Маршруты в графах и пути в орграфах

Цепь в псевдографе называется эйлеровой, если она проходит по одному разу через каждое ребро. Цикл в псевдографе называется эйлеровым, если он проходит по одному разу через каждое ребро. Граф с эйлеровым циклом называется эйлеровым. В эйлеровом графе существуют и несколько эйлеровых цепей, так как эйлеров цикл можно разбить и на эйлеровы цепи. Граф с эйлеровой цепью, но без эйлерова цикла, называется полуэйлеровым. В полуэйлеровом графе может быть и несколько эйлеровых цепей. Все остальные графы называются не эйлеровыми.

В эйлеровом графе все степени вершин должны быть чётными, а в полуэйлеровом должны быть ровно две вершины нечётной степени. Эйлерова цепь в полуэйлеровом графе начинается и заканчивается в вершинах нечётной степени.

Аналогично орграфам, для графов существует матрица смежности A.Матрицей смежности A графа называется симметричная квадратная матрица порядка n, в которой каждый элемент A=1, если i-я и j-я вершины связаны ребром (смежны), и A=0, если i-я и j-я вершины не смежны. Сумма элементов матрицы A равна 2m – удвоенному числу рёбер в графе. Сумма элементов по каждой строке матрицы A равна сумме элементов по соответствующему столбцу матрицы и равна степени соответствующей этой строке вершины графа. По матрице смежности A графа можно проверять условия существования эйлеровых цепей и циклов в графах.

Эйлеровы цепи и циклы можно строить по рисунку графа и его по матрице смежности A. Возьмём, например, матрицу смежности A=. Степени всех трёх вершин чётны – равны двум. В графе с такой матрицей смежности существует эйлеров цикл. Берём любой не нулевой элемент матрицы, напримерA и уменьшаем его и симметричный ему элемент A на единицу. Матрица принимает после этого вид: , а в эйлеровом цикле теперь две вершины: 1 и 2, и находимся мы во второй вершине. Находим во второй строке не нулевой элемент – этоA, и повторяем процедуру. Матрица принимает вид: , а в эйлеровом цикле теперь три вершины: 1, 2 и 3, и находимся мы в третьей вершине. Находим в третьей строке не нулевой элемент – этоA, и повторяем процедуру. После чего матрица обнуляется полностью, а мы получаем эйлеров цикл: 1, 2, 3, 1.

При построении эйлеровой цепи в качестве начальной вершины надо брать вершину с нечётной степенью. Возьмём, например, матрицу смежности A=. В графе с такой матрицей смежности ровно две вершины нечётной степени – это первая и третья, и это полуэйлеров граф. В качестве начальной вершины берём любую из двух, например третью. Находим в третьей строке не нулевой элемент и обнуляем его и симметричный ему относительно главной диагонали элемент. Матрица принимает вид:и в эйлеровой цепи теперь две вершины: 3 и 2. Повторяем процедуру для второй строки, после чего матрица полностью обнуляется, а мы получаем эйлерову цепь: 3, 2 и 1.

Эйлеровыми могут быть и псевдогрфы. Возьмём, например, матрицу смежности A=. Степени всех трёх вершин чётны. Начнём строить эйлеров цикл с первой вершины и через четыре шага построения получим матрицуи пять вершин в эйлеровом цикле: 1, 2, 1, 3, 1. Матрица ещё не обнулилась, а в первой строке, где мы находимся, уже нет не нулевых элементов. Находим строку с не нулевыми элементами и строим из соответствующей этой строке вершины маршрут, который затем вставим в эйлеров цикл: 2, 3, 3, 2. Находясь в третьей вершине, мы прошли петлю. Итого, эйлеров цикл имеет вид: 1,2, 3, 3, 2, 1, 3, 1 и встроенный маршрут выделен в нём жирным шрифтом.

Сильно связный орграф будет эйлеровым, если в нём для каждой вершины полустепень исхода равна полустепени захода. Сильно связный орграф будет полуэйлеровым, если в нём для всех вершин, кроме двух, полустепень исхода равна полустепени захода, в одной из двух оставшихся вершин есть одна лишняя исходящая дуга, а в другой – одна лишняя заходящая дуга.

Эйлеровы цепи и циклы можно строить по рисунку орграфа и его по матрице смежности A. Возьмём, например, матрицу смежности A=. Для всех трёх вершин полустепени исхода совпадают с полустепенями захода. В орграфе с такой матрицей смежности существует эйлеров цикл. Берём любой не нулевой элемент матрицы, напримерA и уменьшаем его на единицу. Матрица принимает после этого вид: , а в эйлеровом цикле теперь две вершины: 1 и 2, и находимся мы во второй вершине. Находим во второй строке не нулевой элемент – этоA, и повторяем процедуру. Матрица принимает вид: , а в эйлеровом цикле теперь три вершины: 1, 2 и 3, и находимся мы в третьей вершине. Находим в третьей строке не нулевой элемент – этоA, и повторяем процедуру. После чего матрица обнуляется полностью, а мы получаем эйлеров цикл: 1, 2, 3, 1.

Эйлерову цепь в орграфе надо начинать строить из вершины, имеющей лишнюю выходящую дугу

Цепь в псевдографе называется гамильтоновой, если она проходит по одному разу через каждую вершину. Цикл в псевдографе называется гамильтоновым, если он проходит по одному разу через каждую вершину. Граф с гамильтоновым циклом называется гамильтоновым. В гамильтоновом графе существуют и несколько гамильтоновых цепей, так как гамильтонов цикл можно разбить и на гамильтоновы цепи. Граф с гамильтоновой цепью, но без гамильтонова цикла, называется полугамильтоновым. В полугамильтоновом графе может быть и несколько гамильтоновых цепей. Все остальные графы называются не гамильтоновыми.

Для нахождения всех гамильтоновых цепей и циклов можно использовать метод, аналогичный методу ветвей и границ. Возьмём граф с матрицей смежности: . Дерево строим из первой вершины.

6-----4-----5-----1 Гам. цикл 1

5 Х

3-----4-----6 Х

3-----6-----1 Гам. цикл 2

2-----5-----4-----6-----3 Гам. цепь

2-----5-----4 Гам. цепь

3-----4-----5-----2-----1 Гам. цикл 2

5-----2-----3 Гам. цепь

6-----4-----3-----2-----5-----1 Гам. цикл 3

6-----3-----2-----1 Гам. цикл 1

6-----4 Гам. цепь

2-----3-----4-----6-----1 Гам. цикл 3

1-----5-----4-----3-----2 Х

Дерево ветвления строим так, чтобы на каждой его ветви были только уникальные вершины, за исключением седьмой, совпадающей с начальной, первой вершиной, с целью обозначить гамильтонов цикл в графе. Корень (здесь первая вершина)– это нулевой уровень. Из первой вершины есть выход во вторую, шестую и пятую. Первый уровень состоит из этих трёх вершин. Из второй есть выход в 1, 3 и 5, но в первой мы уже были, остаются только 3 и 5. Аналогично, из 6 – в 3 и 4, а из 5 – в 4 и 2. Второй уровень состоит из 6 вершин: 3, 5, 3, 4, 2, 4. и так далее.

Получили три гамильтоновых цикла, каждый цикл получили два раза: в одну сторону и в другую. Если будем строить дерево из другой вершины, например пятой, то получим те же три гамильтоновых цикла. Получили 4 гамильтоновых цепи из первой вершины, две из них кончаются в третьей вершине, а две – в четвёртой. Если будем строить гамильтоновы цепи из третьей вершины, то получим две такие цепи, кончающиеся в первой вершине. Если из третьей вершины будут ещё получены гамильтоновы цепи, то они обязательно закончатся не в первой вершине.

Получили три «безнадёжных» ветви, они помечены буквой «Х». Все они имеют длину пять и из последней пятой вершины есть выходы только в уже пройденные этой веткой вершины.

С помощью дерева ветвления строят и минимальные пути из одной вершины в другую. Дерево строят постепенно, по уровням, пока не появится конечная искомая вершина. Простые пути максимальной длины тоже определяются с помощью дерева ветвления. Максимальная длина простого пути равна n-1, поэтому для этой задачи дерево ветвления строят до максимально возможного уровня. Дерево ветвления можно использовать и для орграфов.

Платоновы графы – это регулярные графы, образованные вершинами и рёбрами пяти правильных многогранников – платоновых тел: тетраэдра (K), куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра.