

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эти слагаемые описывают волны точно такого же типа, как и падающие, но распространяющиеся в обратном направлении (знак «плюс» перед βx ). Эти волны называются отраженными.

Коэффициенты отражения по току и напряжению. Режимы работы линии

Представим длинную линию в следующем виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zг

 

 

I1

 

 

 

 

I2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Uг

 

 

 

 

 

 

 

U1

Z2

 

 

U2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

Определим коэффициент отражения волны от конца линии, нагруженной на сопротивление Z 2 .

U 2

= U пад (a) + U отр (a ) = Z 0 (I пад (a) I отр (a)),

I 2

= I пад

(a ) + I отр (a) =

1

(U пад (a)

U

отр (a)) .

Z 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Напряжение на сопротивлении Z 2

определяется согласно закону Ома: U 2 = Z 2 I 2 .

Принимая во внимание выше сказанное, имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I 2 Z 2 =

U

пад (a) +

U

отр (a)

и I 2 Z 0 = U пад (a ) U отр (a ) .

 

 

Определим падающую и отраженную компоненту волны в конце линии.

U пад (a) =

1

I 2 (Z 2

+ Z 0 ) , U отр (a) =

1

I 2 (Z 2 Z 0 ) .

 

 

2

 

2

 

Введём понятие коэффициента отражения по напряжению, как отношение отраженной волны к падающей волне в конце линии.

Ru

=

 

 

 

U

отр (a)

=

Z

2

Z

0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

пад (a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z 2

+ Z 0

 

 

 

 

По аналогии определим коэффициент отражения по току.

U

2

= I пад (a) I отр (a) ,

U

2

= I пад (a) + I отр (a ) .

Z

0

Z

2

 

 

Определим падающую и отраженную компоненты волны в конце линии.

I пад (a) =

1

 

 

1

+

1

 

I отр (a ) =

1

 

 

1

1

 

U

2

,

U

2

.

 

 

 

 

 

 

2

 

Z 2

 

Z 0

2

 

Z 2

 

Z 0

Выражение для коэффициента отражения по току примет вид:

Ri

=

I

отр (a )

=

Z

0

Z

2

= −Ru .

I пад (a)

Z 0

+ Z 2

 

 

 

 

В случае, когда Z 2 = 0 – длинная линия является короткозамкнутой. При этом, Ru = −1 , а

Ri = 1, напряжение будет равно нулю, а ток имеет максимальное значение (режим короткого замыкания). Если Z 2 = ∞ – длинная линия работает на холостом ходе. При этом, Ru = 1, а Ri = −1 ,

ток будет равен нулю, а напряжение имеет максимальное значение (режим холостого хода). Если

Z 2 = Z 0 согласованный режим работы линии. При этом Ru = Ri = 0 , энергия волны передается через линию без потерь.

 

 

 

 

 

 

 

Лекция 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Волновое сопротивление длинной линии.

 

 

 

 

Волновое сопротивление Z 0

=

R0 + jωL0

 

= Z0ezo .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G0 + jωC0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Волновое сопротивление не зависит от длины линии, а определяется её первичными параметрами.

Определим модуль и аргумент волнового сопротивления соответственно:

 

 

 

 

 

 

R2

+ (ωL )2

 

 

 

1

ωL

 

ωC

0

 

 

 

 

Z0 =

4

0

0

 

 

, ϕzo

=

 

arctg

0

− arctg

.

 

 

 

G02

+ (ωC0 )

2

 

2

R0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G0

 

 

Построим графическую зависимость Z0 (ω) и ϕzo (ω) .

Для всех реально существующих

линий R0 > L0 , поэтому:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G0

C0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z0(ω)

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕz0(ω)

 

 

 

 

 

 

 

R0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

ωm

 

 

 

 

 

ω

 

ÖG0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÖC0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

ω

 

ϕm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Самостоятельно определить ω

! Ответ: ω

m

=

R0G0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

L0C0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя уравнения передачи вида: U 1 = U 2chγ a + I 2 Z 0shγ a ,

I 1 = I 2chγ a + U 2 shγ a ,

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

0

Z

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

определим напряжение и ток в начале линии при согласованном режиме, когда Z 2 = Z 0 , где Z 2

сопротивление нагрузки: U 1

= U 2chγ a + I 2 Z 2shγ a , I 1 = I 2chγ a +

U 2

shγ a ,

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z 2

 

U 1

= U 2chγ a +

U

2shγ a , I1

= I 2chγ a + I

2shγ a ,

 

 

0

 

 

0

 

0

0

 

U 1

=

U

2 (chγ a + shγ a ) , I 1

= I 2 (chγ a + shγ a ) .

 

 

0

 

0

 

0

0

Поскольку chγ a =

eγ0a + eγ0 a

, shγ a =

eγ0a − eγ0a

, тогда chγ a + shγ a = eγ0a .

2

 

0

0

 

 

2

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Окончательно получим: U 1 = U 2eγ0 a , I1 = I 2eγ0 a .

Из последних уравнений легко определить напряжение и ток в конце линии: U 2 = U 1eγ0a ,

I 2 = I1eγ0 a . Напряжение и ток в любой точке линии при согласованном режиме определяются:

U ( x) = U 1eγ0 x , I ( x) = I 1eγ0 x .

 

 

 

Коэффициент распространения. Способ определения первичных параметров

 

 

Коэффициент распространения: g =

(R + jwL )×(G + jwC ) = g

0

eγo = a + jb , откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

0

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a = g0 cos (jγo )

 

коэффициент ослабления, b = g0 sin (jγo )

коэффициент фазы.

 

 

 

 

 

 

 

Определим модуль и аргумент коэффициента распространения соответственно:

 

 

 

 

 

 

 

g0 = 4 (R02 + (wL0 )2 )×(G02 + (wC0 )2 ), jγo = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg wL0 + arctg wC0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

R0

 

 

 

 

 

G0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построим графическую зависимость g0 (w)

и jγo (w).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

γ0(ω)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

ϕγ0(ω)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÖR0G0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

При согласованном режиме U (x) = U 1e

γ0 x

 

I (x) = I

 

γ

0 x

 

 

 

 

 

U 1

 

I

1

 

 

γ

0 x

 

(α+ jβ) x

 

 

 

,

1e

 

 

,

отсюда:

 

U (x)

= I (x) = e

 

 

 

= e

 

.

Пусть U

1

= U eu1

 

,

I

1

= I ei1

, U (x) = U (x)eux , I (x) = I (x)eix , тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U1

 

 

j(ϕu1 −ϕux )

=

 

I1

 

j(ϕi1 −ϕix )

= e

αx

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U (x)e

 

I (x)e

 

 

e

 

, следовательно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U1

 

I1

 

 

αx

 

 

 

j(ϕu1 −ϕux )

= e

j(ϕi1 −ϕix )

= e

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U (x) = I

(x) = e

 

 

,

e

 

 

 

 

 

,

откуда определяем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a = ln

U1

 

 

 

I1

Нп

 

 

 

 

 

 

 

U1

= 20 lg

 

I1

 

 

Дб

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U (x)

= ln

 

 

, либо a = 20 lg

 

 

(x)

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I (x)

 

м

 

 

 

 

 

 

U (x)

 

 

 

I

 

 

м

 

 

 

 

 

 

bx = j

u1

- j

ux

= j

 

- j

, для линии длинной x =1 м , получаем b = j

u1

- j

ux

= j

i1

 

- j

рад .

 

 

 

 

 

 

 

i1

ix

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ix

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м

 

Рассмотрим способ определения первичных параметров по известным вторичным параметрам.

Так как g =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R0 + jwL0

 

 

 

 

 

 

 

 

(R + jwL )×(G + jwC

)

 

, Z

0

=

 

 

 

, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

0

 

0

 

 

 

 

 

G0 + jwC0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g Z

0

= R + jwL , g Z

−1

= G + jwC .

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

0

0

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R0

= Re (g Z 0 ), L0

=

1

 

Im (g Z 0 ), G0 = Re (g Z 0−1 ), C0

=

1

 

Im (g Z 0−1 ).

 

w

w

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Входное сопротивление длинной линии

 

 

 

 

 

 

 

 

Входное сопротивление Z вх

линии определяется отношением напряжения и тока в начале

линии. Определим входное сопротивление с помощью уравнений передачи:

 

 

 

 

 

 

Z вх =

U

1

=

U 2chγ a + I 2 Z

0shγ a

=

I 2 Z 2chγ a + I 2 Z 0shγ a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

, после преобразований

 

I

 

 

 

I 2chg0 a +

U 2

 

shg0 a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

Z 0

 

 

 

 

I 2chg

a + I 2

 

 

2

shg a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

Z 0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Z 0

Z 2chγ a + Z

0shγ a

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z вх

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z 0chg a + Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2shg

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим частные случаи режима работы линии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

При согласованном режиме

работы

Z 2 = Z 0 ,

 

тогда

входное

сопротивление линии равно

волновому сопротивлению:

Z вх = Z 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z 0shγ a

 

 

 

 

 

 

 

 

В режиме короткого замыкания Z 2 = 0 , тогда Z вх

= Z вх. кз

= Z 0

 

 

= Z 0 thg a .

2.

 

 

 

0

 

 

Z 0chg a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

В режиме холостого хода Z 2 = ¥ , тогда Z вх

= Z вх. хх

= Z 0cthg a .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На практике удобно входное сопротивление линии выражать через параметры холостого

хода и короткого замыкания, то есть Z вх. хх

и Z вх. кз .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z вх = Z 0

Z 2chγ a + Z

0shγ a

=

Z

0

×

 

chγ a

×

 

Z 2 + Z 0 thγ a

=

 

Z

2 + Z

0 thγ a

=

Z 2

+ Z 0 thγ a

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z 0chg a + Z

2shg a Z 0 chg

0

a

 

 

 

1+

2

thg a

 

1+

 

 

thg a

 

 

 

1+

Z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z 0

 

 

 

Z 0

 

 

 

Z 0сthg a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z вх =

Z 2 + Z вх. кз

= Z вх. хх

Z 2 + Z вх. кз

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+

 

 

Z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z 2

+ Z вх. хх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z вх. хх

Представим зависимость модулей сопротивлений XX и КЗ от длины линии и зависимость модуля

Z вх

от частоты при несогласованной нагрузке.

 

|Zвх|

|Z0|

 

0

a

Выводы:

 

|Zвх|

R0

 

ÖG0

 

L0

|Z0|

 

ÖG0

 

0

ω

1.Колебательный характер входного сопротивления при несогласованном режиме объясняется наличием в линии падающих и отраженных волн.

2.При изменении частоты и длины линии изменяется фаза отраженной волны.

3. Если в начале линии отраженная и падающая волна напряжения совпадают по фазе

 

=

 

U1max

 

.

(отраженная и падающая волна тока находятся в противофазе), то

Zвх max

 

 

 

 

I1min

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Если в начале линии отраженная и падающая волна напряжения находятся в противофазе

 

=

 

 

U1min

 

 

.

(отраженная и падающая волна тока совпадают по фазе), то

Zвх min

 

 

 

 

 

I1max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Линия без потерь. Согласованный режим.

Линия без потерь – это линия, у которой рассеяние энергии отсутствует, то есть R0 = G0 = 0 .

Определим коэффициент распространения линии без потерь:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g =

(R + jwL )×(G + jwC )

= a + jb = -w2 L C = jw

 

 

 

.

L C

0

0

0

0

0

0

 

 

0

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α = 0 ,

а коэффициент фазы β = ω

 

 

 

Отсюда коэффициент ослабления

L0C0

линейно зависит от

частоты. Из курса физики известно, что длина волны λ –

расстояние между двумя точками,

взятыми в направлении распространения волны, фазы в которых отличаются на 2π, то есть

βλ = 2π , откуда l =

. Используя уравнения передачи общего вида:

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U 1

=

U

2chg a + I 2 Z 0shg a ,

I 1 = I 2chg a +

U 2

shg a , поскольку g

= jb, имеем

 

 

0

0

0

Z

0

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

chg a = ch (jba) = cos ba , и shg a = sh

(jba) = jsin ba .

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

Уравнения передачи для линии без потерь выглядят в виде:

U 1 = U 2 cos ba + jI 2 Z 0 sin ba , I 1 = I 2 cos ba + jU 2 sin ba .

Z 0

Для произвольной точки линии без потерь уравнения запишем в виде:

U (x) = U 2 cos bx + jI 2 Z 0 sin bx , I (x) = I 2 cos bx + jU 2 sin bx .

Z 0

При согласованном режиме Z 2 = Z 0 , с учётом того, что U 2 = I 2 Z 2 , получим

U (x) = U 2 (cos bx + jsin bx) = U 2ex = U2ej(ωt x) ,

I (x) = I 2 (cos bx + jsin bx) = I 2ex = I2ej(ωt x) .

Запишем уравнения для мгновенных значений напряжения и тока

u (x, t ) = U2 sin (wt + bx), i (x, t ) = I2 sin (wt + bx).

Эти уравнения описывают падающие волны, распространяющиеся в линии слева направо. В линии без потерь при согласованном включении существуют только падающие (бегущие) волны. Данный режим работы еще называют режимом бегущей волны.

 

u(x, t1)

 

x

0

x

 

i(x, t1)

 

U2

I2

0