5.3. Основные соотношения параксиальной оптики

Основные соотношения параксиальной оптикисвязывают между собой фокусные расстояния, положение и размеры предмета и изображения, угловое, линейное и продольное увеличения.

5.3.1. Зависимость между положением и размером предмета и изображения

Линейное увеличение:или Формула Ньютона: Формула отрезков или формула Гаусса:

5.3.2. Угловое увеличение и узловые точки

Выражение для вычисления углового увеличения: Узловые точки– это точки, в которых угловое увеличение равно единице.

Чтобы найти узловые точки и, от переднего фокуса откладывается заднее фокусное расстояние, а от заднего фокуса откладывается переднее фокусное расстояние. Отрезкииравны. Если, то узловые точки совпадают с главными.

Линейное и угловое увеличение сязаны соотношением:

5.3.3. Частные случаи положения предмета и изображения

Рассмотрим различные положения предмета и изображения (различные и):

• :,,. Предмет и изображение – этоглавные плоскости.

• :,,. Предмет и изображение – этоузловые точки.

• :,,. Предмет находится на двойном фокусном расстоянии.

• :,,. Предмет находится впереднем фокусе, а изображение – в бесконечности.

• :,,. Предмет находится на бесконечности, а изображение – взаднем фокусе.

5.3.4. Связь продольного увеличения с поперечным и угловым

Продольное увеличение: Угловое увеличение:

Если оптическая система находится в однородной среде (), то:,

5.3.5. Диоптрийное исчисление

Диоптрийное исчисление– это измерение продольных отрезков в обратных единицах (диоптриях):,где– приведенная длина.

Одна диоптрия соответствует приведенному отрезку в 1м. Если отрезок измеряется в мм, то обратный отрезок измеряется в килодиоптриях.

Соотношение для приведенных отрезков в пространстве предметов () и изображений () иоптической силы, измеряемых в диоптриях:

5.3.6. Инвариант Лагранжа-Гельмгольца

Инвариант Лагранжа-Гельмгольца связывает линейный размер предмета и угловой размер пучка лучей. Эта величина инвариантна, то есть неизменна в любом пространстве: Инвариант Лагранжа-Гельмгольца характеризует информационную емкость оптической системы, то есть величину пространства, которое может быть отображено оптической системой. Этот инвариант математически выражает закон сохранения информации в геометрической оптике.

6. Матричная теория Гауссовой оптики

6.1. Преобразование координат лучей оптической системой

6.1.1. Координаты лучей в пространстве предметов и пространстве изображений

Опорная плоскость(ОП) – это некоторая произвольно выбранная плоскость, перпендикулярная оптической оси. Опорные плоскости в пространстве предметов и изображений выбираются из соображений удобства и могут быть либо сопряженными, либо нет.

В параксиальной оптикелуч может быть однозначно определен через линейную координатуи угловую координату: Аналогично, луч в пространстве изображений описывается линейной координатой и угловой координатой:

6.1.2. Преобразование координат оптических лучей

Действие оптической системы заключается в преобразовании координат лучей:

Для идеальной оптической системы:

6.2. Матрица преобразования лучей

6.2.1. Общий вид матрицы преобразования (ABCD-матрица)

Преобразование координат луча оптической системой можно представить в виде умножения некоторой матрицы на вектор входных координат луча:

или

где – вектор-столбец входных координат,– вектор-столбец выходных координат,–матрица преобразования лучей(гауссова матрицаили ABCD-матрица):

6.2.2. Геометрический смысл элементов матрицы преобразования

Матрица преобразования имеет следующий вид:

Элемент матрицы зависит только от параметров оптической системы, а элементы,изависят еще и от выбораопорных плоскостей.

Определитель матрицы преобразования

Определитель матрицы преобразования любой оптической системы равен единице:

Обратная матрица преобразования

Обратная матрица преобразования описывает обратное преобразование (из выходных координат во входные): или

Обратная матрица преобразования имеет следующий вид:

Условие сопряжения опорных плоскостей

Для случая сопряженныхопорных плоскостей элемент, элементимеет значениелинейного увеличения, а элемент- величина обратная элементу.

6.2.3. Виды матриц преобразования

Существуют два основных вида матриц преобразования, описывающих два простых преобразования – перенос луча в свободном пространстве и преломление луча на преломляющей поверхности или в оптической системе.

Матрица преломления

Если совместить опорные плоскости с главными плоскостями (,), то матрица преобразования имеет смыслматрицы преломления. Матрица преломления описывает преломление луча оптической системой, при этом у луча изменяется только угловая координата:

Матрица переноса

При переносе луча изменяется только линейная координата. В этом случае матрица преобразования имеет смысл матрицы переноса:

где – приведенное расстояние между опорными плоскостями.

6.2.4. Матрица одной преломляющей поверхности

Для преломляющей поверхности опорные плоскостисовпадают сглавными плоскостями, и составляют одну плоскость, касательную к поверхности. Оптическая сила сферической преломляющей поверхности:

где – кривизна поверхности.

Матрица преломления сферической поверхности:

6.2.5. Матрица зеркальной (отражающей) поверхности

Матрица преломления зеркальной поверхности: где– кривизна поверхности,– показатель преломления среды.

В случае плоского зеркала () матрица отражения единичная:

6.3. Матрицы оптической системы, состоящей из нескольких компонентов

Любую оптическую систему можно представить как совокупность нескольких компонентов, разделенных промежутками. Матрица такой системы будет состоять из произведения матриц преломленияипереносадля отдельных компонентов: где ,.

Если между компонентами нет промежутков (), то матрица переноса между этими компонентами становится единичной. Еслиоптическая силакомпонента равна нулю, то матрица преломления для этого компонента также становится единичной.

Каждый из компонентов может быть разложен по этой же схеме на более простые составляющие (вплоть до отдельных поверхностей).